精品解析：山东济宁市任城区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末质量检测数学 试题

2025−2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的学校、姓名和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号涂在答题卡内） 1. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 3. 如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①②都错误 D. ①②都正确 6. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ） A. 0 B. 0 C. 0 D. 0 8. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡内） 11. 当时，二次根式的值是________ 12. 如图，，，则的长为_____． 13. 已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 15. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 解方程和求值： （1）； （2）已知，求代数式的值． 17. 图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． （1）在图1中画出格点，使得，相似比为； （2）在图2中画出格点，使得，面积比为． 18. 如图，四边形的两条对角线相交于点． （1）求证：． （2）若，的面积为4，求的面积． 19. 如图，在菱形中，对角线交于点是上的点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 21. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，若，求证：． 22. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 23. 化归思想（亦称转化思想）是将待解决的未知问题，通过构造等价或有效的转化路径，归结为已掌握的结论或方法，它能帮助我们将复杂情境清晰化、陌生问题熟悉化，从而简化求解过程，运用这一思想不仅能增添学习数学的乐趣，更能让我们亲历知识“再创造”过程．越越在学习了《相似三角形》一章后提出了以下问题，请你帮助解决： [探究发现] （1）如图1，在中，D，E，F分别是上的点，，交于点G，若G为中点，求证：． [拓展应用] （2）如图2，由四个全等的直角三角形（，，，）和小正方形拼成大正方形，连接交于点N，延长交于点M．若，求大正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的学校、姓名和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号涂在答题卡内） 1. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程， 选项A：含未知数x和y，不符合①； 选项B：方程 中未知数次数为1，不符合②； 选项C：化简 ，得 ，即 ，满足①②③； 选项D：方程 为分式方程，不符合③， 故选：C． 3. 如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：，故A不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件， 故选项D是最简二次根式，符合题意． 5. 如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①②都错误 D. ①②都正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义得，即可得出结论． 【详解】解：∵点E恰好是线段的黄金分割点（其中）， ∴，故①正确，②错误， 故选：A． 6. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断， 故选项C符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 7. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ） A. 0 B. 0 C. 0 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题即可．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 【详解】解：如图， 由题意知：，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即短臂外端下降的距离是． 故选：B． 8. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 9. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 10. 如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、关键是灵活应用知识点解题． 由旋转可得，则，然后利用可证得到比例关系，则可求． 【详解】解：令的交点是， ∵， ∴， ∵将绕着边中点旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡内） 11. 当时，二次根式的值是________ 【答案】3 【解析】 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：把代入得：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式化简，解题的关键是掌握二次根式化简的方法和步骤． 12. 如图，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，， 对通分，得：， 已知，代入得：， 化简，约去（），得， 解得． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 15. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________． 【答案】5 【解析】 【分析】由翻折得：，，由勾股定理得． 【详解】解：由翻折得：，，， 平行四边形， ， ，， ． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 解方程和求值： （1）； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 17. 图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． （1）在图1中画出格点，使得，相似比为； （2）在图2中画出格点，使得，面积比为． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）本题考查了相似三角形的性质． （1）根据相似三角形对应边成比例的性质，将原三角形各边扩大到原来的2倍来画出相似三角形； （2）先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再据此画出相似三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 18. 如图，四边形的两条对角线相交于点． （1）求证：． （2）若，的面积为4，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用两边对应成比例，且夹角相等证明两个三角形相似； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：且， ， ， ． 19. 如图，在菱形中，对角线交于点是上的点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）菱形的邻边相等，对角线平分一组对角，据此可得，再证明，即可证明； （2）由菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则可得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且O为中点， ∴， ∴． 20. 如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 【答案】石板小径的宽度为1米 【解析】 【分析】设石板小径的宽度为米，根据题意非阴影部分的面积可以看成是一个长为米，宽为米的长方形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：石板小径的宽度为1米． 21. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证． 【小问1详解】 证明：，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 即， ∵ ． 22. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】（1） （2）55元 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 23. 化归思想（亦称转化思想）是将待解决的未知问题，通过构造等价或有效的转化路径，归结为已掌握的结论或方法，它能帮助我们将复杂情境清晰化、陌生问题熟悉化，从而简化求解过程，运用这一思想不仅能增添学习数学的乐趣，更能让我们亲历知识“再创造”过程．越越在学习了《相似三角形》一章后提出了以下问题，请你帮助解决： [探究发现] （1）如图1，在中，D，E，F分别是上的点，，交于点G，若G为中点，求证：． [拓展应用] （2）如图2，由四个全等的直角三角形（，，，）和小正方形拼成大正方形，连接交于点N，延长交于点M．若，求大正方形的边长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）证明，得到，再根据G为中点即可证明结论成立； （2）证明，得到，设，则，证明，得到，求出，得到，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四个直角三角形，，，全等， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即大正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $