精品解析：陕西省西安市西咸新区2025-2026学年八年级第二学期数学期末试题

八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面是中国“天宫”空间站机械臂辅助实验舱转位的示意图．机械臂的一端固定在核心舱上，另一端抓取实验舱，绕固定端点在平面内转动一定角度后，将实验舱从位置Ⅰ转移到位置Ⅱ．在此过程中，实验舱的运动方式属于（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 2. 秦岭国家植物园位于西安市周至县，是国内重要的植物种质资源库．某日，植物园内A区的游客人数为，B区的游客人数为，且．下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（ ） A. 一个三角形中有两个内角为钝角 B. 一个三角形中三个内角都是钝角 C. 一个三角形中至少有一个内角为钝角 D. 一个三角形中至少有两个内角为钝角 6. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 8. 如图，在中，，，，延长到点，且，，分别为，的中点，连接，，，，且与交于点，连接，，作于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 多边形的外角的度数之和为________． 10. 一元一次不等式的解集为，则的取值范围为________． 11. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为________． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 13. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为________． 14. 如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 三、解答题（共12小题，共78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 16. 分解因式：． 17. 解分式方程：． 18. 如图，四边形是平行四边形，请用无刻度直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，，，．求证：． 21. 如图，学校操场边有一盏垂直于水平地面的路灯，路灯旁有一斜坡，斜坡与水平地面的夹角．数学延时课上，实践小组的小创同学带领组员一起来测量路灯的高度．他们的方案如下：①小智同学站在斜坡最高处点处，用一根足够长的绳子，把绳子一端打结向路灯的顶端扔去，使得绳子打结处刚好挂在路灯顶端处；②小研同学把绳子拉直，在绳子上的点处做标记，再把绳子拉向斜坡最高点处，发现；③小九同学测量发现，斜坡最高点处到地面的距离为3米．求路灯的高度． 22. 数学探究课上，小西同学拿出一张四边形纸片，他想要剪去一个角，请问剪去一个角后剩余部分的多边形内角和是多少？请你帮助小西同学计算一下． 23. 某校为落实劳动教育课程，在校园内开辟了一片劳动实践基地，计划种植番茄和黄瓜两种作物．学校后勤处第一次采购种子情况如下：购买番茄种子的总费用为2400元，购买黄瓜种子的总费用为1600元，购买番茄种子的袋数比黄瓜种子少40袋，每袋番茄种子的价格是每袋黄瓜种子价格的2倍． （1）每袋番茄种子和黄瓜种子的价格分别是多少元？ （2）为满足春耕需要，学校决定再次购买这两种种子共100袋，价格不变．考虑到黄瓜生长周期较短、产量较高，学校计划购买黄瓜种子的袋数不超过番茄种子袋数的2倍，并且本次采购总费用不超过1360元．请你通过计算说明共有多少种不同的购买方案． 24. 如图，四边形是平行四边形，延长到点，使得．连接，，，与相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求平行四边形的面积． 25. 如图，在等边中，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：． （2）若等边的边长为10，且为的中点，求四边形的面积． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是平面内的一个动点，线段，连接，，则的最小值为________． 【问题探究】 （2）如图2．四边形是平行四边形，，，，为上的动点，为上的动点，且满足．延长到点，使，连接，请求出的最小值． 【问题解决】 （3）高新区智能制造产业园是西北地区重要的人工智能装备研发与测试基地，园区内规划有一块平行四边形智能巡检作业区（如图3）．据场地设计图纸标注，，，．点为作业区内设备检修补给站，且是的中点．线段为机器人专用巡检轨道，两台智能巡检机器人，沿轨道同向匀速行驶（机器人始终位于机器人的左侧）．依据园区智能编队作业安全管理规定，两台机器人在巡检轨道上需保持的固定安全间距．现需安排机器人前往点完成线路验收．行驶路程记为，同时机器人前往补给站开展设备检测，行驶路程记为．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面是中国“天宫”空间站机械臂辅助实验舱转位的示意图．机械臂的一端固定在核心舱上，另一端抓取实验舱，绕固定端点在平面内转动一定角度后，将实验舱从位置Ⅰ转移到位置Ⅱ．在此过程中，实验舱的运动方式属于（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，结合题意进行判断即可． 【详解】解： 机械臂的一端固定在核心舱上，另一端抓取实验舱，绕固定端点在平面内转动一定角度，   实验舱的运动方式属于旋转． 2. 秦岭国家植物园位于西安市周至县，是国内重要的植物种质资源库．某日，植物园内A区的游客人数为，B区的游客人数为，且．下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：已知 ， 对选项A，∵ 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变， ∴，A错误； 对选项B，∵ 不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴，B错误； 对选项C，∵ 不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，C正确； 对选项D，∵ 不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴，D错误． 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断，因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可 【详解】解：A选项 是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不是因式分解，不符合题意； B选项 ，将多项式变形为整式的乘积形式，变形正确，符合因式分解定义，符合题意； C选项 ，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项 是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不是因式分解，不符合题意 4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用点坐标平移规律“左减右加，上加下减”进行计算，即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：∵点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 5. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（ ） A. 一个三角形中有两个内角为钝角 B. 一个三角形中三个内角都是钝角 C. 一个三角形中至少有一个内角为钝角 D. 一个三角形中至少有两个内角为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可． 【详解】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， ∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据平行四边形的判定方法求解即可． 【详解】解：已知， A、添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； B、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴， 又，不能用“边边角”证明三角形全等， ∴不能确定的数量关系，不能确定的位置关系， ∴不能判定四边形一定是平行四边形； 同理连接亦是如此，故B选项符合题意； C、添加，根据两组对边平行的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； D、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； 故选：B ． 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，延长到点，且，，分别为，的中点，连接，，，，且与交于点，连接，，作于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求出的长及位置关系，结合勾股定理计算；证明四边形为平行四边形，利用平行四边形性质判断及为中点；利用直角三角形斜边中线性质或已知条件判断与关系；利用等腰三角形的判定和性质及三角形中位线的性质求解即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， 分别为的中点，  是的中位线，  ，，． 过点作于，则， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，  ∴， 是中点， ， ∴，  ， ． 在中，，故①正确；  且，  四边形是平行四边形，  对角线 互相平分，即为中点，  ，故②正确；  为中点， ，， ，故③正确；  由③得， ∵， ∴点H为的中点， ∴ 为中点，  是的中位线，  ，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 多边形的外角的度数之和为________． 【答案】 ##360度 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理作答即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为． 10. 一元一次不等式的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式变形后不等号方向改变，结合不等式基本性质即可求解. 【详解】解： 一元一次不等式 的解集为 ，不等式两边同时除以后，不等号方向发生改变， ，解得 . 11. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为________． 【答案】##81度 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的外角， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同分母分式的加减运算法则先计算，由结果等于0得到分子，再根据增根的定义得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴最简公分母， 解得，， ∴， 解得， ． 13. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的整数解个数确定参数范围等知识，先解出不等式组的解集，在数轴上表示出参数可能的位置，从而得到参数的范围即可，熟练掌握由不等式组的整数解个数确定参数范围的题型解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②得， 关于的不等式组有且仅有3个整数解， 有且仅有3个整数解， 在数轴上表示出的可能位置，如图所示： 的取值范围为， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，由菱形的性质得出点C关于的对称点为点A，进而可得出，则，过点A作于点，点A，N，M三点共线时，此时取最小值为，由含30度直角三角形的性质得出，进而可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，且， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点C关于的对称点为点A，， ∴， ∴， 过点A作于点， ∴点A，N，M三点共线时，此时取最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，共78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 16. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 检验：当时，， 故是分式方程的解． 18. 如图，四边形是平行四边形，请用无刻度直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质可知，，故只需作的垂直平分线交于，则有，故点即为所求． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = ， 当时，原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 20. 如图，，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ， 与均为直角三角形， 在和中： ， ， ． 【解析】 【分析】先利用，等式两边同时加，推导出，再结合已知，通过HL证明，由全等三角形对应边相等即可证得． 【详解】略 21. 如图，学校操场边有一盏垂直于水平地面的路灯，路灯旁有一斜坡，斜坡与水平地面的夹角．数学延时课上，实践小组的小创同学带领组员一起来测量路灯的高度．他们的方案如下：①小智同学站在斜坡最高处点处，用一根足够长的绳子，把绳子一端打结向路灯的顶端扔去，使得绳子打结处刚好挂在路灯顶端处；②小研同学把绳子拉直，在绳子上的点处做标记，再把绳子拉向斜坡最高点处，发现；③小九同学测量发现，斜坡最高点处到地面的距离为3米．求路灯的高度． 【答案】6米 【解析】 【分析】根据两角互余确定，再结合，得到是等边三角形，将转化为，最后在中，根据30°所对的直角边是斜边的一半的性质得到长，从而确定路灯的高度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， 答：路灯的高度是6米． 22. 数学探究课上，小西同学拿出一张四边形纸片，他想要剪去一个角，请问剪去一个角后剩余部分的多边形内角和是多少？请你帮助小西同学计算一下． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用分类思想求解即可． 【详解】解：当剪下的一个角为时，剩下的图形是，此时三角形的内角和为； 当剪下的一个角为时，剩下的图形是四边形，此时四边形的内角和为； 当剪下的一个角为时，剩下的图形是五边形，此时五边形的内角和为； 综上所述，剪去一个角后剩余部分的多边形内角和是或或． 23. 某校为落实劳动教育课程，在校园内开辟了一片劳动实践基地，计划种植番茄和黄瓜两种作物．学校后勤处第一次采购种子情况如下：购买番茄种子的总费用为2400元，购买黄瓜种子的总费用为1600元，购买番茄种子的袋数比黄瓜种子少40袋，每袋番茄种子的价格是每袋黄瓜种子价格的2倍． （1）每袋番茄种子和黄瓜种子的价格分别是多少元？ （2）为满足春耕需要，学校决定再次购买这两种种子共100袋，价格不变．考虑到黄瓜生长周期较短、产量较高，学校计划购买黄瓜种子的袋数不超过番茄种子袋数的2倍，并且本次采购总费用不超过1360元．请你通过计算说明共有多少种不同的购买方案． 【答案】（1）每袋番茄种子的价格是20元，每袋黄瓜种子的价格是10元． （2）共有3种不同的购买方案． 【解析】 【分析】（1）设每袋黄瓜种子价格为未知数，根据两种种子袋数的差值列分式方程，求解检验后即可得到两种种子的价格． （2）设购买番茄种子的袋数，根据题目给出的两个限制条件列不等式组，求出解集后得到整数解的个数，即可得到购买方案的数量． 【小问1详解】 解：设每袋黄瓜种子的价格为x元，每袋番茄种子的价格是元， 根据题意可知：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 此时（元）， 答：每袋黄瓜种子的价格为10元，每袋番茄种子的价格是元． 【小问2详解】 解：设购买番茄种子m袋，则购买黄瓜种子袋，m为正整数； 根据题意列不等式组：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m取34，35，36， 共3个不同的值，对应3种不同的购买方案． 答：共有3种不同的购买方案． 24. 如图，四边形是平行四边形，延长到点，使得．连接，，，与相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质，结合已知得到，，然后根据平行四边形的判定可证得结论； （2）先根据平行四边形的性质得到，再根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 25. 如图，在等边中，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：． （2）若等边的边长为10，且为的中点，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质得到，从而得到同旁内角互补，进而证明结论； （2）根据等边三角形的性质和勾股定理得到长，根据面积公式得到和，由（1）知，进而得到，求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ， 由（1）知，， ∴， ∴， 答：四边形的面积为． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是平面内的一个动点，线段，连接，，则的最小值为________． 【问题探究】 （2）如图2．四边形是平行四边形，，，，为上的动点，为上的动点，且满足．延长到点，使，连接，请求出的最小值． 【问题解决】 （3）高新区智能制造产业园是西北地区重要的人工智能装备研发与测试基地，园区内规划有一块平行四边形智能巡检作业区（如图3）．据场地设计图纸标注，，，．点为作业区内设备检修补给站，且是的中点．线段为机器人专用巡检轨道，两台智能巡检机器人，沿轨道同向匀速行驶（机器人始终位于机器人的左侧）．依据园区智能编队作业安全管理规定，两台机器人在巡检轨道上需保持的固定安全间距．现需安排机器人前往点完成线路验收．行驶路程记为，同时机器人前往补给站开展设备检测，行驶路程记为．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短，动点在线段上时，取得最小值，最小值等于线段的长度； （2）由平行四边形性质、可证三角形全等，转化线段；结合构造全等，将转化为两条定点连线的线段，利用两点之间线段最短求最小值； （3）由平行四边形内角关系求出角度，利用定长平移线段，构造定点，将转化为定点间线段，用两点之间线段最短求最小值． 【小问1详解】 解：由两点之间线段最短可知， 当点落在线段上时，，此时和最小， 已知， 的最小值为6． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 则， ， ，， 在和中： ， ， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 过作交线段于， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理： ， 的最小值为． 【小问3详解】 解：平行四边形中，， 又， ， ，． 已知， ，，是中点， ， 由题意、在上且在左，将点沿向左平移4m得到点， ， 则四边形是平行四边形， ， ， 根据两点之间线段最短，作点关于的对称点，则，的最小值为线段的长度， 延长交于点， ， 过点作交于点， 则， 则与为同一点， 又， 则， 即， ， 根据垂线的性质，与为同一点， ， ， 在中，由勾股定理： ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $