2027届高考数学一轮复习----第1节 集合讲义

该高中数学讲义围绕集合核心考点，涵盖元素与集合关系、集合间关系、运算及Venn图应用，按基础夯实到考点突破的逻辑架构，通过知识梳理、重点汇总、基础测试和题型演练，帮助学生系统构建知识网络，突破易错难点。 资料采用分层教学策略，如考点二用“先判空集，再论非空”培养数学思维，考点三借助数轴与Venn图提升数学语言表达能力。设置基础测试与变式训练，配合易错提醒，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第1节 集合 课标要求： 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的关系； 2. 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 3. 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集； 4. 能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1. 元素与集合 （1） 集合中元素的三个特性： 1 确定性：给定一个集合，任何元素在不在这个集合中是明确的； 2 互异性：集合中的元素互不相同（常用于解题后的检验）； 3 无序性：集合中的元素没有先后顺序（常用于判断两个集合是否相等）． （2） 元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和． （3） 集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法． （4） 常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2. 集合间的基本关系 （1） 子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．记作（或）． （2） 真子集：如果集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作（或）． （3） 相等：若，且，则． （4） 空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3. 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 若全集为，则集合的补集为 图形表示 集合表示 4. 集合的运算性质 （1） ，，． （2） ，，． （3） ，，． 2、 重点汇总 1. 常用结论 （1） 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空真子集有个． （2） 等价转化关系：． （3） 德·摩根定律：，． （4） 容斥原理：对任意两个有限集合，有，对任意三个有限集合，有． 2. 易错提醒 （1） 忽略空集：在处理或时，极易忘记讨论的情况． （2） 代表元素混淆：未看清集合的代表元素是数还是点．例如（定义域）、（值域）与（点集）是完全不同的集合． （3） 端点值遗漏：在数轴上求交、并、补集时，忽略区间的开闭状态（空心与实心），导致边界值丢失或多算． （4） 互异性检验缺失：求出参数值后，未代回原集合检验是否违背元素的互异性． 3、 基础测试 1. 请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×” （1） 任何一个集合都至少有两个子集． （ ） （2） 集合和集合是两个不同的集合． （ ） （3） 集合和表示同一集合． （ ） （4） 若，则实数的值是或． （ ） （5） 对于任意两个集合、，满足． （ ） （6） 若，则． （ ） （7） 若，且，则． （ ） （8） 对于任意集合，都有． （ ） （9） 若，，则． （ ） 2. 已知，则实数的值为________． 3. 设，集合，则，则________． 4. 已知集合，，若，则实数________． 5. 集合，集合，则________． 6. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 集合的基本概念 【考法分析】主要考查根据集合中元素的确定性、互异性求解参数值或范围，常以选择题、填空题形式出现． 【典例1】（1）已知集合，则集合中元素的个数是________． （2） 已知、为实数，集合，，若，则________． （3） 已知集合，若且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（1）已知集合，则集合中元素的个数为________． （2） 已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数________． （3） 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（1）如果集合只有一个元素，则实数的值是________． （2）已知集合，且，则实数的值是________． （3）已知集合，若，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点二 集合间的基本关系 【考法分析】重点考查子集、真子集的概念，以及利用包含关系求参数的取值范围．“先判空集，再论非空”是此类问题的核心解题策略． 【典例2】（1）若，则的真子集个数为________． （2） 设集合，，若，则由实数组成的集合为________． （3） 设，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（1）集合的子集个数为________． （2） 已知集合，，若，则实数的取值范围是________． （3）设，，则（ ） A． B． C． D． 考点三 集合的运算 【考法分析】多结合一元二次不等式、函数的定义域/值域进行考查．解题关键是“先化简集合，再借助数轴或Venn图求解”． 【典例3】（1）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． （3）已知集合，，若，则实数的取值范围是________． 【变式训练3】（1）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （3）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点四 集合中的新定义问题 【考法分析】近年高考常以新定义的形式考查集合，要求学生快速理解新概念，并结合已有知识进行推理运算． 【典例4】在机器学习中，常用来衡量两个集合、之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则________． 【变式训练4-1】定义一种运算：．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知、是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是________． 拓展 容斥原理 【考法分析】这个知识点一般不会在集合部分直接考查，但是可能会作为背景知识进行新定义题目的考查，同时也是概率论上的一个重要公式，可以结合概率论进行考查． 【典例】为了丰富同学的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 参考答案 基础测试 1． （1）× （2）× （3）× （4）× （5）√ （6）√ （7）√ （8）× （9）√ 2． 或 3． 4． 5． 6． D 【典例1】（1） （2） （3）C 【变式训练1-1】（1） （2） （3）C 【变式训练1-2】（1）或 （2） （3）C 【典例2】（1） （2） （3）B 【变式训练2】（1） （2） （3）A 【典例3】（1）B （2）D （3） 【变式训练3】（1）A （2）D （3）B 【典例4】 【变式训练4-1】B 【变式训练4-2】 【典例】8 学科网（北京）股份有限公司 $