第1章 第1节 集合-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第一章 ⑨考点精讲课堂 ⊙答题技巧指导 ⊙高考备战策略 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 夕电子课件文档 第1节集合 ★[课程标准]1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形 语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间 包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合 的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集.7.能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3集合的基本运算 1.集合的基本概念 基本 (1)集合元素的性质： 并集 交集 补集 运算 (2)元素与集合的关系 ①属于，记为 若全集为 ②不属于，记为 符号 U,则集合 (3)常见数集的记法 AUB 表示 A的补集 自然 正整 有理 集合 整数集 实数集 为CuA 数集 数集 数集 符号 N N+(或N*) Z Q R 图形 (4)集合的表示方法：① ;② 表示 ③ 2.集合间的基本关系 数学 关系 自然语言 符号语言 维恩图 语言 如果集合A的任意 个元素都是集合B 子集 AU(CUA) 的元素，那么集合A 或A(B) 称为集合B的子集 AUO- ;A∩财= 运算 A∩(CuA) AUA- A∩A= 如果集合A是集合B 性质 AUB-BUA A∩B=B∩A 的子集，并且B中至 真 CU(CUA) 少有一个元素不属于 子集 A,那么集合A称为集 合B的真子集 重要结论 一般地，如果集合A 1.AUB=A台B≤A,A∩B=A台AB. 集合和集合B的元素完 2.若集合A(A≠0)中含有n个元素，则它的子集 A(B) 相等 全相同，则称集合A 个数为2”，真子集个数为2”一1，非空真子集个 与集合B相等 数为2m-2. 高考总复习人教数学B版（新教材） 自主诊断 A.{a}三A B.a三A ◆[思考辨析] C.{a}∈A D.aA 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 2.(2023·北京卷，1)已知集合M={x|x+2≥0}， 里打“√”，错误的打“X”. N={xlx-1<0}.则M∩N= ( (1)0={0}. ( A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元 C.{xlx≥-2} D.alx<1) 素集合的子集。 ( 3.(教材改编)设全集U=R,集合A={x一1≤x<3}, (3)a在集合A中，可用符号表示为a二A.( B={x|2x-4≥x-2},则AUB= (4)NCNCZ. ( C(A∩B)= (5)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则 A∩B={x|x∈R}. ( ) 4.已知集合A={xx2-2x十a>0},且1￠A,则实 ◆[小题查验] 数a的取值范围是 1.若集合A={x∈Nlx≤√I0},a=2√2，则下列结 5.已知集合A={(xy)lx2+y2≤3，x∈Z,y∈Z, 论正确的是 则A中元素的个数为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春点1) 集合的基本概念（基础点） 吉点2 集合间的基本关系（重难点） L.已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B [典例](1)已知集合A={xa.x=1},B={xx2-1 =0},若A三B,则a的取值构成的集合是( {(x,y)x十y=8},则A∩B中元素的个数为 A.{-1} B.1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} A.2 B.3 C.4 D.6 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1 <x<2m-1},若B三A,则实数m的取值范围 2.若集合A={x∈Ra.x2-3x+2=0}中只有一个 是 元素，则a= [尝试解答] (1) (2) A号 D0或号 。[互动探究] C.0 本例(1)中若A={xax>1(a≠0)}，B={xx2-1≥ 0},其他条件不变，则a的取值范围是 3.abeR若{， {a2,a十b,0},则a2o24+ 方法指导 由集合的关系求参数的关键点 b2024 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关 4.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m 系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的 的值为 关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、维恩 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区 题后反思 间端点的取舍. 解决集合概念问题的一般思路 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集 的情况。 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素， !跟踪训练 然后再看元素的限制条件，当集合用描述法 1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B 表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么 {1,a-2,2a-2},若A三B,则a= () (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含 A.2 B.1 c号 D.-1 有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止 2.已知集合A=(1,2},B={xx2十mx+1=0,x∈ 与集合中元素的互异性相矛盾. R},若B二A,则实数m的取值范围为 2 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 春点3 集合的基本运算 专点4)集合的新定义问题（创新点） ◆[命题角度1]求交集、并集 [典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k 1.(2023·新课标I卷)已知集合M={-2,-1,0, ∈A,如果2庄A,且√R庄A,那么k是A的一个 1,2},N={xlx2-x-6≥0}，则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} “酷元”，给定S={x∈Ny=1g(36-x2)},设M B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 二S,集合M中有两个元素，且这两个元素都是 2.(2022·全国甲卷，3)设全集U={一2，-1,0,1， M的“酷元”，那么这样的集合M有 2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3= A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 0},则Cw(AUB)= 核心素养 A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0} 数学抽象—集合新定义中的核心素养 ◆[命题角度2]集合的交、并、补的综合运算 以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心， (基础点) 1.(2023·全国乙卷)设集合U-R,集合M-{x|x 以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只 <1},N={x一1<x<2},则{xx≥2}=( 是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充 A.Gu (MUN) B.NUCM 分体现了核心素养中的数学抽象.具体见下表： C.C(M∩N) D.MUGUN 汇考题解读本题考查集合的交、并、补集运算， 信息提取 信息解读 数学抽象 考查数学运算与数学抽象的核心素养.集合是高 着眼点一（获得 考每年必考知识点，一般以容易题目呈现，位于选 设A是自然 数学概念与规 择题的前3题的位置上，所给集合多为简单不等 式的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年 数集的一个非 则)：对“酷元”这 空子集，对于 新定义：非空 一新概念的理解 来保持稳定 集合A三N, 2.(多选)已知集合A={x|一1<x≤3}，集合B= k∈A,如果k2 与把握. 对于k∈A,如 着眼点二（提出 {x|x≤2}，则下列关系式正确的是 度A,且√RE 果2A,且 A.A∩B=☑ 数学命题和模 A,那么k是 B.AUB={x|-2≤x≤3} √E在A,那么k 型)：确定集合M A的 一个 C.AU(CRB)={x|x≤-1或x>2} 是A的一个 的个数. “酷元”. D.A∩(CRB)={x|2<x≤3} “酷元” 着眼点三（形成 ◆[命题角度3]利用集合的基本运算求参数 给定S={x∈ 先将集合S用 数学思想与方 的取值（范围）（重难点） N|y=1g(36- 列举法表示出 法)：将集合S [典例](1)设集合A={x1x2-4≤0}，B={x2z x2)},设M二 来，再从其双 用列举法表示 +a≤0}，且A∩B={x-2≤x≤1}，则a= S,集合M中 元素子集中挑 出来 ( 有两个元素， 选出这两个元 着眼点四（认识 A.-4 B.-2 C.2 D.4 且这两个元素 素都是M的 数学结构与体 (2)已知集合A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2}， 都是M的“酷 且AU(CRB)=R,则实数a的取值范围是 系)：利用子集 元”，确定集合 “酷元” (真子集)的相 M的个数 [尝试解答](1) (2) 关知识解决 解题技法 问题 解集合运算问题应注意以下三点 [尝试解答] (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集 素养点晴 合中元素的构成入手是解决集合运算问题的 集合新定义问题的“3定” 关键. (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列 (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简 举法写出所有元素. 再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决. (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集 (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合 合的运算问题转化为集合的交集、并集与补 形式有数轴、坐标系和维恩图. 集的基本运算问题，或转化为数的有关运算 提醒：维恩图图示法和数轴图示法是进行集合 问题. 交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示 (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举 法要特别注意端点是实心还是空心 法或描述法写出所求集合中的所有元素. 3 高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 A.存在集合A,使得n[P(A)]=5 B.若A二B,则P(A)二P(B) (多选)定义一个集合A的所有子集组成的集合 C.若A∩B=⑦，则P(A)∩P(B)=☑ 叫做集合A的幂集，记为P(A),用n(A)表示有 D.若n(A)-n(B)=2,则n[P(A)]=4Xn[P(B)] 限集A的元素个数，给出下列命题，其中正确的 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关1 命题是 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件 ★[课程标准]1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有 一个量词的命题进行否定.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.命题的概念 若p是g的充分（必要）条件，q是r的充分（必要） 可供真假判断的陈述语句就是命题.其中判断为 条件，则p是r的充分（必要）条件，即“p→q且q→ 真的语句称为 ,判断为假的语句称为 r”→“p→r”(“pq且g←=r”→“←r”) 自主诊断 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 ◆[思考辨析] p是q的 ,g是p的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 D→q 里打“√”，错误的打“X”. (1)命题p的否定是p. () p是q的 条件 p→q且qPp (2)若p是g成立的充分条件，则g是p成立的 p是q的 条件 必要条件. () pPq且q→p (3)若p是g成立的充要条件，则可记为p台g. p是q的 条件 p台q p是q的 条件 pPq且q为p (4)3x∈M,p(x)与Hx∈M,一(x)的真假性相同. ( 3.全称量词和存在量词 (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈 量词命题， () 述中表示所述事物的全体.用符合“H”表示 (6)“对顶角相等”是全称量词命题. ( ) (2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在 ◆[小题查验] 陈述中表示所述事物的个体或部分， 1.(教材改编)命题“Hx∈R,ex一1≥x”的否定是 4.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题 () 的否定 A.3x∈R,e-1≥x 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 B.Vx∈R,er-l≤x C.3x∈R,e-l<x “对集合M 全称量 D.Hx∈R,ex-l<x 中所有元素 词命题 2.(多选)（教材改编）下列命题中为真命题的是 x,r(x)” A.Vx∈R,x2>0 “存在集合 存在量 B.Hx∈R,-1≤sinx≤1 M中所有元 词命题 C.3x∈R,2x<0 素x,s(x)” D.3x∈R,tanx=2学习讲义·参考答案 第一章 第1节 所以一1a<0,综上所述，0<u1, 夯实·必备知识必备知识 或一1≤a<0. 1.（1)确定性无序性 互异性 答案：[-1,0)U(0,1] 跟踪训练 (2)∈廷(4)列举法描述法图 示法2.A二B(或B2A)A车B(或 1.B[若a一2=0，则a=2,此时A B早A)A=B3.A∩B{x1x∈A, {0,一2}，B={1,0,2},不满足题意： 或x∈B}{xx∈A,且x∈B}{xx 若2a-2=0,则a=1,此时A={0, ∈U,且xEA}AA☑AU 一1}，B={1,-1,0},满足题意.] ⑦A 2.「-2.2) 思考辨析(1)×(2)×(3)× 考点3命题角度1 (4)×(5)× 1.C[方法一：因为N={xx2-x-6 小题查验 ≥0}=(-∞，-2]U[3,十∞)，而M 1.D ={-2,-1,0,1,2},所以M∩N 2.A[由题意，M={xx十2≥0}={x {-2}. |x≥-2}，N={xx-10}={xx 方法二：因为M={一2，-1,0,1,2}， <1},根据交集的运算可知，M∩N 将-2，-1,0,1,2代入不等式x2-x ={x|-2≤x<1}.] 一6≥0，只有一2使不等式成立，所 3.{xx≥-1}{xx2或x≥3} 以M∩N={-2;.] 4.(-∞，1]5.9 2.D 跃升·关键能力考点1 命题角度2 1.C2.D 1.A[由题意可得MUV={xx 3.解析：由已知得a≠0，则2=0， 2},则C(MUN)={xx≥2}，选项A a 正确；CM={xx≥1}，则NUCM= 所以b=0, {xx>一1}，选项B错误；M∩N 于是a2=1,即a=1或a=一1， {x-1<x1},则Cu(M∩N)={x 又由集合中元素的互异性知a=1应 |x≤-1或x≥1}，选项C错误；CN 舍去，故a=一1，所以a2024十b021= ={xx≤-1或x≥2}，则MUCN (-1)2024+02024=1. ={xx<1或x≥2}，选项D错误.] 答案：1 2.BD 4.一2 3 命题角度3 [典例][解析](1)[解一元二次不 考点2 等式x2-4≤0，可得A={x-2≤x [典例][解析](1)由题意，得B= ≤2}，解一元一次不等式2x十a≤0， {一1,1}，因为A二B, 所以当A=必时，a=0: 可得B={女≤-受} 当A={一1}时，a=一1： 由于A∩B={x|-2≤x≤1}， 当A={1}时，a=1. 又A中至多有一个元素， 故-8=1，解得a=-2. 所以a的取值构成的集合是{一1,0,1. (2)CRB={xx<1,或x>2},要使 (2)当B=0时，有m+1≥2m-1, AU(CRB)=R,则a≥2. 则m2. [答案](1)B(2)[2,+∞) 当B≠0时，若B二A,如图 考点4 典例]C[由36一x2>0,可解得 -2m+10 2m-17x 一6<x<6,又x∈N,故x可取0,1， m+1≥-2， 2,3,4,5,故S={0,1,2,3,4,5. 则2m-1≤7， 解得2<m≤4. 由题意可知：集合M不能含有0,1， m+12m-1, 且不能同时含有2,4.故集合M可以 综上，实数m的取值范围为m≤4， 是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4、{4， [答案](1)D(2){mm≤4} 5}. 互动探究 跟踪训练BD[对于A,设n(A)= 解析：由题意，得B={xx>1,或x m,则A的子集个数为2m,故 -1〉， 对于集合A,①当a>0时， n[P(A)]=2m,显然2m=5无非负整 数解，故A错误；对于B,若A二B,则 A的所有子集都是B的子集，故P (A)二P(B),故B正确；对于C,若A 因为ACB,所以1≥1. a ∩B=),则A,B的公共子集只有空 又a>0,所以0<a1 集了，故P(A)∩P(B)={⑦}，故C ②当a<0时.A={}》 错误；对于D,若n(A)一n(B)=2,不妨 设n(A)=m,则n(B)=m-2,∴.nP 因为ACB,所以1≤-1，又a<0, (A)]=2,n[P(B)]=2-,显然n[P a (A)]=4Xn[P(B)],故D正确.] ·409· 参考答案 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.真命题假命题2.充分条件必 要条件充分不必要必要不充分 充要既不充分也不必要4.x∈ M,r(x)3x∈M,p(x)3。∈ M,s(xo)Hx∈M,7p(x) 思考辩析(1)/(2)/(3)√/ (4)×(5)/(6)/ 小题查验 1.C 2.BD 3.A[若sinx=1,则x=受十2km,b ∈Z,c08=0:若60sx=0,则x=号 十kr,k∈Z,sinx=1或sinx=-l.若 sinx=1可推出cosx=0,充分性成 立；反之不成立，必要性不成立，故为 充分不必要条件，门 4.(3,+∞）5.①③④ 跃升·关键能力考点1 [典例](1)BC[tana=2,则cos2a -cos'a-sin'a-1-tan'a3 cos'a+sin a 1+tan a 5 故A错误；sina十cos3=1,则sina cos2 8=sin'a+(1-sin a)2= 2(sina-之)+合>2B正确：报 2 据存在量词命题的否定是全称量词 命题：“3xo∈Z,sinx∈Z”的否定 是“Vx∈Z,sinx氏Z”,故C正确：将 通教y=c0s2x的图像向左平移平 个单位长度，得到y= cos(2x+受)=sin2x为偶函 数，故D错误.] (2)BD[对A,E(X)=20, ÷100b=20>p= 1.4=16: .D(X)=100·方·5 :D(2X+1)=D(X0=4,故 A错误；对B,,函数f(x)是定义在 R上的偶函数，.f(x)=f(x), f(log2)>f(log)>f(1) ,∴.log2x<1台-1<log2x<1台 7<z<2,故B正确；对C,z- |<1台0<x<2,∴.“x>0”推不出“0 <x<2”,而“0<x<2”可以推出“x >0”..“x>0”是“|x-1|<1”的必 要不充分条件，故C错误；对D,:样 本中心点为(m,一2.8)，∴.0.3·m m=一2.8→m=4,故D正确.] (3)ACD[对选项A,只需f(x)在 [1,2]上的最小值小于a,f(x)在[1， 2]上单调递增，所以f(x)min=f(1) 2=-1,所以a>-1,故A正 =1一1 确；对选项B,只需g(x)的最小值大