专题2.3 一元二次方程的应用 《知识解读·题型专练》 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题2.3 一元二次方程的应用（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 3 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 5 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 6 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 7 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 9 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 11 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 15 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1．近年来，我国机器人产业综合实力实现了大步跨越．2023年我国市场工业机器人销量约为28.2万台，2025年我国市场工业机器人销量约为38.6万台．设从2023年到2025年我国市场工业机器人销量的年平均增长率为，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长规律，用初始销量、年平均增长率表示出两年后的销量，即可列出方程． 【详解】解：∵从2023年到2025年共经过年，年平均增长率为，2023年销量为万台，2025年销量为万台， ∴2024年销量为万台， 2025年销量为万台， 因此可列方程为． 2．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 3．随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 4．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． （2）解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 5．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，进而可得出1轮后有个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中，可求出经过三轮传染后患病人数． 【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 7．2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 【答案】(1)每天平均一个人传染了8人 (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人 【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据题意列方程即可解答； （2）根据（1）的数据即可求解； 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每天平均一个人传染了x人． 由题意得，， 解得：（舍去）． ∴每天平均一个人传染了8人． （2）（人） 答：如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人． 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 8．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据转发规则，从小昆开始，第一轮他邀请x人，第二轮第一轮被邀请的x人每人再邀请x人，故两轮后总人数为小昆自己、第一轮被邀请者和第二轮被邀请者之和，即，据此列方程． 【详解】解：设每人转发x人， ∵第一轮后人数为（小昆及第一轮被邀请者）， ∵第二轮新增人数为（第一轮被邀请者每人邀请x人）， ∴两轮后总人数为， ∴方程为． 故选：B． 10．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 11．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 12．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 【详解】解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 13．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 14．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 15．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 16．在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；解题的关键是明确等量关系，从而构建方程．根据题意明确等量关系：人数（人数），列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 17．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 _____． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 18．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意，每件衬衫降价x元后，每件盈利为元，每天销售量增加件，即件，每天盈利为每件盈利与销售量的乘积，且等于1200元． 【详解】解：设每件衬衫降价x元， ∵每件盈利，销售量，每天盈利，且每天盈利， ∴， 故选：B． 19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 20．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件利润元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价元，解答下列问题： (1)当每件衬衫降价5元，则每件利润___________元，平均每天可售出___________件； (2)若商场想平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？ (3)当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，； (2)每件衬衫应降价元； (3)每件衬衫降价元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和二次函数的最值问题，核心是根据“总利润每件利润销售量”建立数学关系式． （1）直接利用“每件利润原利润降价金额”“销售量原销售量每降价1元多售件数降价金额”计算即可； （2）根据总利润公式列一元二次方程求解，结合“扩大销售、尽快减少库存”的条件选择最优解； （3）将总利润表示为关于的二次函数，通过配方法转化为顶点式，利用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：每件利润为元；平均每天可售出件； 故答案为：，； （2）解：设每件衬衫降价元， 根据题意，得， 解得，， ∵要扩大销售尽快减少库存，降价越多销售量越大， ∴； 答：每件衬衫应降价元． （3）解：设每天的销售利润为元， 根据题意得， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为； 答：当每件衬衫降价元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 22．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 23．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 24．如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形纸板的四角剪去四个边长相等的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，做成一个无盖纸盒．若矩形的面积为，设剪去的小正方形边长为，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长为，则纸盒的底面为长，宽为的长方形，根据纸盒的底面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为，则纸盒的底面为长，宽为的长方形， 依题意，得：， 故选：D． 25．综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． (1)若矩形菜园的面积为，求的长； (2)矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； (3)当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)的长为或 (2)矩形菜园的面积不可能是，理由如下： 根据题意得，， 整理得，， ∴， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是； (3)当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（1）设边长为，则，根据矩形菜园的面积为列方程求解即可； （2）根据题意得到，整理后利用判别式判断即可； （3）设矩形菜园的面积为S，根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设边长为，则， ∵矩形菜园的面积为， ∴， 整理得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴的长为或； （2）略 （3）解：设矩形菜园的面积为S， 根据题意得，， ∵， ∴当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 26．为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． (1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ (2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题的关键． （1）设，则由题意得，根据矩形面积得到，解方程并检验即可； （2）假设展示区面积拓展为180平方米，则，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，符合题意， ∴的长为米； （2）解：不能，理由如下： 假设展示区面积拓展为180平方米， 则 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴展示区面积不能拓展为180平方米． 27．园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 28．如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问： (1)经过几秒，的面积等于？ (2)五边形的面积最小值是多少？ 【答案】(1)经过4秒或2秒，的面积等于 (2)五边形的面积最小，最小值为 【分析】本题考查的是二次函数的最值问题及一元二次方程的应用； （1）设经过秒，的面积等于，再由三角形的面积公式即可得出结论； （2）设经过秒，五边形的面积最小，根据题意得出五边形的面积表达式，求出其最小值即可． 【详解】（1） 设经过秒，的面积等于， ，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动， ，， 的面积， 解得或2， 经过4秒或2秒，的面积等于； （2） 设经过秒，五边形的面积最小， 由（1）知，的面积， 五边形的面积 ， 当时，五边形的面积最小，最小值为． 29．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． (1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示） (2)若的面积是面积的，求的值． 【答案】(1)，； (2)的值为2； 【分析】（1）本题考查三角形上动点问题的列代数，根据路程等于速度乘以时间结合线段长度即可得到答案； （2）本题考查三角形上动点问题及一元二次方程应用问题，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得：，解得：． 答：的值为2． 30．如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______² (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)4； (2) ； (3)或或或． 【分析】（1）当时，可以得出，，就有，由矩形的面积就可以得出四边形的面积； （2）如图1，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （3）分情况讨论，如图3，当时，如图4，当时，如图5，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）如图，四边形是矩形， ，，． ，， ． ． ∴四边形面积是， 故答案为：4； （2）如图1，作于，   ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）． 如图2，作于，   ． ， 四边形是矩形， ，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）， 综上所述： ； （3）如图3，当时，作于，   ， ， 四边形是矩形， ，． ， ．． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 如图4，当时，作于，   ，． ， 四边形是矩形， ． ， ， ． ， 解得：； 如图5，当时，    ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得，（舍去）． 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元二次方程的应用（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 2 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 3 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 3 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 4 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 4 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 5 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 8 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1．近年来，我国机器人产业综合实力实现了大步跨越．2023年我国市场工业机器人销量约为28.2万台，2025年我国市场工业机器人销量约为38.6万台．设从2023年到2025年我国市场工业机器人销量的年平均增长率为，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 4．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 5．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 7．2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 8．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 10．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 11．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 12．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A．B．C． D． 13．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 14．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 15．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 16．在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 17．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 _____． 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 18．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 20．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件利润元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价元，解答下列问题： (1)当每件衬衫降价5元，则每件利润___________元，平均每天可售出___________件； (2)若商场想平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？ (3)当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 22．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 23．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 24．如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形纸板的四角剪去四个边长相等的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，做成一个无盖纸盒．若矩形的面积为，设剪去的小正方形边长为，则列方程为（   ） A． B． C． D． 25．综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． (1)若矩形菜园的面积为，求的长； (2)矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； (3)当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 26．为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． (1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ (2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 27．园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 28．如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问： (1)经过几秒，的面积等于？ (2)五边形的面积最小值是多少？ 29．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． (1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示） (2)若的面积是面积的，求的值． 30．如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______² (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $