专题1.1 菱形的性质和判定（六大题型）（题型训练）2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题1.1 菱形的性质和判定（六大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 根据菱形的性质求线段长】...................................................................................4 【题型3 根据菱形的性质求面积】.......................................................................................8 【题型4 添一条件使四边形是菱形】..................................................................................10 【题型5 菱形的判定】........................................................................................................15 【题型6 菱形的性质与判定综合】.....................................................................................19 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得邻角互补，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 2．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图，在菱形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是利用菱形的性质求出角的度数，再结合等腰三角形的性质计算． 先根据菱形的性质求出的度数，再结合，利用等腰三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形， 平分， ， ， 又 ， 是等腰三角形，， ． 故选：B． 4．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数；根据作图痕迹判断出直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数；最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形性质求出，进而求出，证明，得到，结合判定为等边三角形，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 6．菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形，再用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为． 7．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 8．图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 【答案】1 【分析】由菱形的性质得到，由，，利用勾股定理可求出，进而可得． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ． 9．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出， 容易判断是的中位线，则，，，从而得到，使用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，． 【题型3 根据菱形的性质求面积】 11．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 12．如图，某地面砖图案是一个菱形，已知两条对角线长分别为2和，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，即可求解． 【详解】解：∵两条对角线长分别为2和， ∴该菱形的面积为． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质得到，，，，进而得到，从而是等边三角形，因此，，再由勾股定理求出，得到，再由菱形面积的计算方法求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．的运动路线：点为，点为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为_____． 【答案】平方厘米/ 【分析】根据图象可知整个过程分为三个过程：第一，两者都在上运动；第二，点在，点在；第三，两者都在运动．再根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可． 【详解】解：根据题意可知，当，两点都在上运动时，最大值为， 厘米， 由菱形的性质，得厘米，， 同理，第三个过程开始时，、两点相距厘米， 厘米， （平方厘米）． 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 16．若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故不符合题意； B、当时，四边形是菱形，故符合题意； C、当时，四边形不一定是菱形，故不符合题意； D、当时，四边形是矩形，故不符合题意； 故选：B． 17．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；故选项C不符合题意； 当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 18．如图，是四边形的对角线，E，F，G，H分别是的中点，下列条件中，能判定四边形为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解． 【详解】∵E，F，G，H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时， ∴， ∴平行四边形是菱形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键． 19．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　） ①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形； ②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； ③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形： ④当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形； A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意； ②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意； ③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意； ④当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 20．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5 菱形的判定】 21．如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 【答案】四边形是菱形，详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．根据四边形是平行四边形，推出，结合作图痕迹，可知，，从而得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， 由作图可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 22．如图，菱形的对角线相交于点O，E，F是上的两点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由菱形得到，结合已知得到，继而可得四边形是平行四边形，再由对角线垂直证明为菱形． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． 23．如图，四边形中，，，两条对角线，相交于点O，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，所以，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 24．如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形. 【分析】（1）根据角平分线的画图步骤作图即可； （2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，，证明四边形是平行四边形，进一步可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等角对等边，熟记判定定理是解本题的关键. 25．已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】(1)③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，选择条件：③； （2）证，可得一组邻边相等，可证是菱形． 【详解】（1）解：选择的条件是③：， 故答案为：③； （2）证明： ， ， ∵四边形为平行四边形； 为菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 26．如图，点E、F分别在矩形的边和上，和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据矩形及全等三角形的判定和性质得出，，再由平行线的性质确定，得出，再由菱形的判定证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，确定，利用勾股定理得出，再由菱形的性质确定，设，则．，根据勾股定理得出的长为5．再次使用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴即， ∵，， ∴， ∴， 设，则．， 在中， ， 解得，即的长为5． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 27．小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：由作图步骤可知：，平分，，、、在同一条直线上， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵、、在同一条直线上， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 即四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先由作图条件得、平分，证，推出对角线互相平分且垂直，从而判定为菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线的长度，再用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）略； （2）∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 【点睛】通过全等证对角线垂直平分，再利用勾股定理求对角线长，进而计算菱形面积． 28．如图，在四边形中，，平分交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为14，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：， ∴． ，， ． ． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ． ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由推出，结合与对顶角，证，得，先判定四边形是平行四边形；再由平分得，等量代换得，，根据邻边相等的平行四边形为菱形完成证明； （2）菱形中，由周长14，得，故；在中，由勾股定理，；代入菱形面积公式，算出面积为． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，，，． 的周长为14， ． ∴． 在中，． ． ∴菱形的面积为． 29．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， 又四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：D，E分别是，的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形，， ，，， ， 由(1)可知，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 菱形的性质和判定（六大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 根据菱形的性质求线段长】...................................................................................2 【题型3 根据菱形的性质求面积】.......................................................................................3 【题型4 添一条件使四边形是菱形】...................................................................................4 【题型5 菱形的判定】.........................................................................................................5 【题型6 菱形的性质与判定综合】......................................................................................7 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 5．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 6．菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 7．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 8．图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 9．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，是的中点，连接，则的长为_________． 【题型3 根据菱形的性质求面积】 11．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 12．如图，某地面砖图案是一个菱形，已知两条对角线长分别为2和，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 14．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 15．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．的运动路线：点为，点为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为_____． 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 16．若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，是四边形的对角线，E，F，G，H分别是的中点，下列条件中，能判定四边形为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 19．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　） ①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形； ②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； ③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形： ④当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形； A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 20．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【题型5 菱形的判定】 21．如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 22．如图，菱形的对角线相交于点O，E，F是上的两点，且．求证：四边形是菱形． 23．如图，四边形中，，，两条对角线，相交于点O，，，．求证：四边形是菱形． 24．如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接．求证：四边形是菱形． 25．已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 26．如图，点E、F分别在矩形的边和上，和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 27．小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 28．如图，在四边形中，，平分交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为14，求菱形的面积． 29．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 30．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $