专题1.3 正方形的性质和判定（八大题型）（题型训练）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定八大题型，以题载知，覆盖角度计算、线段求解、折叠变换等核心考法，培养几何直观与推理能力，构建从性质应用到判定综合的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|20题|角度计算、线段长、面积（含重叠）、折叠问题|基于正方形边、角、对角线性质，结合全等、旋转、轴对称| |判定综合|20题|添条件证正方形、判定证明、性质与判定综合|衔接菱形、矩形判定，强化“边-角-对角线”判定逻辑|

专题1.3 正方形的性质和判定（八大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】......................................................................................1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】.................................................................................4 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................9 【题型4 正方形与折叠】......................................................................................................12 【题型5 求正方形重叠部分面积】.......................................................................................17 【题型6 添一条件使四边形是正方形】................................................................................23 【题型7 正方形的判定】......................................................................................................25 【题型8 正方形的性质与判定综合】...................................................................................30 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为四边形是正方形，所以先根据正方形对角线的性质，得到、、的度数，因为平分，所以根据角平分线的定义，计算出的度数，因为，所以代入对应角度即可得到结果． 【详解】在正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在正方形中，平分， ． ， ． 又， ． 3．如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质和正方形的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 5．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质是解题的关键．由在正方形中可求出，从而得到，由折叠可得，再根据正方形中，求得． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在正方形中，， ∴． 故选：C． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 6．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，分别交，于点，．若点、为线段的三等分点，，的面积为8，则正方形的边长为（   ）    A． B． C． D．60 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．设，则，由勾股定理求得；由题意得，进而求得，利用面积关系建立方程求得a的值，即可求得正方形的边长． 【详解】解：设，则， 由全等三角形的性质得：， ∵， ∴由勾股定理求得； ∵点、为线段的三等分点， ∴， 在中，； ∵的面积为8， ∴， 解得（负值已舍去）， 正方形的边长为． 故选：B． 【点睛】    7．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，解题关键是要注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，由根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为6， ∴，， 根据折叠的性质得：，， 设， 则，，， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：A． 9．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（    ） A． B． C．10 D．15 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，如图1中，连接，，交点为．在图2中，理由勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1中，连接，，交点为，    在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在图1中，∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在正方形中，为线段上一点且，连接，交于点，分别作，的中点，，连接，若，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理．连接，根据正方形的性质得过点，，进而可求出，，再证为的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为正方形，为对角线，点为的中点， ∴过点，， ， ， ∵过点， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴ 为的中位线， ， 故选：C． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．若正方形的对角线长为，则这个正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵正方形的对角线长为， ∴正方形的面积为：． 故选A． 12．如图，点E是正方形的边上一点，连接，过点A作交的延长线于点F，连接．若，，则的面积为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是证明出． 首先根据题意证明出，得到，然后利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的面积为． 故选B． 13．如图，把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形．若已知该菱形的一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则图2中小正方形（阴影部分）的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质以及正方形的性质，根据题意，得出，所以图2中小正方形（阴影部分）的面积为，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一条对角线长为6，另一条对角线长为8，    ∴设菱形的对角线分别为 则 ∴ ∵将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形 ∴结合图形，得出图2中小正方形（阴影部分）的面积为 ∴ 故选：A 14．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分，的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，先求出，设点E到的距离为h，由角平分线的性质得到，再利用等面积法求出，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴， 设点E到的距离为h， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形的面积是， 故选：D 15．如图，点E在正方形内，满足，，则阴影部分的面积是（    ） A．48 B．52 C． D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出正方形的边长，则正方形的面积减去三角形的面积即可阴影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选：C． 【题型4 正方形与折叠】 16．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 17．把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，理解图示，培养学生的空间思维能力，掌握图示特点是关键． 根据图示特点分析即可． 【详解】解：把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是 ， 故选：D． 18．如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 由正方形和折叠的性质可得，且， ， ， ， 当点G是靠近点B的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 当点G是靠近点C的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 20．如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=，DF⊥CE，求得OE=-1，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC， ∴BD=AB=2， ∴OD=BO=OC=1， ∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处， ∴DE=DC=，DF⊥CE， ∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°， ∴∠ODM=∠ECO， 在△OEC与△OMD中， ， △OEC≌△OMD（ASA）， ∴OM=OE=-1， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 21．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 22．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后可得，，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由两个边长为2的正方形中心重合，可知：， ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 【答案】A 【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果． 【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为， 由图可知①中小正方形的边长为，面积为1， ， ， ， 由图可知②中新构造出的正方形边长为， 面积， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，， 新构成的正方形面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 24．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（　　） A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2 【答案】B 【分析】根据图形得出三角形ABC的面积S=正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB-S△AFC-S△BHC，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起， ∴CM＝AF＝FG＝a，BG＝CG＝CH＝BH＝b， ∴三角形ABC的面积S＝S正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB﹣S△AFC﹣S△BHC ＝a2+b2+•（b﹣a）﹣•（a+b）﹣b•b ＝a2+b2+﹣﹣﹣﹣ ＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，列代数式和整式的混合运算，能根据图形列出代数式是解此题的关键． 25．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，连接AE、AF， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF 中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 【题型6 添一条件使四边形是正方形】 26．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（     ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 【详解】解：∵菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等， ∴A，C，D都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形， 又∵对角线相等的菱形是正方形， ∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形． 27．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 28．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 29．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 30．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有__________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【题型7 正方形的判定】 31．如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，．求证：    (1)； (2)四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明可证明结论； （2）由全的性质可得，同理可证得，再利用正方形的判定方法得出答案． 【详解】（1）解：证明：四边形和都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ． ， 同理可得：， ， 四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定等知识，得出：是解题关键． 32．如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形．    【答案】 证明：如图，作与H点， ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】作与H点，首先根据三个角是直角的四边形是矩形证明出四边形是矩形，然后根据角平分线的性质得到，进而证明出四边形是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 33．如图，中，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】作于G，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形． 【详解】证明：作于G，如图， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质等知识；关键是根据正方形的判定、角平分线的性质解答． 34．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）结合题意易证，得到，，由易证即，从而证明结论； （2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴正方形EFMN的周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解． 35．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据矩形的性质及余角证明，再利用AAS证明，推出，即可证明矩形ABCD是正方形． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△ABF和△DAE中，     ∴， ∴， ∴矩形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定等知识点，本题中证明是解题的关键． 【题型8 正方形的性质与判定综合】 36．如图，正方形中，将边折叠至，连接、，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作，由折叠可知，根据等腰三角形三线合一定理可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据正方形的四个角都是直角可得，根据同角的余角相等可证，等量代换可证结论成立； （2）证明，根据全等三角形的性质可证，设，则，由勾股定理可得，解方程求出，从而可得． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 由折叠可知， 平分， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ； （2）解：四边形是正方形，， ， 由折叠可知，， 在和中，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，． 37．如图，在正方形中，点G，E 分别在上，，相交于点F． (1)求证：； (2)当点E是的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）延长，交于点H，证明，可得，再由直角三角形的性质可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，延长，交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． （2）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 39．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 40．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 正方形的性质和判定（八大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】......................................................................................1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】.................................................................................3 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................4 【题型4 正方形与折叠】......................................................................................................5 【题型5 求正方形重叠部分面积】.......................................................................................7 【题型6 添一条件使四边形是正方形】................................................................................9 【题型7 正方形的判定】......................................................................................................10 【题型8 正方形的性质与判定综合】...................................................................................11 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 6．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，分别交，于点，．若点、为线段的三等分点，，的面积为8，则正方形的边长为（   ）    A． B． C． D．60 7．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 8．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 9．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（    ） A． B． C．10 D．15 10．如图，在正方形中，为线段上一点且，连接，交于点，分别作，的中点，，连接，若，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．若正方形的对角线长为，则这个正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，点E是正方形的边上一点，连接，过点A作交的延长线于点F，连接．若，，则的面积为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 13．如图，把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形．若已知该菱形的一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则图2中小正方形（阴影部分）的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分，的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 15．如图，点E在正方形内，满足，，则阴影部分的面积是（    ） A．48 B．52 C． D．80 【题型4 正方形与折叠】 16．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 17．把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（   ） A．B．C．D． 18．如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 19．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 20．如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则 （    ） A． B． C． D． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 21．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 22．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 24．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（　　） A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2 25．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 【题型6 添一条件使四边形是正方形】 26．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（     ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 27．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 28．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 29．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 30．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有__________．（只填序号） 【题型7 正方形的判定】 31．如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，．求证：    (1)； (2)四边形是正方形． 32．如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形．    33．如图，中，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足．求证：四边形是正方形． 34．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 35．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 【题型8 正方形的性质与判定综合】 36．如图，正方形中，将边折叠至，连接、，． (1)求证：； (2)若，求的长． 37．如图，在正方形中，点G，E 分别在上，，相交于点F． (1)求证：； (2)当点E是的中点时，求证：． 38．如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 39．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1) 求证：四边形是正方形； (2) 若，求证；． 40．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $