25.2.2 公式法（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

25.2.2 第1课时 一元二冰 基础过关 逐点击破 知识点一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程x2一5x十2=0的根的判别式 的值是 ) A.33 B.23 C.17 D.√/17 2.(扬州中考)关于一元二次方程x2一3x十1=0 的根的情况，下列结论正确的是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 3.(德阳中考)若关于x的一元二次方程 一2x2十4x十k=0有两个相等的实数根，则 k的值是 ( A.2 B.0 C.-2 D.-4 4.半开放性题新趋势已知关于x的一元二次 方程x2十3x一2m=0没有实数根，则m的 值可能是 .（写出一个即可) 5.(教材P17习题T4变式)利用一元二次方程 根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)x2-3√2x+4=0; (2)5.x2+5x=4x2-10. 公式法 方程的根的判别式 ·能力提升 ◆>卜整合运用 6.若方程2x2-x十m=0的根的判别式的值为 9,则常数m的值为 A.2 B.1 C.0 D.-1 7.(雅安中考)关于x的一元二次方程(m 3)x2十6x十3=0有两个实数根，则m的取 值范围是 A.m>6 B.m≤6且m≠3 C.m≥6 D.m<6且m≠3 【变式题】弱化条件：一元二次方程有实数 根→方程有实数根 （易错题)若关于x的方程kx2一4.x十4=0 有实数根，则k的取值范围是 () A.k<1且k≠0 B.k<1 C.k≤1且k≠0 D.k≤1 8.(易错题)已知m,n,3分别是等腰三角形三 边的长，且m,n是关于x的一元二次方程 x2一8x十21一k=0的两个实数根，则k的值 为 9.(教材P18习题T10变式)已知关于x的一 元二次方程x2-(2m+1)x十4m-2=0. (1)求这个一元二次方程的根的判别式的 值；（用含m的式子表示） (2)求证：无论m取何值，这个方程总有实 数根， 第二十五章一元二次方程8 第2课时 用公式 【基础过关 >逐点击破 知识点用公式法解一元二次方程 1.一元二次方程x2十x-1=0的根是( A.x=1-√/5 B.x=-1+5 2 C.x=-1+/5 D.x=-1±⑤ 2 2.下列一元二次方程的根是x= 3±√-3)4X2X灯的是 2X2 A.2x2+3x+1=0B.2x2-3x+1=0 C.2x2+3x-1=0 D.2x2-3x-1=0 3.将方程2x2十8=9x化为一般形式是 其中a= ,b= ,c=,则b2 4ac= ,用求根公式可得x1= x2= 4.用公式法解下列方程： )3-2z+3=0: (2)2x2+7x=0; 9数学九年级上册配R)版 法解一元二次方程 (3)-x2+2√5.x=10. ?易错点在用公式法时未将方程化为一 般形式而致错 5.过程纠错新趋势小明解方程x2一5x=1的 过程如下： 解：，a=1,b=-5,c=1,(第一步) .△=b-4ac=(-5)2-4×1×1=21.(第 二步) x=5±2，（第三步) 2 即.m=5+2虹 2 江，=5√I.（第四步) 2 (1)小明的解答过程从第 步开始出 现错误，错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程. T能力提升 ◆整合运用 6.关于x的一元二次方程x2一2x一c=0能用 公式法求解的前提是 A.c=1 B.c≥1 C.c≥-1 D.c≤-1 7.已知关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0 的根为一6±于，则c的值为 2 ( A.1 B.-1C.0 D.2 8.新定义新趋势（易错题）对于两个不相等的 实数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b 中的较小值，如：min{2,5}=2.按照这个规 定，方程min{x,1}=x2-2的根为 9.用公式法解方程：x(x-2)一3x2=一1. 10.已知关于x的一元二次方程x2-（k+1)x十 2k-2=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k 的取值范围 【思维拓展 >>P强化素养 11.数形结合新理念古希腊数学家丢番图在 《算术》中就提到了一元二次方程的问题， 不过当时古希腊人还没有找到它的求根公 式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得 的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0, b>0)的方程的图解法如下： 如图，以号和b为两直角边长作Rt△ABC, 其中∠ACB=90°，再在斜边AB上截取 BD=?,则AD的长就是所求方程的解. (1)求AD的长；（用含字母a,b的代数式表示） (2)请利用公式法说明该图解法的正确性， 并说说这种解法的遗憾之处， 第二十五章一元二次方程10参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 基础过关 1.C2.C3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2一7=0.它的二次项系 数是3，一次项系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形 式为2x2-4x十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是-4，常数项是5.(3)去括号， 得2x2十x一4x-2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2-3x 一4=0.它的二次项系数是1，一次项系数是一3，常数项是一4.4.B5.56.一4 7.C8.解：设该小组有x人.根据题意，得x(x一1)=90.将方程化成一般形式为x2 x-90=0.9.2 能力提升 10.D11.C12.B13.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2 十7x一44=0.(2)设较短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2，化 为一般形式为x2-4x-12=0.14.解：(1)1(2)当x=a时，a2-a-1=0,.a2-a =1.∴.原式=-a3十a2+a2+2025=-a(a2-a)+a2+2025=a2-a+2025=1十 弥2025=2026. 帐 思维拓展 15.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,∴.3a十2b十c=3×2十2×(-1)十 (-4)=0..方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入a.x2-2x十c=0,得a +2十c=0.此方程为“波浪方程”，.3a十2×(-2)十c=0,即3a-4十c=0.联立 1a+2十c=0,解得0=3，。这个“波浪方程”为3x2-2x-5=0. 3a-4+c=0, c=-5. 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 地 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.C3.C【变式题】5（答案不唯一，c≥0即可）4.解：(1)移项，并将二次项系 数化为1，得x2= 织由此可得=士子，即1=子=一子(2)移项，并将二次项 系数化为1，得x2=一 号”-是<0，∴原方程无实数根。5D61=6=0 梁 7.解：1)由方程可得3x-1=士9,3x-1=9,或3x-1=-9,即x=19, (2)移项，得(x-5)2=9.由此可得x-5=士3，x-5=3,或x-5=一3，即x1=8,x2= 2.(3)整理，得(x-1)2=18.由此可得x-1=士3√2，x-1=3√2，或x-1=-3√2，即 x1=1十3√2，x2=1-32.8.8 能力提升 9.C10.C11.-25【变式题】m=2,x=-212.解：(1)整理，得(2x十1)= 4 由此可得2x+1=±号，2x+1=号，或2x十1=-号，即4=是，=-子 ·(2)整理， 得8r=7,即产=号由此可得=±9即写=号-复(8)理，得十5> =3.由此可得x十5=±√3，x十5=√3，或x十5=-√5，即x1=-5十√5，x2=-5-√3. 思维拓展 13.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4，∴.(x十2)2-42= 4.∴.(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士2√5.x1=-2十2√5，x2=-2-2√5. 第2课时用配方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.(1)93(2)空号(3)是子3.A4解：1)移项，得r+10x=-8, 配方，得x2十10x十52=-8十52，(x十5)2=17.由此可得x十5=士√17，x1=-5 -5-m.2配方，得-3（受）=-子()()= 由此可得x一 3 2 2 .5.B6.解：(1)移项，得5x2-2x 3二次项系数化为1，得父-号=是配方，得-号十（日）=音+() 49 （一局)-品由此可得x一=士告=1=一是(2)移项，得子- -2.二次项系数化为1，得x2-8.x=-4.配方，得x2-8.x十42=-4十4，即(x-4)2= 12.由此可得x-4=士23,1=4十23，x2=4-23.(3)移项，得3x2-3x=-1.二 次项系数化为1，得-x=子配方，得2-x十（合）=一号+（合）： 112 （一号)=一立：立<0原方程无实数根，1C 1 能力提升 8.D9.-10.解：1)移项，得x2-25x=3.配方，得x2-2x十(3)=3十 4 (W3),(x一)2=6.由此可得x一√5=±6，x1=√十√6，x2=√3-√6.(2)整理，得x +3x=1.配方，得+3x+(受)=1+（受）：(+)-是由此可得x+昌 ±压，1=二3士压，x=二3，压.(3)整理，得3x2+2x=-1.二次项系数化为 2 2 1得+号=子配方得+子时(）)广=言+（信）()=号 :一号<0∴原方程无实数根。 思维拓展 山解，通-5日(2)(3)二次项系数化为1，得一=-1配方， a 得一（）=-1叶（）（一号）=尝由可得=± 5,x2= 号经检验=5x=号都是原方程的解。(1)中猜想结论正确。 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8.x十4)十5=4(x2-2x十1)十5=4(.x-1)2十5.4(x-1)2≥0， 4(x-1)2+5≥5..代数式4x2-8x十9的值恒为正数.2.解：(1)1(2)原式= (m2+6m十9)+(n2-4n十4)+7=(m+3)2+(n-2)2+7.:(m+3)2≥0，(n-2)2≥ 0,.(m十3)2十(n-2)2+7≥7.m2十n2+6m-4n十20的最小值为7.3.解：x2-1 -(2.x-3)=x2-1-2x+3=x2-2.x十2=(x-1)2+1.(x-1)2≥0，.(x-1)2+1 >0..x2-1-(2x-3)>0..x2-1>2x-3.4.15.解：a2-8a十b2-6b+c2- 6c+34=0,.(a2-8a十16)+(b2-6b+9)十(c2-6c十9)=0..(a-4)2+(b-3)2+ (c-3)2=0.:(a-4)≥0，(b-3)≥0，(c-3)2≥0，a-4=0,b-3=0,c-3=0,解 得a=4,b=c=3..△ABC是等腰三角形.6.解：原式=x2-4xy十4y2-y2= (x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 基础过关 1.C2.A3.C4-2(答案不唯-m<-号即可）5，解：1：a=1,b=-3厄， c=4,∴△=b一4ac=(-3√2)2一4×1×4=2>0.∴.方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为x2十5x十10=0.：a=1,b=5,c=10,.△=b-4ac=52-4×1×10 =一15<0..方程没有实数根， 能力提升 6.D7.B【变式题】D8.5或69.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]-4×1× (4m-2)=4m2-12m十9.(2)证明：由(1)，得△=4m2-12m十9=(2m-3)2≥0，.无 论m取何值，这个方程总有实数根. 第2课时用公式法解一元二次方程 基础过关 1.D2.B3.2x2-9x+8=02-98179+厘9-☑ 4 4 4.解：(1)：a =号=-2c=34=公-4ac=(一2)-4X号×3=0.方程有两个相等的实数根 b -2=3.2):a=2,b=7,c=0,∴.4=6-4ac=7-4×2X0= 49>0.方程有两个不相等的实数根x=二b生Y@c=二7型=二7生1，即m 2×2 4 =0,x2= 7 ,(3)方程化为x2-25x十10=0，此时a=1,b=-25,c=10,A=b 50 一4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0.方程无实数根.5.解：(1)一用公式法解 方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一5x一1=0，此时a=1,b= 一5，c=一1，.△=6一4ac=(-5)2-4×1×(一1)=29>0.方程有两个不相等的实数 根x=-b生4ac=二（-5)去2四_5±√2四，即=5+厘，，=5-√2四】 2a 2×1 2 2 能力提升 6.C7.B8.x1=√3，x2=-19.解：方程化为2x2十2x-1=0,此时a=2,b=2,c= -1,∴.△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0.方程有两个不相等的实数根x= 二b生4ac-二2厘-1E,即1=二15，=-125.10.1)i证 2X2 2 2 2 明：：△=[-(k十1)]2-4×1×(2k-2)=k2-6k十9=(k-3)≥0，.此方程总有两个 实数根.(2)解：由1)，得x=+)±，3D,“1=k-1,=2.由题意，得0< 2 k-1<1,解得1<k<2. 思维拓展 a+= 11.解：(1)：∠ACB=90°，BC=号，AC=b,.AB=BC+AC=√ ,.:BD=号AD=AB-BD=合方L,(2)方程化为r十ax- 2 2 0,A=d-4X1X(-b)=a+4优..x=二a±会于h.:1=二a+公于 2 2 x,=二a一于AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负 2 根.（合理即可） 25.2.3因式分解法 基础过关 1.D2.C3.(x-2)2x1=x2=24.解：(1)左边分解因式，得x(4x-11)=0.于是 x=0,或4x-11=0,即=0，=1.(2)移项，得(5x十4)-x(5x十4)=0.左边分解 4 因式，得(6x十01-)=0.于是5x十4=0，或1-x=0,即=-合=1.(3)移 项、合并同类项，得9x2-4=0.左边分解因式，得(3x十2)(3x-2)=0.于是3x十2=0， 或3r-2=-0,即x=一号，=号.5D6,解：1)配方，得x-2x+1=3十1 (x-1)2=4.由此可得x-1=士2，x1=3,x2=-1.(2)方程化为3.x2一7x十2=0，此时 a=3,b=-7,c=2,.△=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0.方程有两个不相等的实 数根x=二生ac-二《结医-7告5，即1=2，=子7.未考虑 2a 2×3 x-7=0x=7 能力提升 8.D9.2010.解：(1)①B②等式的基本性质(2).a=3,b=-6,c=1,∴.△=b2 一4ac=(一6)-4×3×1=24>0.方程有两个不相等的实数根x=一b±Y-4ac= 云)±85生5，即=1+y6 2×3 =1-.(3)移项，得3一2》-（-4)= 3 0,3(x-2)-(x十2)(x-2)=0.左边分解因式，得(x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0， (x-2)(2x-8)=0.于是x-2=0,或2x-8=0,即x1=2,x2=4. 思维拓展 11.解：(1)①②(2)解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，把x =0代入x2十x十m一1=0，得m一1=0，解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代 入x2十x十m-1=0,得4十2十m一1=0，解得m=-5.综上所述，m的值为1或一5. (3),关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)同时满足a一b十c=0和9a十3b十 c=0,∴.该方程的两个根是=-1，x2=3.方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1= n,x2=-3,且与方程ax十bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边分解因式，得(x十1)(x十4)=0.于是x十1=0，或x十4=0，即x1=-1, x2=-4.(2)左边分解因式，得(x-1)(x-2)=0.于是x-1=0,或x-2=0,即x1=1, x2=2.(3)左边分解因式，得(x十1)(x一6)=0.于是x十1=0，或x一6=0，即x1=一1， x2=6.(4)左边分解因式，得(2x一3)(x十2)=0.于是2x一3=0，或x十2=0，即x1= 号=-2、2解：8y+号号 3 5 乙(2)设x十2x=y,则原方程可变形为、十y -2.整理，得y2十2y十1=0.解得M=y2=-1.∴.x2+2x=-1,解得m1=x2=-1.经 检验，x=一1是原方程的根..原方程的根为x=一1. 51