精品解析：广东东莞市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

2025-2026学年三校高一年第二学期数学期末考试试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2. 数据的第15百分位数为（ ） A. 69 B. 70 C. 75 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义得到答案. 【详解】因为，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的分位数为第2个数据70. 故选：B． 3. 设，向量，且则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算可求出利用向量加法求出和向量的坐标，根据模的公式计算即可. 【详解】因为 所以， 即 ， 所以. 故选C. 【点睛】本题主要考查了向量的平行垂直的坐标运算，向量的模，属于中档题. 4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD，举反例判断C． 【详解】都是锐角，则， ，A正确； ，B正确； 时，， ，，，C错误； ，D正确． 故选：C． 5. 下列四个命题中正确命题的个数是（ ） ①如果，是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线，和平面满足，，，那么； ④如果与平面上的无数条直线平行，那么直线必平行于平面． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由线线和线面的位置关系和线面平行的判定和性质，逐项判断即可得到答案. 【详解】①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面，不正确，可能a，b在一个平面内； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么直线a与平面α内的任何直线平行，不正确，可能a与平面α内的直线异面； ③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，过a与α相交的平面与α交于直线c，可得a∥c，即有b∥c，那么b∥α，正确； ④如果与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面，不正确，可能. 故选：B． 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 7. 已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出等边三角形和正方形的边长及其内切圆半径，根据所求结果和正方形可在内任意旋转可知，正方形各个顶点在三角形的内切圆上，建立合适的直角坐标系，求出三角形的顶点坐标和其内切圆的方程，设出的三角坐标，根据可得到关于坐标中变量的关系，分类讨论代入中化简，用辅助角公式分别求出最大值，选出结果即可. 【详解】解：因为是面积为的等边三角形，记边长为， 所以，解得， 记三角形内切圆的半径为，根据，可得： ，解得， 因为正方形面积为2，所以正方形边长为， 记正方形外接圆半径为， 所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即， 根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知， 正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形可在内任意旋转， 可知正方形各个顶点均在该三角形的内切圆上， 以三角形底边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示： 故可知，圆的方程为， 故设，， 因为，即， 化简可得，即， 解得或， ①当时，点坐标可化为， 此时 ， 所以当，即，即， 即时，取得最大值； ②当时，点坐标可化为， 此时 ， 因为，所以当，即，即， 即时，取得最大值， 综上可知：取得最大值. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查平面几何的综合应用，属于难题，关于圆锥曲线中点的三角坐标的设法有： （1）若点在圆上，可设点为，其中； （2）若点在圆上，可设点为，其中； （3）若点在椭圆上，可设点为，其中； 8. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面的距离为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】A 【解析】 【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案. 【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点， 因为⊥平面，且平面，所以⊥， 又因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 即直线与平面所成的角为， 且，故D错误； C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则，所以⊥平面， 又因为平面，则⊥，故C错误； B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为R，则，即， 所以，故B错误； A选项，如图3，因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 由B选项可知，平面的一个法向量为， 且， 则两平面间的距离，故A正确. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 10. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意结合平均数公式和方差公式得和，对于A，检验得不符合；对于BC，先求出，接着举一组符合比赛成绩出来即可；对于D，先由已知得且，进而得方程组无正整数解即可得解. 【详解】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，， 由题得，则， 且， 则， 不妨设最大， 对于A选项，若，则不成立，故A错误； 对于B选项，若，则， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为7，7，7，7，12，故B正确； 对于C选项，若，则， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确； 对于D选项，若，则且， 则， ， 则可得，该方程组无正整数解，故D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：先由题意结合平均数公式和方差公式得和，接下来对各个选项进行检验，检验初步过程是先求得的正负，再对结果为正值的举例或计算求解即可得解. 11. 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱，点M，N分别在线段上，且满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，线段的长度为定值 C. 当时，三棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理进行判定即可；对于B，根据向量的模的公式和向量数量积的定义计算即可；对于C，先判断三棱锥的结构特征，然后确定三棱锥外接球的球心位置和半径，进而求得外接球的体积；对于D，根据，结合三棱锥体积公式计算即可. 【详解】对于A，当时，如图， 因为，， 所以在中，，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为直三棱柱中，， 所以根据勾股定理得. 在等腰中，，所以， 所以. 所以， 所以当时，线段的长度不为定值，B错误； 对于C，当时，即分别是的中点，如图， 所以，. 在直角三角形中，， 所以，所以. 所以三棱锥的外接球球心为的中点，球的半径为1， 所以三棱锥的外接球体积为，C正确； 对于D，因为. 底面，而点到底面的高与点到底面的高之比为， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】6名同学编号后用列举法列出任选2人的所有基本事件，并得出至少包括一名女同学的基本事件，计数后可得概率． 【详解】6名同学分别编号为，男生，女生，从6名同学中任选两人，基本事件为：共15个，其中至少有一名女同学的事件有共9个， 所求概率为． 故答案为：. 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有基本事件． 13. 已知数列各项均为正项，其前项和为，且，若对总使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ∴ ∴， 整理得， ∵， ∴． 又，解得． ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列． ∴． ∴， ∴ ． ∵对总使不等式成立， ∴，使不等成立， 即，使不等成立． ∵， ∴， ∴． ∴．所以实数的取值范围是． 答案： 点睛：本题将数列、三角函数以及恒成立、能成立等问题结合在一起，综合考查学生解决问题的能力，解题的关键是分清任意性和存在性的含义，即求的是最大值还是最小值；同时对数列求通项、求和的问题，及三角函数求范围的问题都进行了较好的考查． 14. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可在中根据余弦定理得出，然后通过勾股定理得出，根据面面垂直的性质得出平面，外接球的球心到平面的距离为，再然后通过正弦定理求出的外接圆的半径，最后根据求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】在中，由余弦定理易知，， 即，解得， 因为，所以， 因为平面平面且交于，平面， 所以平面，外接球的球心到平面的距离为， 设的外接圆的半径为，外接球的半径为， 则由正弦定理得出，解得， ，解得，外接球的表面积， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查面面垂直证明线面垂直，考查余弦定理与正弦定理的应用，考查数形结合思想，是难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间内．现将成绩分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛. （1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）； （2）复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为，求． 【答案】（1），复赛分数线为分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均分、频率之和为，列方程求得；通过求分位数来求得复赛的分数线. （2）根据全概率公式求得的递推关系式，结合构造法以及等比数列的知识求得，进而求得. 【小问1详解】 依题意：，①， ，②， 由①②解得. 前三组的频率之和为，， 第组的频率为， 所以分位数为分， 即复赛分数线是分. 【小问2详解】 依题意，，，即， 所以， 所以数列是首项为为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且. （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求三棱锥P－MNC的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，证得，又由，证得平面，得到，得到为二面角的平面角，求得，设异面直线与所成的角为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由，得到点到平面的距离等于点到平面的距离的，过点作，证得平面，得到为点到平面的距离，在直角中，求得，得到，再由，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 由底面，且底面，所以， 又由，，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，可得， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 【小问2详解】 因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的， 过点作， 因为底面，且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 即为点到平面的距离， 在直角中，可得，所以， 又由是上靠近点的三等分点，可得， 所以三棱锥的体积为. 17. 已知函数，函数是奇函数. （1）判断函数的奇偶性，并求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是偶函数， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求的定义域，利用奇偶性定义判断即可；利用是奇函数求实数的值； （2）判断的单调性，利用奇偶性和单调性得时恒成立，结合参数分离和基本不等式求最值，即可求解实数的取值范围； （3）根据题设得，由指数函数的单调性求得的最大值，通过解不等式，结合对数的定义，即可求解． 【小问1详解】 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数， 因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则，经检验是奇函数，满足题意，故. 【小问2详解】 易知在上单调递增，且为奇函数， 由恒成立，得， 所以时恒成立，即在上恒成立， 令，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 由已知得，存在，使不等式成立， 在上的最大值，而在上单调递增， ，， ，得到，又，得到， 综上，实数的取值范围为. 18. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 4 期望为【解析】 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数表达式，进一步即可求解最小值； （2）的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以当时，的最小值为． 【小问2详解】 由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望． 19. 如图，已知四棱锥，且，，，，的面积等于，E是PD是中点. （Ⅰ）求四棱锥体积的最大值； （Ⅱ）若，. （i）求证：； （ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知求得到的距离，再由面面时，四棱锥体积有最大值，即可求得四棱锥体积的最大值； （Ⅱ）（i）记点在上的射影为，由，可得，可得四边形为矩形，得，结合，得面，从而得； （ii）取中点，可得四边形为平行四边形，得，得到直线与平面所成角即为直线与平面所成角，再证明得面，作于，则面，连，则即为直线与平面所成角，然后求解三角形及平行四边形得，，即可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】解：（Ⅰ）解：记点到的距离为，由及的面积等于 得，得， 当翻折到面面时，四棱锥体积有最大值， 则； （Ⅱ）（i）证明：记点在上的射影为，则， 由，可得， 又由题意，得四边形为矩形，得， 又，且， 平面， 因为平面，所以； （ii）解：取中点，则，且， 在上取，则且， 四边形为平行四边形，得， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 由面，且，得面， 作于，则面，连，则即为直线与平面所成角， 在中，由，得， 又，由平行四边形对角线定理得，得， 又，可得， 在中，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年三校高一年第二学期数学期末考试试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ） A. 1 B. C. D. 5 2. 数据的第15百分位数为（ ） A. 69 B. 70 C. 75 D. 96 3. 设，向量，且则等于 A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中正确命题的个数是（ ） ①如果，是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线，和平面满足，，，那么； ④如果与平面上的无数条直线平行，那么直线必平行于平面． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面的距离为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. D. 直线BC与平面所成的角为 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 11. 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱，点M，N分别在线段上，且满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，线段的长度为定值 C. 当时，三棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是_____. 13. 已知数列各项均为正项，其前项和为，且，若对总使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 14. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间内．现将成绩分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛. （1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）； （2）复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为，求． 16. 如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且. （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求三棱锥P－MNC的体积. 17. 已知函数，函数是奇函数. （1）判断函数的奇偶性，并求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 18. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 19. 如图，已知四棱锥，且，，，，的面积等于，E是PD是中点. （Ⅰ）求四棱锥体积的最大值； （Ⅱ）若，. （i）求证：； （ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $