2.1 等式【考点突破+强化训练】2026年新高一暑假预习数学人教B版必修第一册

2.1 等式 知识点1、等式的性质、恒等式 1.等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b，则对任意c，都有a±c=b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式. (2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b，则对任意不为零的c，都有ac=bc=. 2.恒等式 (1)恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (2)常见的代数恒等式 ①(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2. ②a2-b2=(a+b)(a-b). ③a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)， a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). ④(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab， (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd. 知识点2、十字相乘法分解因式 给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 【注意】把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数. 知识点3、方程的解集 1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 2.方程(x-x1)(x-x2)=0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1=x2时解集为{x1}. 【注意】把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. 知识点4、求一元二次方程的解集 直接开 平方法 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程，形如(x-k)2=t(t<0)的方程，解集为∅ 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x-k)2=t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 因式 分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1=-m，x2=-n 知识点5、一元二次方程判别式的应用 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x=求解. 2.式子Δ=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式. 判别式与根的情况为： Δ=b2-4ac 根的情况 b2-4ac>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，方程的解集为 b2-4ac=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，方程的解集为 b2-4ac<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根，方程的解集为∅ 知识点6、一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=-x1x2=. 【注意】(1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2-4ac≥0. (2)应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1； +=(x1x2≠0)； ③|x1-x2|=； ④+=(x1+x2)2-2x1x2. 知识点7、一次方程组的解集 方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集 方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法 【注意】(1)消元法包括加减消元法和代入消元法. (2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”. (3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 考点一　等式的性质与方程的解集 考点二　十字相乘法分解因式 考点三　求一元二次方程的解集 考点四　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 考点五　方程组的解集 考点一　等式的性质与方程的解集 1．（25-26高二下·上海·期末）已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（25-26高一上·福建宁德·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则______． 4．（25-26高一上·全国·专题练习）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 考点二　十字相乘法分解因式 5．（25-26高一上·全国·专题练习）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南京·开学考试）因式分解  __________． 7．（25-26高一上·全国·专题练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 8．（25-26高一上·上海金山·阶段检测）因式分解： =___________； 考点三　求一元二次方程的解集 9．（2026高三·全国·专题练习）关于x的一元二次方程有________不相等的实数根． 10．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 11．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 13．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）设为实数，求关于的方程的解集. 14．（25-26高一上·全国·专题练习）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 考点四　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 15．（25-26高一上·全国·专题练习）设，是方程的两个根，则的值为______． 16．（25-26高一上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 17．（2026高三·全国·专题练习）若关于的方程没有实数根，试说明关于的方程一定有实数根． 18．（2026高三·全国·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 19．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 20．（25-26高一上·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 考点五　方程组的解集 21．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 24．（25-26高一上·北京·期中）方程组的解集为__________. 25．（25-26高一上·安徽·阶段检测）解下列方程或方程组. (1)； (2)； (3) 26．（25-26高一上·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 1．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·上海·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 3．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）关于x，y的方程组的解集是（   ） A． B． C． D．或 5．（25-26高一上·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 6．（25-26高一上·贵州遵义·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 7．（25-26高一上·全国·专题练习）（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则A有两个子集 C．A不可能为 D．若A中至多有一个元素，则 10．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）（多选）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 11．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 12．（2026高三·全国·专题练习）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________． 13．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知方程的两根为、，则______． 14．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 16．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式 知识点1、等式的性质、恒等式 1.等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b，则对任意c，都有a±c=b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式. (2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a=b，则对任意不为零的c，都有ac=bc=. 2.恒等式 (1)恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (2)常见的代数恒等式 ①(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2. ②a2-b2=(a+b)(a-b). ③a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)， a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). ④(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab， (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd. 知识点2、十字相乘法分解因式 给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 【注意】把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数. 知识点3、方程的解集 1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 2.方程(x-x1)(x-x2)=0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1=x2时解集为{x1}. 【注意】把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. 知识点4、求一元二次方程的解集 直接开 平方法 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程，形如(x-k)2=t(t<0)的方程，解集为∅ 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x-k)2=t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 因式 分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1=-m，x2=-n 知识点5、一元二次方程判别式的应用 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x=求解. 2.式子Δ=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式. 判别式与根的情况为： Δ=b2-4ac 根的情况 b2-4ac>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，方程的解集为 b2-4ac=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，方程的解集为 b2-4ac<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根，方程的解集为∅ 知识点6、一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=-x1x2=. 【注意】(1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2-4ac≥0. (2)应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1； +=(x1x2≠0)； ③|x1-x2|=； ④+=(x1+x2)2-2x1x2. 知识点7、一次方程组的解集 方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集 方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法 【注意】(1)消元法包括加减消元法和代入消元法. (2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”. (3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 考点一　等式的性质与方程的解集 考点二　十字相乘法分解因式 考点三　求一元二次方程的解集 考点四　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 考点五　方程组的解集 考点一　等式的性质与方程的解集 1．（25-26高二下·上海·期末）已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】先判断充分性： ∵ 当，时，，满足， 此时，不满足， ∴ 由无法推出，充分性不成立. 再判断必要性： ∵ 若，则，同号， 根据绝对值的运算性质，同号两数和的绝对值等于绝对值的和，即恒成立， ∴ 由可推出，必要性成立. 综上，“”是“”的必要非充分条件. 2．（25-26高一上·福建宁德·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项AB，考察不等式的性质.选项C，考察糖水不等式.选项D，考察不等式的运算. 【详解】选项A，因为，所以，，，.选项A正确. 选项B，当时，.选项B错误. 选项C，因为， 所以.选项C正确. 选项D，，所以，解得， 所以，，两式相加,.选项D错误. 故选：AC 3．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则______． 【答案】 【分析】首先证明、、均不为，然后通过题中等式进行代数运算，可得出关于的方程，即可解得的值. 【详解】先证明、、均不为，若否，不妨设，由可得， 再由可得，从而有，与题设条件矛盾， 所以，、、均不为， 将三个等式，，全加可得， 因为、、是不全相等的三个实数，且满足，，， 所以，，， 将上述三个等式全部相乘得， 因为，所以， 即， 因为，所以， 因为，则，，， 所以，即， 因为， 所以， 因为，故. 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·专题练习）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【分析】结合真假命题的定义，根据等式的性质逐一判断，即可得出结果. 【详解】（1）若，则，假命题； （2）由，且，所以，真命题； （3）若，则或，真命题； （4）设，则， 所以，又，所以，真命题. 考点二　十字相乘法分解因式 5．（25-26高一上·全国·专题练习）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分解因式可得答案. 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 6．（25-26高一上·江苏南京·开学考试）因式分解  __________． 【答案】 【分析】十字相乘法因式即可. 【详解】. 故答案为： 7．（25-26高一上·全国·专题练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果. 【详解】（1） （2） （3） 8．（25-26高一上·上海金山·阶段检测）因式分解： =___________； 【答案】 【分析】直接运用十字相乘法进行因式分解即可. 【详解】利用十字相乘法得：. 故答案为：. 考点三　求一元二次方程的解集 9．（2026高三·全国·专题练习）关于x的一元二次方程有________不相等的实数根． 【答案】两个 【详解】关于x的一元二次方程的判别式， 则方程有两个不相等的实数根． 10．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求答案. 【详解】已知一元二次方程的两个根分别为，由根与系数的关系，可得， 故选：B. 11．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 12．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 【答案】当时，无解；当时，；当时， 【分析】将方程转化为，分，和求解. 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，无解； 当时 ，方程解集为． 13．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 14．（25-26高一上·全国·专题练习）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法求解； （2）用因式分解法求解； （3）因式分解法和整体思想综合求解． 【详解】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得或（舍去），即， 所以方程的解集为 考点四　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 15．（25-26高一上·全国·专题练习）设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． 16．（25-26高一上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 17．（2026高三·全国·专题练习）若关于的方程没有实数根，试说明关于的方程一定有实数根． 【答案】答案见解析 【分析】通过方程没有实数根，确定范围，再由判别式符号即可解题. 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴此方程的判别式， 解得． 而方程的根的判别式， ，，． ，即， ∴方程有两个不相等的实数根，即一定有实数根． 18．（2026高三·全国·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 【答案】B 【分析】通过韦达定理求解，并验证即可解题. 【详解】设一元二次方程的两个实数根为， 由题意， 解得或， 当时，方程为无解，舍去， 当时，方程为，两根为符合题意. 故则的值为0. 19．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 20．（25-26高一上·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的公式，再由求解即可. 【详解】由题意可得，，，由韦达定理可得，，， 所以，所以. 故选：A. 考点五　方程组的解集 21．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得：，再代入求解即可. 【详解】由得：，代入得： ，化简得：，解得或， 对应的或，所以解集为. 22．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入解出再求解即可 【详解】，代入得， 化简得：，解得：或，又， 因为，所以，又因为，所以， 解集为. 23．（25-26高一上·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【答案】B 【详解】甲看错，把代入，得，解得. 乙看错，把代入，得，解得. 综上，. 24．（25-26高一上·北京·期中）方程组的解集为__________. 【答案】 【分析】利用加减消元和代入消元解方程组. 【详解】 由①③可得：， 整理并化简得：，④ 由②④得：， 整理并化简得：， 将代入②得，， 将，代入③得：， 所以该方程组的解集为， 故答案为： 25．（25-26高一上·安徽·阶段检测）解下列方程或方程组. (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1)移项，根据十字相乘法可解； (2)利用一元二次方程求解公式可解; (3)联立方程组，消元法解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，. （2）， 这里，，，所以， 所以， 所以，. （3） ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解为. 26．（25-26高一上·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【答案】或 【分析】在方程组中消去，得出，由题意知该方程只有一解，按照和分类讨论，利用判别式法求解即可. 【详解】将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 1．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分析可知，为方程的根，可得出关于、的方程组，即可解得、的值. 【详解】根据题意可知存在，使得， 所以，为方程的根， 所以，解得， 且当时，，符合题意. 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组结合集合的表示即可判断. 【详解】由题， 得，解得，代入得，则， ∴方程组的解集是. 故选：D. 4．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）关于x，y的方程组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】应用消元法求方程组的解集，注意为点集. 【详解】由，则， 所以方程组的解集为. 故选：C 5．（25-26高一上·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用韦达定理，化简所求式子，即可求解. 【详解】已知方程两根分别为，，由韦达定理 得：， 故 故选：B 6．（25-26高一上·贵州遵义·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得，结合已知列方程求参数值即可. 【详解】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 7．（25-26高一上·全国·专题练习）（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 8．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用加减消元法可求方程组的解集. 【详解】对于方程组，③-①得，， ①-②得，把代入得， 把代入①得， 所以方程组的解集为或. 故选：CD 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则A有两个子集 C．A不可能为 D．若A中至多有一个元素，则 【答案】ABD 【分析】本题可根据集合与元素的关系、子集的定义以及一元二次方程根的判别式来逐一分析选项． 【详解】对于A，若，则是方程的根，所以有，即，解得，故A正确； 对于B，若，则方程变为，解得，所以， 此时A的子集个数为，子集为、，故B正确； 对于C，当时，方程是一元二次方程，其判别式，当，即，解得，此时方程无实数根，，故C错误； 对于D，若中至多有一个元素，分两种情况， 当时，原方程变为，有一个实数根，满足中至多有一个元素； 当时，原方程是一元二次方程，要使中至多有一个元素，则，即，解得； 综上，或，故D正确． 故选：ABD． 10．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）（多选）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【分析】当时，计算判别式可判断A选项；由求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断B选项；利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错. 故选：AC. 11．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 12．（2026高三·全国·专题练习）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】4 【分析】根据题意，结合一元二次方程的判别式，得出不等式，即可求解. 【详解】关于的一元二次方程有实数根， 则满足，且，解得，且， 所以实数的最大整数值是4． 13．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知方程的两根为、，则______． 【答案】 【详解】由韦达定理，得，， 则. 14．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【答案】 【详解】因为两个实数根为、， 所以， 所以，. 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等实数根的条件，判别式 ，解不等式即可； （2）利用韦达定理 建立方程求解 ，并结合（1）的范围进行取舍. 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 16．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据给定条件，利用根的判别式求出范围，再利用韦达定理列式求解. (2) 利用一元二次方程实根分布求出的范围 【详解】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $