第07讲 不等式及其性质、不等式的解集（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第07讲 不等式及其性质、不等式的解集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：作差法比较实数与代数式的大小 题型 2：不等式基本性质的正误辨析 题型 3：运用不等式性质证明简单不等式 题型 4：一元一次不等式及不等式组的求解与解集表示 题型 5：单绝对值型不等式的解法 题型 6：含两个绝对值的不等式的解法（零点分段法） 题型 7：数轴上两点距离公式与中点坐标公式的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 不等式的定义 不等号 不等式的解集 解不等式 不等式的基本性质 解集的数轴表示 1． 理解不等式的定义，认识常见不等号，能根据实际数量关系列出不等式． 2． 理解不等式的解、解集的概念，会区分不等式的解与解集，能判断一个数是否为不等式的解． 3． 掌握不等式的三条基本性质，重点掌握两边同乘（除）负数时不等号方向改变的规则，能正确对不等式变形． 4． 会在数轴上表示一元一次不等式的解集，能根据数轴写出对应的不等式解集． 5． 能运用不等式性质化简、求解简单一元一次不等式，结合实际问题列出不等式并求解． 学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解． 学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两个实数大小的比较 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为：． 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 即时即练已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【解析】，故 知识点02 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 即时即练已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 知识点03 不等式（组）的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 注：（1）不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质． （2）注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集． （3）不等式的解与解集的区别与联系 ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解． （4）不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是． 即时即练若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即， 又关于的不等式组解集为， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 知识点04 绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作． ②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离大于的点． （2）绝对值不等式的解集 ①当时，关于的不等式的解集为； ②关于的不等式的解为，因此解集为． 即时即练不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由不等式可得，即不等式的解集为. 知识点05 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数在数轴上对应的点分别为A，B，则线段AB的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为，则，这就是数轴上的中点坐标公式． 即时即练在数轴上，已知，则__________． 【答案】5 【解析】由题意， 在数轴上，， ∴ 故答案为：5. 题型 1：作差法比较实数与代数式的大小 【典例1-1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【解析】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 【典例1-2】已知，，，判断M，N的关系? 【解析】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【变式1-1】（2026·高一·广西河池·期中）比较与的大小. 【解析】 【变式1-2】试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【解析】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【变式1-3】（2026·高一·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 【解析】由，则. 题型 2：不等式基本性质的正误辨析 【典例2-1】（2026·高三·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 【典例2-2】（2026·高一·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【解析】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 【变式2-1】（2026·高一·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项A：. 又，即，即，错误. 选项B：当时，满足，，错误. 选项C：当时，，错误. 选项D：， 代入，原式.正确. 【变式2-2】（2026·高一·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 题型 3：运用不等式性质证明简单不等式 【典例3-1】已知均为正实数，且，求证：． 【解析】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【典例3-2】（2026·高一·江苏·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【解析】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【变式3-1】（2026·高一·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【解析】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 【变式3-2】（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【解析】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 题型 4：一元一次不等式及不等式组的求解与解集表示 【典例4-1】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】由，可得：要使不等式组的解集非空， 须使即： 故满足条件的最大整数0. 故选：C. 【典例4-2】（2026·高一·山东滨州·阶段检测）若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】因为不等式组的解集是， 所以， 故. 故选：B 【变式4-1】（2026·高一·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得. 故选：D 【变式4-2】若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】通过画数轴，根据解集为，判断出和的关系，得． 故选：C. 题型 5：单绝对值型不等式的解法 【典例5-1】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）不等式的解集为________. 【答案】 【解析】原不等式即为即，故解集为. 【典例5-2】（2026·高一·云南曲靖·期末）集合的子集的个数为___________． 【答案】4 【解析】因为， 所以的子集的个数为． 故答案为：4 【变式5-1】（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________. 【答案】 【解析】对于，即，可得，解得； 对于，即，可得，解得； 综上所述：不等式组的解集为. 故答案为：. 【变式5-2】（2026·高一·云南昆明·期中）不等式的解集________. 【答案】 【解析】， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型 6：含两个绝对值的不等式的解法（零点分段法） 【典例6-1】（2026·高三·上海闵行·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，那么表示数轴上点到点和点的距离之和， 当时，此时取得最小值，最小值为， 当时，此时取得最小值，最小值为， 综上所述，的最小值为. 不等式的解集为，这表示的最小值要大于等于，即， 当，解得；当，解得， 综上所述，实数a的取值范围. 故答案为： 【典例6-2】（2026·高一·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由，分三类讨论： （1）当时，，所以；不符合题意； （2）当时，，所以，符合题意； （3）当时，，所以，不符合题意； 综上可知，当等号成立时的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-1】（2026·高一·上海·期末）对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高一·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 【变式6-3】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【解析】不等式化为：或或， 解得或或， 因此，所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型 7：数轴上两点距离公式与中点坐标公式的应用 【典例7-1】（2026·高一·全国·单元测试）已知数轴上三点，，．若中点到线段中点的距离大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意，知，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 【典例7-2】已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【解析】（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴． （2）∵的中点对应的数为， ∴由题意得，即， 解得， ∴的取值范围是． 【变式7-1】已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【解析】， ，的中点的坐标为，即． 【变式7-2】已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 【解析】（1）若是线段的中点，则，； 若是线段的中点，则； 若是线段的中点，则，. （2）由题意，知，即， 或，解得或， 实数的取值范围是. 1．（2026·高一·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 2．（2026·高一·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【解析】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 3．（2026·高一·四川雅安·期末）手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（     ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 【答案】C 【解析】根据题意，不妨设升级前该手机的屏幕面积为，整机面积为，， 则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中为升级后增加的面积， 由分数性质知，所以升级后“屏占比”变大． 故选：C． 4．（2026·高二·云南保山·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，，则A，B均不符合题意． 因为，所以，所以，C符合题意． 当，，时，，D不符合题意． 5．（2026·高一·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C 6．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 7．（多选题）（2026·高一·河南开封·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A：由得，根据正数平方的单调性，，即，A正确； 选项B：函数在上严格单调递增，因，故，B错误； 选项C：，由，得，，故，即 ，C正确； 选项D：不等式两边同乘负数，不等号方向改变，由得，D错误. 8．（多选题）（2026·高一·黑龙江·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，当时，显然不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，当满足，但是，故，故C错误； 对于D，因为，所以，而，所以，故D正确. 故选：BD. 9．（2026·高一·上海·期中）不等式的解集是__________. 【答案】或 【解析】由，得或，解得或. 故不等式的解集是或. 故答案为：或. 10．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 11．（2026·高一·上海金山·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，所以，又因为，由不等式的可加性得：，所以， 故的取值范围是：. 故答案为： 12．已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 13．（2026·高一·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解析】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 14．（2026·高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 【答案】 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 15．（2026·高一·江苏·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【解析】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 16．（2026·高一·江苏·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【解析】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 17．（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【解析】（1）由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 18．（2026·高一·江苏·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【解析】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 19．（2026·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【解析】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 不等式及其性质、不等式的解集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：作差法比较实数与代数式的大小 题型 2：不等式基本性质的正误辨析 题型 3：运用不等式性质证明简单不等式 题型 4：一元一次不等式及不等式组的求解与解集表示 题型 5：单绝对值型不等式的解法 题型 6：含两个绝对值的不等式的解法（零点分段法） 题型 7：数轴上两点距离公式与中点坐标公式的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 不等式的定义 不等号 不等式的解集 解不等式 不等式的基本性质 解集的数轴表示 1． 理解不等式的定义，认识常见不等号，能根据实际数量关系列出不等式． 2． 理解不等式的解、解集的概念，会区分不等式的解与解集，能判断一个数是否为不等式的解． 3． 掌握不等式的三条基本性质，重点掌握两边同乘（除）负数时不等号方向改变的规则，能正确对不等式变形． 4． 会在数轴上表示一元一次不等式的解集，能根据数轴写出对应的不等式解集． 5． 能运用不等式性质化简、求解简单一元一次不等式，结合实际问题列出不等式并求解． 学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解． 学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两个实数大小的比较 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为：． 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 即时即练已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 知识点02 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 即时即练已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 不等式（组）的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 注：（1）不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质． （2）注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集． （3）不等式的解与解集的区别与联系 ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解． （4）不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是． 即时即练若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点04 绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作． ②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离大于的点． （2）绝对值不等式的解集 ①当时，关于的不等式的解集为； ②关于的不等式的解为，因此解集为． 即时即练不等式的解集为______． 知识点05 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数在数轴上对应的点分别为A，B，则线段AB的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为，则，这就是数轴上的中点坐标公式． 即时即练在数轴上，已知，则__________． 题型 1：作差法比较实数与代数式的大小 【典例1-1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【典例1-2】已知，，，判断M，N的关系? 【变式1-1】（2026·高一·广西河池·期中）比较与的大小. 【变式1-2】试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【变式1-3】（2026·高一·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 题型 2：不等式基本性质的正误辨析 【典例2-1】（2026·高三·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式2-1】（2026·高一·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（2026·高一·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型 3：运用不等式性质证明简单不等式 【典例3-1】已知均为正实数，且，求证：． 【典例3-2】（2026·高一·江苏·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【变式3-1】（2026·高一·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【变式3-2】（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 题型 4：一元一次不等式及不等式组的求解与解集表示 【典例4-1】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 【典例4-2】（2026·高一·山东滨州·阶段检测）若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-1】（2026·高一·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型 5：单绝对值型不等式的解法 【典例5-1】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）不等式的解集为________. 【典例5-2】（2026·高一·云南曲靖·期末）集合的子集的个数为___________． 【变式5-1】（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________. 【变式5-2】（2026·高一·云南昆明·期中）不等式的解集________. 题型 6：含两个绝对值的不等式的解法（零点分段法） 【典例6-1】（2026·高三·上海闵行·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________． 【典例6-2】（2026·高一·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________． 【变式6-1】（2026·高一·上海·期末）对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【变式6-2】（2026·高一·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【变式6-3】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为______． 题型 7：数轴上两点距离公式与中点坐标公式的应用 【典例7-1】（2026·高一·全国·单元测试）已知数轴上三点，，．若中点到线段中点的距离大于1，则实数的取值范围为______． 【典例7-2】已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【变式7-1】已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【变式7-2】已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 3．（2026·高一·四川雅安·期末）手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（     ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 4．（2026·高二·云南保山·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选题）（2026·高一·河南开封·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·黑龙江·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·上海·期中）不等式的解集是__________. 10．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 11．（2026·高一·上海金山·期末）已知，，则的取值范围是________． 12．已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 13．（2026·高一·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________. 14．（2026·高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 15．（2026·高一·江苏·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 16．（2026·高一·江苏·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 17．（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 18．（2026·高一·江苏·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 19．（2026·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $