重难点03 柯西不等式与权方和不等式（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

重难点03 柯西不等式与权方和不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：运用柯西不等式求解整式类最值 题型 2：运用权方和不等式处理一元分式问题 题型 3：借助柯西不等式完成不等式证明 题型 4：借助柯西不等式求解根式类最值 题型 5：运用权方和不等式处理三元分式问题 题型 6：借助权方和不等式处理二元分式问题 关键词 学习目标导航 柯西不等式 权方和不等式 基本形式与变形 最值问题 证明不等式 1. 理解柯西不等式与权方和不等式的基本形式，掌握其结构特征与适用条件，能识别常见的变形形式。 2. 能运用柯西不等式与权方和不等式求解多元代数式的最值问题，掌握等号成立的条件。 3. 会利用这两个不等式证明代数不等式，掌握其在分式型、平方型不等式证明中的应用技巧。 4. 能结合题目条件，合理构造柯西或权方和不等式的结构，解决复杂的最值与证明问题。 学习重点：柯西不等式与权方和不等式的基本形式、变形及在最值问题中的应用。 学习难点：根据题目条件构造合适的不等式形式、判断等号成立条件、解决复杂不等式证明与多变量最值问题。 知｜识｜精｜讲 知识点01 柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 知识点02 权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 题型 1：运用柯西不等式求解整式类最值 【典例1-1】设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【解析】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 故答案为：. 【典例1-2】设，且，则的最大值为_____． 【答案】/ 【解析】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 故答案为：. 【变式1-1】已知，则的取最小值时，为_____________. 【答案】 【解析】由柯西不等式得：， 则，则， 根据等号成立条件知，解得，，， 所以. 故答案为： 题型 2：运用权方和不等式处理一元分式问题 【典例2-1】（2026·高一·广东广州·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．4 C．12 D．8 【答案】D 【解析】根据权方和不等式，， 当且仅当即时等号成立， 故选：D 【典例2-2】（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【解析】由，得， 由权方和不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为16． 故选：D． 【变式2-1】（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【解析】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【变式2-2】（2026·高一·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______． 【答案】8 【解析】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 【变式2-3】（2026·高一·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 【答案】49 【解析】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 【变式2-4】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值__________ ． 【答案】 【解析】由，得， 由权方和不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 【变式2-5】（2026·高一·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即时取得等号， 所以函数的最小值为18， 故选:D. 题型 3：借助柯西不等式完成不等式证明 【典例3-1】已知，，均为正数，且，证明：. 【解析】因为， 所以根据柯西不等式有， 当且仅当时取等号， 又因为，，均为正数， 所以. 【典例3-2】已知实数a，b，c满足，若，求证：. 【解析】因为，且， 所以，，， 且， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立， 故. 【变式3-1】已知正数，，，求证：． 【解析】因为，，是正数，根据柯西不等式，有 ， 所以，． 【变式3-2】求证：． 【解析】根据柯西不等式，有， 即． 题型 4：借助柯西不等式求解根式类最值 【典例4-1】（多选题）（2026·高一·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 【典例4-2】已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 【解析】x，y为正实数，， 由柯西不等式可得， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故最大值为. 【变式4-1】求函数的取值范围． 【解析】由题意得，解得， 由柯西不等式得， 即，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 令得，即， 当得，当得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 所以的最小值为2， 所以的取值范围为. 【变式4-2】求函数（）的最大值． 【解析】 ． 当且仅当即时等号成立， 故Z的最大值为． 题型 5：运用权方和不等式处理三元分式问题 【典例5-1】已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 【典例5-2】已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 【变式5-1】已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 题型 6：借助权方和不等式处理二元分式问题 【典例6-1】已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【答案】 【解析】权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 【典例6-2】（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 因为为不相等的正实数，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确． 故选：C． 【变式6-1】（多选题）（2026·高一·广西桂林·阶段检测）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 【变式6-2】（多选题）（2026·高三·江苏南京·期中）已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【解析】由有：， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 由，当时，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 由， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 由， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ACD. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 柯西不等式与权方和不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：运用柯西不等式求解整式类最值 题型 2：运用权方和不等式处理一元分式问题 题型 3：借助柯西不等式完成不等式证明 题型 4：借助柯西不等式求解根式类最值 题型 5：运用权方和不等式处理三元分式问题 题型 6：借助权方和不等式处理二元分式问题 关键词 学习目标导航 柯西不等式 权方和不等式 基本形式与变形 最值问题 证明不等式 1. 理解柯西不等式与权方和不等式的基本形式，掌握其结构特征与适用条件，能识别常见的变形形式。 2. 能运用柯西不等式与权方和不等式求解多元代数式的最值问题，掌握等号成立的条件。 3. 会利用这两个不等式证明代数不等式，掌握其在分式型、平方型不等式证明中的应用技巧。 4. 能结合题目条件，合理构造柯西或权方和不等式的结构，解决复杂的最值与证明问题。 学习重点：柯西不等式与权方和不等式的基本形式、变形及在最值问题中的应用。 学习难点：根据题目条件构造合适的不等式形式、判断等号成立条件、解决复杂不等式证明与多变量最值问题。 知｜识｜精｜讲 知识点01 柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 知识点02 权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 题型 1：运用柯西不等式求解整式类最值 【典例1-1】设，则的最小值为_____． 【典例1-2】设，且，则的最大值为_____． 【变式1-1】已知，则的取最小值时，为_____________. 题型 2：运用权方和不等式处理一元分式问题 【典例2-1】（2026·高一·广东广州·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．4 C．12 D．8 【典例2-2】（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【变式2-1】（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【变式2-2】（2026·高一·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______． 【变式2-3】（2026·高一·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 【变式2-4】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值__________ ． 【变式2-5】（2026·高一·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 题型 3：借助柯西不等式完成不等式证明 【典例3-1】已知，，均为正数，且，证明：. 【典例3-2】已知实数a，b，c满足，若，求证：. 【变式3-1】已知正数，，，求证：． 【变式3-2】求证：． 题型 4：借助柯西不等式求解根式类最值 【典例4-1】（多选题）（2026·高一·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例4-2】已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 【变式4-1】求函数的取值范围． 【变式4-2】求函数（）的最大值． 题型 5：运用权方和不等式处理三元分式问题 【典例5-1】已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例5-2】已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【变式5-1】已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 题型 6：借助权方和不等式处理二元分式问题 【典例6-1】已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【典例6-2】（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选题）（2026·高一·广西桂林·阶段检测）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【变式6-2】（多选题）（2026·高三·江苏南京·期中）已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $