北京市第二十中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

**基本信息** 这份八年级期末数学试卷以科技前沿（如DeepSeek大模型）、文化传承（如先农坛正六边形、赵爽勾股圆方图）为情境，覆盖函数、几何、统计等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|函数意义、直角三角形、统计离差等|结合函数图像判断、离差平方和应用，考查抽象能力与推理意识| |填空题|8/24|多边形内角和、菱形面积、勾股定理应用等|融入文化情境（正六边形内角和）、数据分析（箱线图），体现几何直观与数据意识| |解答题|10/52|一次函数综合、统计分析、新定义“相随点”等|设计函数探究（图像与性质）、正方形旋转证明、“相随点”创新题，发展创新意识与模型观念|

202学年第二学期八年级期末练习 数 学 班级：　　　　 姓名：　　　　 考号：　　　　 一、选择题(第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，共24分，每小题3分) 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 2. 下列各图中反映了变量y是x的函数是（     ） 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（     ） A.2，2，2 　　 B.2，3，4 　　 C.1，， 　　 D.1，2，3 4. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 5. 如图，在四边形ABCD中，且，对角线AC、BD交于点O，E为AD中点，若，则OE的长为（     ） A.2 　　 B.3 　　 C.4 　　 D.8 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12. 要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）. 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） A.{7}和{9，12，13，15} B.{7，9}和{12，13，15} C.{7，9，12}和{13，15} D.{7，9，12，13}和 7. 如图，一次函数的图象经过点A(，2)，若，则x的范围是（     ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于A，B，直线与x轴，y轴分别交于C，D．其中，M、N为线段AB上任意两点，P、Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．下列四个结论中， ①对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形； ②对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形； ③存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形； ④至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形． 所有正确结论的序号是（     ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 9. 明代先农坛正六边形井亭是具有明确历史意义的国内六边形古建筑代表，位于北京先农坛（今北京古代建筑博物馆内），建于明代永乐年间（15世纪初），为祭祀先农时取水用的井亭。如图所示的正六边形的内角和为            °。 10. 已知一次函数图象经过点，随的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式：            。 11. 已知点，都在直线上，则            。（填“<”、“>”或“=”） 12. 如图是一组数据的箱线图，这组数据的下四分位数是            。 13. 如图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为            。 14. 某班级课堂从 “理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与” 五个方面按 的比例对学生学习过程进行课堂评价. 某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该同学的课堂评价成绩为 ____. 15. 某新款手机屏幕的像素排列采用了一种高效的 “四叶草” 密铺结构，其几何基础源于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.如图，它是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案. 如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用 ， 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个推断：① ；② ；③ ；④ . 其中所有正确推断的序号是 ____. 16. 在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、，线段 的长度为 ____；若将该直线向右平移13个单位长度，线段 扫过区域的边界恰好为菱形，则 的值为 ____. 三、解答题(共52分，第17题6分，第题，每题4分，第题，每题5分，第25题7分，第26题6分) 17. 计算： （1）； （2） 18. 已知 ，，求代数式 的值. 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断 的形状为 ____ 三角形； （2）在网格中画出，并直接写出的周长为            . 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：，            ， 四边形是平行四边形．（                                                            ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（                                                                                                            ）（填推理的依据） 21. 已知一次函数与的图象都经过点（2，1）. （1）求k，b的值； （2）在同一平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，. 22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，. （1）求证：四边形OCED是矩形； (2)连接AE，若，，求AE的长. 23.2026年，中国人工智能项目DeepSeek取得重大突破.其发布的新一代大模型在推理性能上比肩全球一流模型，并率先完成与华为昇腾国产芯片的深度适配，同时开放识图模式等功能，展现出强大的多模态理解能力.其开源免费的模式与极低的推理成本，引发了全球科研界和社会的广泛关注.某初中学校为了解学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行 收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组；；；），下面给出了部分信息： a．八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 b．九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． c．八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 众数 82 79 方差 102.75 122.5 d．九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：            ，            ． （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 3 2 0 1 2 3 … 其中，            ； （2）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是            ；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而            ； （4）进一步探究，若关于的方程（）只有一个解，则的取值范围是            ． 25. 四边形 和 都是正方形，其中正方形 可以绕顶点 旋转（）. （1） 如图1，点 在 上，点 在 上，连接 和 ，取 的中点 ，连接 ， 求证：； （2） 如图2，正方形 绕点 旋转到图2位置，连接 和 ，取线段 的中点 ， 连接 . ①依题意补全图2； ②判断线段 与 的关系，并证明你的结论. 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”。 （1）已知，点，点。 ①在点，，，中，线段的“相随点”是            ； ②若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标； （2）已知，点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围。 答案 一、选择题（共24分，每小题3分） 1. 答案：B 解析： 代数式在实数范围内有意义，需满足，解得。 2. 答案：D 解析： 函数要求对于自变量x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应。根据图象判断，只有D选项满足"一对一"或"多对一"的对应关系。 3. 答案：C 解析： 根据勾股定理逆定理，，故可以构成直角三角形。 4. 答案：A 解析： 一次函数向上平移2个单位长度，得。 5. 答案：A 解析： ∵且，∴四边形ABCD为平行四边形。O为对角线交点，E为AD中点，则OE为的中位线，。同理可得，故。 6. 答案：B 解析： 组内离差平方和最小为6.7，对应分组为和。 7. 答案：A 解析： 一次函数图象经过点A，由图象可知当时，。 8. 答案：D 解析： ①正确：AB∥CD，取M∥P、N∥Q可构成无数平行四边形；②正确：可取MN∥PQ且相邻边垂直；③正确：存在唯一k使AB与CD间距离满足菱形条件；④正确：存在k使AB与CD垂直且相等，构成正方形。故①②③④均正确。 二、填空题（共24分，每小题3分） 9. 答案： 解析： 正六边形内角和为。 10. 答案： （答案不唯一） 解析： 图象经过点，则；随增大而减小，则。可取。 11. 答案： 解析： 直线中，随增大而增大。∵，∴。 12. 答案： 7 解析： 下四分位数是数据从小到大排列后第25%位置的值，读图可得为7。 13. 答案： 解析： 菱形ABCD中，O为对角线交点，，则。又，E为垂足，OE为直角三角形斜边中线，，∴。菱形面积。 14. 答案： 86 解析： 课堂评价成绩。 15. 答案： ①②③ 解析： ①大正方形面积，正确；②小正方形面积，故，正确；③，正确；④，不一定等于7，错误。 16. 答案： ；或 解析： 直线与y轴交于点B，∴。向右平移13个单位后，AB扫过的区域为平行四边形；若边界为菱形，则邻边相等，可得。 三、解答题（共52分） 17. （本题6分） （1）解： （2）解： 18. （本题4分） 解： ， ∴ 19. （本题4分） （1）解： ，， ∵ ∴ 为等腰直角三角形。 答案：等腰直角 （2）解： 根据平行四边形对边平行且相等作图，周长为。 20. （本题5分） （1）解： 作图略（按作法画弧确定点C、D，连接BC、CD、AD）。 （2）证明： ，， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 ， ∴，即对角线互相垂直， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 21. （本题5分） （1）解： 将点(2,1)代入： ，， 将点(2,1)代入： ， 答案：， （2）解： 两函数解析式分别为，。 令： ， 由图象可知，当时，。 22. （本题5分） （1）证明： ∵，，、为菱形对角线， ∴，， ∴四边形OCED为平行四边形。 又菱形ABCD中，，即， ∴四边形OCED为矩形。 （2）解： 菱形ABCD中，，， 则为等边三角形，，。 ，在Rt中，。 矩形OCED中，，。 在Rt中，。 23. （本题5分） （1）解： 九年级20人中，A组占，即5人；B组6人；C组占，即4人；D组人。 中位数为第10、11个数的平均值。九年级数据中，第10、11个数为81、82， ∴ 答案：， （2）解： 八年级成绩更好。理由：八年级和九年级的平均数相同，但八年级的方差更小（102.75 < 122.5），说明八年级学生成绩更稳定。 （3）解： 八年级优秀人数：20人中80分以上的有14人，优秀率， 八年级优秀人数人。 九年级优秀人数：A组5人 + B组6人 人，优秀率， 九年级优秀人数人。 总优秀人数人。 24. （本题5分） （1）解： 当时，，∴。 答案： （2）解： 画出另一部分图象，注意函数关于直线对称，呈"V"字形。 （3）解： 最低点坐标为；当时，随的增大而增大。 答案：，增大 （4）解： 方程只有一个解，即直线与"V"形图象只有一个交点。 当时，直线过二、四象限，与只有一个交点； 当时，直线与右侧射线平行或更陡，只有一个交点。 答案：或 25. （本题7分） （1）证明： 正方形ABCD和CEFG中，，，， ∴（SAS），∴。 P为BG的中点，在Rt中，（直角三角形斜边中线定理）， ∴。 （2）①解： 补全图形略（将正方形CEFG绕点C旋转至图2位置）。 （2）②解： ，且。 证明： 延长CP至点Q，使，连接BQ。 ∵P为BG中点，，∴四边形BCGQ为平行四边形（对角线互相平分）。 ∴，且。 又，（需推导）， 可证（SAS），∴。 由全等可得，进而，即。 26. （本题6分） （1）①解： 线段AB：A(1,4)，B(5,4)。若Q为"相随点"，则存在P在直线上，使ABPQ为平行四边形，即或。 验证各点：，，，中，满足条件的是和。 答案：， （1）②解： 设Q为线段AB的"相随点"，P在直线上，四边形ABPQ为平行四边形。 当Q在AB垂直平分线上时，取得最小值。 最小值为，此时点Q坐标为。 （2）解： 正方形CDEF边长为2，中心为，则正方形区域为。 线段ST：S(-2,3)，T(2,-1)，点M、N在ST上。 对于正方形上任意一点，都存在ST上两点M、N，使该点为线段MN的"相随点"。 通过几何关系推导，的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $