精品解析：浙江绍兴市诸暨市2025—2026学年第二学期期末考试试卷七年级数学

2025—2026学年第二学期期末考试试卷七年级数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝46°，则∠2的度数是（　　） A. 44° B. 46° C. 54° D. 56° 2. 下列各组数是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 一台计算机在秒内做了次运算，则平均每秒能做的运算次数（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分解因式的结果是，则的值为（　　） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 7. 小欢为一组数据制作频数分布表，他了解到这组数据的最大值是40，最小值是16，准备分组时取组距为4． 为了使数据不落在边界上，他应将这组数据分成的组数为( ) A. 6组 B. 7组 C. 8组 D. 9组 8. 小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①同位角相等； ②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ④如果三条不同的直线，，满足，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，将沿方向平移个单位后得到．若，则的长是______． 12. 已知二元一次方程组，则的值为__________． 13. 若实数，满足，则______． 14. 若，则___________． 15. 下面是解方程组的过程导图： 其中，“ ？ ”处为_______． 16. 如图，将一个含角的三角尺置于一组平行线（）上，若，则的度数是______． 17. 已知，则的值为____． 18. 有两个正方形A，B，边长分别为a，b，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后得图乙，则图乙中阴影部分的面积为________，（用a，b有关的代数式表示）；若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形A，B的面积之和为__________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~20题每题4分，第21~25题每题6分，第26题8分，共计46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 19. 按要求计算： （1）计算：； （2）化简：． 20. 求解下列方程（组）： （1）； （2）． 21. 以下是小魏同学《数学错题集》中的一道错题，请你在订正区域给出正确的过程： 【习题呈现】 先化简，再求值：，其中 【错解展示】 解：去分母得 当时 原式 订正： 【解题反思】 分式加减运算时不能‘去分母’，可化为同分母后再进行运算． 22. 某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 23. 如图，在同一平面内，作的角平分线，直线，分别交射线，于点，，过点在内作的平行线． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息： 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． （1）求绿萝、兰草每盆分别是多少元． （2）若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）． ①用含的代数式表示． ②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多． 25. 阅读材料并解决问题： 材料：已知实数，满足…①式，…②式，求，的值． 该问题求解步骤如下： 步骤一：将①式等号两边代数式平方，得，化简得…③式； 步骤二：②③两式等号两边代数式相减，得；化简得． 步骤三：因为，所以． 问题： 已知实数，满足，，． （1）求的值； （2）求； （3）求． 26. 根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： （1）项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． （2）项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试试卷七年级数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝46°，则∠2的度数是（　　） A. 44° B. 46° C. 54° D. 56° 【答案】B 【解析】 【分析】首先思考平行线的性质，根据两直线平行内错角相等解答即可． 【详解】∵（已知）， ∴∠1=∠2=46°（两直线平行，内错角相等）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 2. 下列各组数是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：B． 3. 一台计算机在秒内做了次运算，则平均每秒能做的运算次数（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据“平均每秒运算次数总运算次数总时间”列式，再用同底数幂的除法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，是因式分解，符合题意； B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，等式的右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选A． 5. 不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 6. 若分解因式的结果是，则的值为（　　） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】将展开变为，可知m=-1，n=-2，即可求出结果． 【详解】解：由题意得， ∵分解因式的结果是， ∴m=-1，n=-2， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是多项式乘以多项式法则以及因式分解，能够理解两者为互逆运算是解题的关键． 7. 小欢为一组数据制作频数分布表，他了解到这组数据的最大值是40，最小值是16，准备分组时取组距为4． 为了使数据不落在边界上，他应将这组数据分成的组数为( ) A. 6组 B. 7组 C. 8组 D. 9组 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差与组距的关系可知这组数据的组数． 【详解】解∶∵这组数据的最大值是40，最小值是16，分组时取组距为4． ∴极差． ∵， 又∵数据不落在边界上， ∴这组数据的组数组． 故选∶B． 【点睛】本题考查频数分布表，理解组距、组数与最大值、最小值之间的关系是正确解答的前提．本题中注意要考虑数据不落在边界上，因而不要错误的认为是分为6组． 8. 小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等量关系可列方程． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程 故答案为：C． 9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先把分式方程转化为整式方程，再确定增根的值，然后把增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘（），得：， 展开并整理右边：，即， 因为是增根，将其代入整式方程：， 解得：， 因此，的值为3， 故选：C． 10. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①同位角相等； ②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ④如果三条不同的直线，，满足，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面几何基础概念与性质，逐一判断各说法正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①只有两直线平行时，同位角才相等，∴①错误； ②根据垂线段的性质，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴②正确； ③平行线的定义是同一平面内不相交的两条直线是平行线；不相交的线段延长后可能相交，因此不一定平行，∴③错误； ④根据平行公理的推论，三条不同直线满足，，则，∴④正确； ⑤正确结论是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，∴⑤错误； 综上，正确的说法共2个． 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，将沿方向平移个单位后得到．若，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的概念得到即可． 【详解】解：由平移的性质可知：． 12. 已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．直接由即可得出答案． 【详解】解：原方程组为， 由得即． 故答案为：3． 13. 若实数，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式中底数统一化为，再根据幂的乘方逆用，同底数幂除法的运算法则变形后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， 根据幂的乘方法则，可得， 根据同底数幂的除法法则，可得， 将代入，得原式． 14. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设，则，， 则. 15. 下面是解方程组的过程导图： 其中，“ ？ ”处为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组． 利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ， 得， ，得 ， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为 ∴“？”处为． 故答案为：． 16. 如图，将一个含角的三角尺置于一组平行线（）上，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质和对顶角的性质求出，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵， ∴ 17. 已知，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】先将a2−4b2+4b化为(a+2b)(a−2b)+4b，再将a+2b=1代入所化式子计算即可． 【详解】解：∵a+2b=1， ∴a2−4b2+4b=(a+2b)(a−2b)+4b =(a−2b)+4b = a+2b=1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式，利用整体代入思想求解． 18. 有两个正方形A，B，边长分别为a，b，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后得图乙，则图乙中阴影部分的面积为________，（用a，b有关的代数式表示）；若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形A，B的面积之和为__________． 【答案】 ①. ②. 29 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 对于第一空，先求出阴影部分的长与宽，再求面积即可； 对于第二空，先根据题意列方程，，再根据等式性质求得，进而求出a，b的值，即可求出所求面积． 【详解】解：由题意，阴影部分的长为b，宽为，所以图乙中阴影部分的面积为． 故答案为：． 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6， ，， 得， 得， 即， ， ， 由②得，， ， ， ， 正方形A，B的面积之和为． 故答案为：29． 三、解答题（本大题共8小题，第19~20题每题4分，第21~25题每题6分，第26题8分，共计46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 19. 按要求计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 求解下列方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 把①代入②，得  ， 整理得 ，解得 ； 把代入①，得  ， ∴原方程组的解为． 【小问2详解】 解： 等式两边同时乘以，得 ，  展开得  ，整理得  ， 解得 ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 21. 以下是小魏同学《数学错题集》中的一道错题，请你在订正区域给出正确的过程： 【习题呈现】 先化简，再求值：，其中 【错解展示】 解：去分母得 当时 原式 订正： 【解题反思】 分式加减运算时不能‘去分母’，可化为同分母后再进行运算． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的加法运算法则化简原式，然后代值正确求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 【答案】（1）0.26,50；（2）见解析；（3）估计该季度被评为“优秀员工”的人数为名． 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数之间的关系，求样本总数，再求. （2）根据频率与频数之间的关系，求频数，补齐频数分布直方图. （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频数之和. 【详解】（1）根据频率与频数之间的关系，样本总数，=. （2）=23，频数分布直方图如图所示： （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频率之和为，则估计该季度被评为“优秀员工”的人数为（名）. 【点睛】本题考查频数与频率的概念及计算公式. 23. 如图，在同一平面内，作的角平分线，直线，分别交射线，于点，，过点在内作的平行线． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平分，得出，根据，得出，等量代换即可证明． （2）根据角平分线可得，根据平行线的性质得出，即可求出，结合，，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，根据（1）可知， ∴． 24. 某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息： 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． （1）求绿萝、兰草每盆分别是多少元． （2）若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）． ①用含的代数式表示． ②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多． 【答案】（1）绿萝每盆元，兰草每盆元． （2）①；方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二购买的绿植总数量最多． 【解析】 【分析】（1）设绿萝每盆元，兰草每盆元，列出方程，进行解答，即可； （2）①由题意可得，，化简式子，即可；②当元全部买绿萝，求出的取值范围，根据，均为偶数，分类讨论，的值，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：设绿萝每盆元，兰草每盆元， ∴， 解得：， 答：绿萝每盆元，兰草每盆元． 【小问2详解】 解：①由题意可得，， 整理得，； ②结合总花费120元及的要求，可得， ∵，均为偶数 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆； ∵，，， ∴方案二购买的绿植总数量最多． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是掌握二元一次方程的知识，进行解答，即可． 25. 阅读材料并解决问题： 材料：已知实数，满足…①式，…②式，求，的值． 该问题求解步骤如下： 步骤一：将①式等号两边代数式平方，得，化简得…③式； 步骤二：②③两式等号两边代数式相减，得；化简得． 步骤三：因为，所以． 问题： 已知实数，满足，，． （1）求的值； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）本题仿照材料方法，利用完全平方公式和平方差公式变形进行计算，先对平方代入已知条件求出； （2）利用完全平方公式变形求出； （3）对因式分解，结合的条件确定的符号，代入计算得到最终结果． 【小问1详解】 解：等号两边代数式平方，得， 整理得， ∵，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，． ∵ ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 26. 根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： （1）项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． （2）项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据光的反射规律得，结合平角的定义即可解答； ②由反射规律得，， 结合平行线的性质即可解答； （2）①由反射规律得，， 结合平角的定义即可求出，， 过点作，根据和平行线的性质得出即可求解； ②设，，由反射规律得，， 则，，同①可得，再表示出，即可解答； 【小问1详解】 解：①根据光的反射规律得：， ∵， ∴； ②由反射规律得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得； 【小问2详解】 解：①由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②设，， 由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴（或等价形式等也正确）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $