第十五章轴对称2026年人教版数学七升八暑假预习讲义

第十五章 轴对称 七升八暑假预习讲义 学习目标 1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能识别常见的轴对称图形，掌握轴对称的性质. 2.理解线段垂直平分线的定义、性质与判定，会用尺规作图作线段的垂直平分线. 3.掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，能在坐标系中画轴对称图形. 4.理解等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）. 5.理解等边三角形的性质与判定方法，掌握含30°角的直角三角形的性质. 知识点一、轴对称与轴对称图形 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 注意： 1.对称轴是一条直线，不是射线或线段. 2.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条（如圆）. 3.轴对称图形是针对一个图形而言的. 两个图形成轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 关系 轴对称图形 两个图形成轴对称 意义不同 一个形状特殊的图形 两个图形之间的位置关系 对称轴位置 一定经过这个图形 可能在两个图形外部或内部 对称轴数量 有一条或多条 只有一条 联系 ①都能沿某条直线折叠后互相重合；②把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形；③把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称. 轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形全等. 2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 【例1】如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定 正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．AA′⊥MN C．BC∥B'C' D．CN＝C′N 【解析】解：根据轴对称图形的特征可知：∠ABC＝∠A′B′C′， AA′⊥MN，CN＝C′N，无法判断BC与B′C′的位置关系， ∴A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 【变式1】对称是一种经典的美学形态，中国的方块字更是将这种美融入笔画结构中．下列美术字 中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 知识点二、线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： 点在线段的垂直平分线上， . 判定定理： 与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： ，QA=QB 点P，Q都在线段的垂直平分线上. ∴直线PQ是线段AB的垂直平分线. 注意： 因为两点确定一条直线，所以要证明P，Q两个点与线段AB的端点距离相等，才能确定直线PQ是线段AB的垂直平分线. 尺规作图：作已知线段AB的垂直平分线： 1.分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； 2.作直线，即为线段的垂直平分线. 【例2】如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的 周长； 【解析】解：∵DE为AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）； 【例3】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD 于点G．求证：AD垂直平分EF． 【解析】证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD平分∠BAC， ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝∠AFD﹣∠DFE＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵点A和点D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 【变式2】通过如下尺规作图，能确定点D是AB边中点的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】23．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC， BC于点D，E．若△ABC 的周 长为15，BE＝3，则△ABD 的周长为　 　 ． 知识点三、坐标平面中的轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标规律 对称方式 坐标变化 口诀 关于x轴对称 (x,y)变为(x,-y) 横不变，纵变号 关于y轴对称 (x,y)变为(-x,y) 纵不变，横变号 【例4】如图，△ABC中，点A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）在所给直角坐标系中解答 下列问题： （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【解析】解：（1）利用轴对称性质得出对应点位置如图，△A1B1C1即为所求作： （2）根据矩形面积减去三个三角形面积可得： △A1B1C1的面积为． 【变式4】已知点A（1，2），点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标是　 　 ． 【变式5】如图所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点，则下 列选项中的点，到M，N两点的距离相等的是（　　） A．点P（2，2） B．点Q（1，﹣2） C．点R（0，﹣1） D．点S（﹣1，﹣2） 知识点四、等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 几何语言： ， . 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 几何语言（三种形式）： （1），，，； （2），，，； （3），，，. 等腰三角形的判定 判定1（定义法）：有两边相等的三角形是等腰三角形. 判定2：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 几何语言： 在中， ， . 【例5】等腰△ABC中，已知一角等于50°，求三角形的底角度数． 【解析】解：①50°是底角，则底角为：50°； ②50°是顶角，则底角为：（180°﹣50°）÷2＝65°； 所以底角的度数为50°或65°． 【例6】48．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD//AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接 AD．求证：△ACD为等腰三角形． 【解析】证明：∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵DE⊥AC， ∴∠B＝∠DEC＝90°， ∵AB＝CE， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等腰三角形． 【变式6】如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C为圆心，CA为半 径作弧，交CD于点E，连接 AE，则∠CEA等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式7】若实数a，b满足|a﹣7|+（b﹣11）2＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长 是　 　 ． 【变式8】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF， BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 知识点五、等边三角形的性质与判定 等边三角形的性质： 1.三条边都相等； 2.三个内角都相等，且每个角都等于60°； 3.是轴对称图形，有3条对称轴； 4.每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形的判定 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 角判定法：三个角都相等的三角形是等边三角形 特殊等腰法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 在中， ，， . 【例题7】如图，△ABC的三边相等，三个内角也相等，点D、E分别是△ABC的边CB、BA的延 长线上一点，且BD＝AE，连接CE，连接DA并延长交CE于点F． （1）试说明：AD＝CE； （2）求∠CFA的度数． 【解析】（1）证明：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴，， ∴∠CAE＝∠ABD＝180°﹣60°＝120°， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）； ∴AD＝CE； （2）解：∵△ABD≌△CAE， ∴∠E＝∠D， ∵∠EAF＝∠DAB，∠E+∠EAF+∠AFE＝∠D+∠DAB+∠ABD＝180°， ∴∠CFA＝180°﹣∠AFE＝60°． 【变式9】如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD⊥AB，CD∥AB， 则CD的长为（　　） A．1 B． C． D． 【变式10】如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED 的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AF＝1，求AB的长． 综合测评 1．下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB＝8，点D在AC边的垂直平分线上，△BCD的周长为15，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．7 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．在平面直角坐标系中，若点M的坐标为（4，﹣1），则点M关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣1，4） D．（﹣4，1） 5．点P（﹣3，4）与点Q（3，4）在平面直角坐标系中关于哪条线对称（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 6．等腰△ABC的周长为18，若AB的长为8，则BC的长不可能是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 7．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD＝4，BD＝2，则BC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，D是BC的延长线上的一点，且AC＝CD，则AD的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 10．等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　） A．70° B．50°或70° C．40° D．50°或80° 11．已知点（2，1）关于y轴的对称点是（a，b），则（a+b）2025＝　 　 ． 12．工匠们用如图这样的工具检测屋梁是否水平，把等腰三角尺的底边素贴屋梁，当挂铅锤的线绳经过等腰三角尺底边的中点时，就可以确定挂铅锤的线绳与屋梁垂直（即屋梁是水平的），否则梁就不是水平的．这样测量用到的数学依据是　 　 ． 13．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线l对称，点O在直线l上，点A和点D为对称点，点B和点C为对称点，若∠AOD＝150°，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为　 　 ． 14．如图，△ABC中，AB＝BC，AD平分∠BAC．若∠B＝∠BAD，则∠C的度数为　 　 ． 15．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E、交AC于D，若△ABC周长为13，△BCD周长为8，则BC的长为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝　 　 ． 17．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC分别交AB，AC边于点M、N，△AMN的周长为18，△ABC的周长为25，那么边BC的长为　 　 ． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于　 　 ． 19．如图，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，请只用直尺按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）求四边形A1B1BA的面积； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边B1，C1两点的距离相等． 20．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB边上的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．求证：CD＝2BD． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD＝ED．若∠B＝40°，求∠DEA的度数． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，请说明△AEF的形状． 23．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若BF＝2，求AE的长． 24．如图，△ABC是边长是16cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是3cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ是等边三角形？ （2）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，∠BQP是直角？ 备用图 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 【变式1】解：选项A、B、D的美术字均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C的美术字能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 【变式2】解：根据作图痕迹逐项分析判断如下： A．作的是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，则D是AB的中点，故符合题意； B．作的是∠ACB的平分线，故不符合题意； C．作的是线段AC的垂直平分线，交AC于点D，则D是AC的中点，故不符合题意； D．作的是过点C作AB的垂线，故不符合题意； 故选：A． 【变式3】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，BE＝3， ∴BD＝CD，BC＝2BE＝2×3＝6， ∵△ABC的周长为15， ∴AB+AC+BC＝15． ∴AB+AC＝15﹣6＝9． ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝9， 故答案为：9． 【变式4】解：点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）． 【变式5】解：∵蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点， ∴y轴是线段MN的线段垂直平分线， ∴y轴上的点到M，N两点的距离相等， 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式6】解：∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠ACE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠CAB＝140°， ∴∠ACE＝180°﹣140°＝40°． 由作图可知，CE＝CA， ∴∠CEA＝∠CAE． ∴， 则∠CEA等于70°， 故选：D． 【变式7】解：根据题意得，a﹣7＝0，b﹣11＝0， 解得a＝7，b＝11， ①a＝7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、11， ∵7+7＝14， ∴7、7、11能组成三角形， ∴三角形的周长为25， ②a＝7是底边时，三角形的三边分别为7、11、11， 能够组成三角形， 周长＝7+11+11＝29； 综上所述，三角形的周长为25或29． 故答案为：25或29． 【变式8】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【变式9】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝2，∠ABC＝60°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∴∠D＝90°， ∴CD＝BC＝1． 故选：A． 【变式10】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠BFE＝90°， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB于点F， ∴∠AFD＝90°， ∵△ABC是等边三角形，点D是AC边的中点， ∴∠A＝60°， ∴∠ADF＝90°﹣∠A＝30°， ∵AF＝1， ∴AD＝2AF＝2， ∴AB＝AC＝2AD＝4， ∴AB的长是4． 综合测评 1．【解答】解：A、是轴对称图形，故A不符合题意； B、不是轴对称图形，故B符合题意； C、是轴对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 2．【解答】解：∵AB＝8，点D在AC边的垂直平分线上， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为15， ∴BC+CD+BD＝BC+AD+BD＝BC+AB＝15，即BC+8＝15， ∴BC＝7． 故选：D． 3．【解答】解：连接CD， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵DE垂直平分AC， ∴∠A＝∠ACD， ∵DB＝DE， ∴CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠A＝∠ACD＝∠BCD， ∴∠ACD＝（∠A+∠ACB）＝×90°＝30°， ∴∠ACB＝2∠ACD＝60°． 故选：C． 4．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点M的坐标为（4，﹣1）， ∴点M关于x轴对称的点的坐标为（4，1）． 故选：A． 5．【解答】解：∵点P与点Q的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴． 故选：B． 6．【解答】解：当AB是底边时，BC的长为（18﹣8）÷2＝5，5+5＞8，能围成三角形，故不符合题意； 当AB是腰时，BC的长为18﹣8﹣8＝2，2+8＞8，能围成三角形，故不符合题意； 当△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝6，能围成三角形，但和AB的长为8矛盾，故符合题意； 故选：C． 7．【解答】解：∵DE是边AC的垂直平分线，AD＝4， ∴CD＝AD＝4（线段垂直平分线的性质）． ∵BD＝2， ∴BC＝BD+CD＝2+4＝6． 则BC的长为6． 故选：C． 8．【解答】解：∵AC＝CD， ∴∠D＝∠CAD， ∵∠B＝90°， ∴∠BAC+∠CAD+∠D＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD+∠D＝60°， ∴∠D＝30°， ∴AD＝2AB＝2×4＝8． 故选：B． 9．【解答】解：由三角形内角和180°可知： ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝180°﹣30°﹣70°＝80°， 由作法可知，AD是∠BAC的平分线， ∴， 由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠FCB＝∠B＝30°， ∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝70°﹣30°＝40°， ∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝40°+40°＝80°． 故选：C． 10．【解答】解：由条件可知等腰三角形的一个内角为180°﹣100°＝80°，分两种情况进行分类讨论如下： ①当80°为顶角时， 其他两角都为50°、50°； ②当80°为底角时， 其他两角为80°、20°， 所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°． 故选：D． 11．【解答】解：∵点（2，1）关于y轴的对称点是（a，b）， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．【解答】解：当挂铅锤的线绳经过等腰三角尺底边的中点时，就可以确定挂铅锤的线绳与屋梁垂直（即屋梁是水平的），这样测量用到的数学依据是等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合， 故答案为：等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合． 13．【解答】解：如图所示， 由轴对称性质可知：∠AOE＝∠DOE，∠BOE＝∠COE， ∵∠AOD＝150°，∠BOC＝30°， ∴，， ∴∠AOB＝∠AOE﹣∠BOE＝75°﹣15°＝60°． 故答案为：60°． 14．【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠B＝∠BAD， ∴设∠B＝x， 则∠BAD＝∠CAD＝x， 即∠BAC＝∠C＝2x， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， 解得x＝36°， ∴∠C＝2×36°＝72°， 故答案为：72°． 15．【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵△BCD的周长为8， ∴BC+CD+BD＝8， ∴BC+CD+AD＝8， ∴BC+CA＝8， ∵△ABC的周长为13， ∴AB＝26﹣BC﹣CA＝13﹣8＝5， ∴AC＝AB＝5， ∴BC＝13﹣AB﹣AC＝13﹣5﹣5＝3． 故答案为：3． 16．【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵DM是边AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， 同理可得，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°， ∴∠DAE＝100°﹣80°＝20°， 故答案为：20°． 17．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB． ∵MN∥BC， ∴∠NOC＝∠OCB，∠MOB＝∠OBC， ∴∠NOC＝∠NCO，∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB，NO＝NC． ∴△AMN的周长为18， 即AM+MN+AN＝AM+MO+AN+ON＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝18． ∵△ABC的周长为 25， ∴AB+AC+BC＝25， ∴BC＝25﹣（AB+AC）＝25﹣18＝7． 故答案为：7． 18．【解答】解：如图所示：连接AO， ∵S△AOB＝AB•OE，S△AOC＝AC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC， ∴AB•OE+AC•OF＝20， ×8OE+×8OF＝20， 4OE+4OF＝20， 4（OE+OF）＝20， OE+OF＝5， 故答案为：5． 19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）四边形A1B1BA的面积为＝12． （3）如图，作线段B1C1的垂直平分线，交直线l于点Q， 则点Q即为所求． 20．【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°． ∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°， ∴CD＝2AD， ∴CD＝2BD． 21．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°，∠BAD＝∠CAD． ∵∠C+∠B+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠CAD＝∠BAC＝50°， ∵DA＝DE， ∴∠DEA＝∠EAD＝50°； （2）∵AE＝CE＝2， ∴AC＝4， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AC＝AB＝4，AD⊥BC， ∵AE＝CE， ∴DE＝AC＝2． ∴DE＝AE＝CE＝2， ∵AD＝ED， ∴AD＝2， ∴CD＝BD＝＝2， ∴． 22．【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣39°＝51°， ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD＝51°； （2）∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BAF； 由（1）得，∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAF， ∴AE＝FE， ∴△AEF是等腰三角形． 23．【解答】（1）证明：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∵DF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴△AFE是直角三角形， 在Rt△AFE中，∠E＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （1）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AC＝BC， ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴△DFB是直角三角形， 在Rt△DFB中，BF＝2，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BD＝2BF＝4， ∵AD垂直平分BC， ∴CD＝BD＝4， ∴AC＝BC＝CD+BD＝8， 又∵∠CDE＝∠BDF＝30°，∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴CE＝CD＝4， ∴AE＝AC+CE＝12． 24．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， 根据题意得AP＝3tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（16﹣3t）cm， ∴∠B＝60°． ∴BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形， ∴16﹣3t＝2t， 解得； （2）根据题意得AP＝3tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（16﹣3t）cm， ∵∠PBQ＝60°，∠BQP＝90°， ∴∠BPQ＝30°， ∴， 即， 解得； 当时，∠BQP是直角． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $