第11讲 图形的轴对称（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第11讲 图形的轴对称（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+6个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 轴对称及其性质 观察下面的图片: 可以发现，对称现象是普遍存在的．除了对称的美感之外,对称图形还蕴藏着哪些特征呢? 【知识点1 轴对称图形与对称轴】 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【知识点2 两个图形成轴对称】 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质】 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【题型1 轴对称图形的识别】 【例1】观察下列图形，其中是轴对称图形的是__________（填序号） 【变式1-1】以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【变式1-2】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【变式1-3】如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是______（填一个即可）．    【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【变式2-1】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式2-3】下列说法中，正确的个数是（   ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 成轴对称图形的性质的应用】 【例3】如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式3-3】如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 模块三 线段的垂直平分线 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，…是l 上的点，请测量点P1，P2，… 到点A 与点B 的距离，猜想它们之间的数量关系． 【知识点4 线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【知识点5 线段垂直平分线的判定】 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【知识点6 作已知线段的垂直平分线】 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【题型6 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例6】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为36，则的周长为___________． 【变式6-1】如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【变式6-2】在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【变式6-3】如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若 ，则的长为______． 【题型7 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例7】如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是____________． 【变式7-1】如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则为_____度． 【变式7-2】如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为_____． 【变式7-3】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，则的度数是 ． 【题型8 作已知线段的垂直平分线】 【例8】如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 【变式8-1】作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【变式8-2】如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 【变式8-3】如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； (2)若，，则中线长度的取值范围是______． 【题型8 线段垂直平分线的判定的运用】 【例8】已知：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线． 【变式8-1】如图所示， 在中， ， ， ，垂足分别为、， 、 相交于点，求证：垂直平分 ． 【变式8-2】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【变式8-3】如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【题型9 线段垂直平分线的性质与判定综合】 【例9】如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 【变式9-1】如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【变式9-2】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【变式9-3】如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 模块三 课后作业 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 5．如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 7．如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 8．请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）． (1)已知，是钝角，， ①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且； ②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长； (2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长． 9．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 10．实践与探究 在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交AC的延长线于，且． ①求证：点在BC的垂直平分线上； ②__________； (2)如图2，当点在线段BC上时，若，平分，交AC于点，交AD与点，过点作，交BC于点． ①_________； ②若，，求CG的长度； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 图形的轴对称（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+6个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 轴对称及其性质 观察下面的图片: 可以发现，对称现象是普遍存在的．除了对称的美感之外,对称图形还蕴藏着哪些特征呢? 【知识点1 轴对称图形与对称轴】 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【知识点2 两个图形成轴对称】 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质】 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【题型1 轴对称图形的识别】 【例1】观察下列图形，其中是轴对称图形的是__________（填序号） 【答案】①②③④⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，牢记轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形即为所求． 【详解】解：①②③④⑥沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形． 故答案为：①②③④⑥． 【变式1-1】以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 【变式1-2】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 【变式1-3】如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是______（填一个即可）．    【答案】②（③或④或⑤） 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：把标号②或③或④或⑤涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形． 故答案为：②（③或④或⑤）． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 【变式2-1】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到， C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， 故选：B； 【变式2-2】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可． 【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称， 故选：． 【变式2-3】下列说法中，正确的个数是（   ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故（1）不正确，不符合题意； （2）轴对称图形的对称轴是一条直线，故（2）不正确，不符合题意； （3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，故（3）正确，符合题意； （4）全等的两个图形不一定成轴对称，故（4）不正确，不符合题意； （5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，故（5）正确，符合题意； 综上：正确的有（3）（5），共2个， 故选：B． 【题型3 成轴对称图形的性质的应用】 【例3】如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查轴对称的性质与运用，解决本题的关键是熟练掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， 不一定成立，故C选项错误， 所以，不一定正确的是C． 故选：C． 【变式3-1】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 【变式3-2】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即， 故答案为：． 【变式3-3】如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解： 、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 模块三 线段的垂直平分线 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，…是l 上的点，请测量点P1，P2，… 到点A 与点B 的距离，猜想它们之间的数量关系． 【知识点4 线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【知识点5 线段垂直平分线的判定】 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【知识点6 作已知线段的垂直平分线】 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【题型6 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例6】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为36，则的周长为___________． 【答案】20 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，再根据的周长为36，计算的周长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，． ∵， ∴． ∵的周长为36， ∴的周长为． 【变式6-1】如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 【变式6-2】在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13/13或7 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 【变式6-3】如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若 ，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，利用 证明 ，得到，再证明 ，得到，即得，最后根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ． 【题型7 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例7】如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是____________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则为_____度． 【答案】28 【分析】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的内角和可得，由作图可得垂直平分，平分，推出，，得到，求出，即可求解． 【详解】解： ，， ， 由作图可得垂直平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为： 【变式7-2】如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先连接，利用垂直平分线性质得，再用证明，得，设，根据和列方程求解． 【详解】解：如图，连接，，． ，分别垂直平分，， ，， ． 在和中， ， ． 设，， 则，， ，即． 故答案为：． 【变式7-3】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．连接、，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，，得到，由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 、分别是、的垂直平分线， ，， ，，， ， ，即， ，， ， 故答案为：． 【题型8 作已知线段的垂直平分线】 【例8】如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 【答案】(1)解：如图所示： 上图即为所求作； (2) 【分析】（1）分别作的平分线及作边的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线性质及角平分线定义得到，结合已知条件，由三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示： 垂直平分边， ，，， 平分， ， 则， ，， ， 即，解得． 【变式8-1】作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求， （2）解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【变式8-2】如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 【答案】(1)如图，点即为所求作的点； (2)如图，点即为所求作的点． 【分析】（1）由题意得，点在的垂直平分线，即作的垂直平分线交于点，点即为所求作的点； （2）延长至点，作的平分线的过点的垂线，延长交于点，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，点即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2）解：图略 理由：于点，于点，平分 ， 在和中， ， ， ， 将沿着直线折叠，点能落在边上的点处． 【变式8-3】如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； (2)若，，则中线长度的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）①作出线段的垂直平分线与交于点，连接即可； ②由过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可求解； （2）延长到点M，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，、即为所求， ②即为所求； （2）解：延长到点M，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， 即， 【题型8 线段垂直平分线的判定的运用】 【例8】已知：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟悉垂直平分线的判定． 连接，根据题意可知和，结合可证明，有，进一步证明出，利用证明，有，结合垂直的性质即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵线段的垂直平分线交于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点F为的中点，又∵ 则是线段的垂直平分线． 【变式8-1】如图所示， 在中， ， ， ，垂足分别为、， 、 相交于点，求证：垂直平分 ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定；证明，得出，根据等角对等边可得，,即可得证． 【详解】证明：，， ， 在和 中 ， ， ，, 点、在的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式8-2】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式8-3】如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，结合即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点F在的垂直平分线上． 【题型9 线段垂直平分线的性质与判定综合】 【例9】如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，连接，中垂线的性质，推出，即可得出结论． 【详解】解：相等，理由如下： 连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 【变式9-1】如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB的垂直平分线EF，即可得出AE=BE,即可证明． 【详解】证明：连接AE， ∵，， ∴， ∴． ∵点D为线段CE的中点， ∴， ∴AD垂直平分线段CE， ∴， ∵EF垂直平分AB， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【变式9-2】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式9-3】如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 模块三 课后作业 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义．解答本题掌握好轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，即可解答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误； B．该图形是轴对称图形，符合题意，故该选项正确； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误． 故选B． 2．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到， C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， 故选：B； 3．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即， A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意； D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 故选：C． 4．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 5．如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得∶直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：B． 6．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 7．如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，根据对称性可判断出，先求出，再根据对称的性质判断，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为O． 因为关于的对称线段是， 所以． 因为， 所以 因为边关于的对称线段是， 所以， 所以， 所以， 所以． 又因为点落在所在的直线上，， 所以， 所以， 所以． 8．请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）． (1)已知，是钝角，， ①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且； ②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长； (2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，作一线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，掌握这些基本作图是解题的关键． （1）①作线段的垂直平分线，则；②分别作边的垂直平分线与交点为，则； （2）在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点，则，则即为所求． 【详解】（1）解：①解：如图，点即为所求： ②如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 9．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 10．实践与探究 在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交AC的延长线于，且． ①求证：点在BC的垂直平分线上； ②__________； (2)如图2，当点在线段BC上时，若，平分，交AC于点，交AD与点，过点作，交BC于点． ①_________； ②若，，求CG的长度； 【答案】(1)①证明见解析  ②3 (2)①45° ②2 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； 【详解】（1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $