第08讲 画轴对称的图形（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第08讲 画轴对称的图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 画轴对称图形 题型2 镜面对称 题型3 坐标系中的对称 题型4 坐标与图形变化-轴对称 题型5 线段问题（轴对称综合题） 题型6 面积问题（轴对称综合题） 题型7 角度问题（轴对称综合题） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称作图、对称点、作垂直、加倍延长、坐标轴对称、横同纵反、纵同横反、网格作图 1.理解轴对称变换的概念，掌握画平面图形关于某直线对称的图形的方法。 2.掌握平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，能利用规律画图。 3.培养作图能力、空间观念，能运用轴对称作图解决简单实际问题（。 学习重点：掌握画轴对称图形的三步作图法，熟练运用坐标对称规律求解与作图。 学习难点：准确作出对称轴外侧点的对称点；按正确顺序连线，避免对称图形变形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 尺规作图：画点关于直线的对称点 1.已知：点P和直线l 2.求作：点P关于直线l的对称点P' 3.作图步骤 （1）过点P作直线l的垂线，垂足为O； （2）延长PO至P'，使OP' = OP； （3）点 P' 即为点P关于直线l的对称点 即时即练如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)点E的坐标为 ． 【方法总结】 作垂直，定垂足，加倍延，得对称 知识点02 画平面图形关于某直线的对称图形 1.原理 几何图形由无数点组成，只需画出图形特殊点（顶点、端点、交点等）的对称点，再顺次连接即可。 2.作图三步法 找：在原图形上找所有特殊点（如三角形3个顶点、四边形4个顶点）； 画：按 “点对称作图法”，画出每个特殊点关于对称轴的对称点； 连：按原图形顺序，顺次连接各对称点，得到对称图形。 3.示例：画△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C' 找：确定A、B、C三个顶点； 画：分别作A、B、C关于l的对称点A'、B'、C'； 连：顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C' 即为所求。 即时即练如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）． (1)画出关于轴对称的： (2)若点为边上一点，请直接写出点经过（1）中的一次图形变换后的对应点的坐标________． 【方法总结】 1.找错特殊点：漏找顶点、交点，导致图形残缺； 2.作图不规范： 作垂线不画直角符号； 对称点到对称轴距离不相等（未“加倍延”）； 3.连接顺序错误：未按原图顺序连接，导致图形变形； 4.坐标规律混淆：x轴对称记成“横反纵同”，y轴对称记反； 5.忽略对称轴位置：对称轴在图形外/斜向时，不会作垂线延长。 知识点03 平面直角坐标系中的轴对称 1.关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）（横同纵反）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）（纵同横反）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称； 若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2.在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 即时即练已知点与点关于x轴对称（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 题型1 画轴对称图形 【例1】如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【例2】如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【技巧归纳】 通用三步法：找点→作对称点→顺次连线 1.找点：选取图形顶点、端点、交点等关键点； 2.作对称点：过关键点向对称轴作垂线，延长垂线并截取等长线段，得到对称点（口诀：作垂线、定垂足、加倍延）； 3.连线：严格按照原图形顶点顺序连接对称点。 补充：对称轴上的点，对称点为自身，无需重新作图。 易错提醒 漏画部分关键点；垂线不标准、两侧线段长度不等；连线顺序错乱导致图形变形；不保留作图痕迹。 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； (3)直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【变式1-2】已知，如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标（点对点、点对点、点对点）． (2)作关于轴的对称图形（分别对应）． (3)请直接写出与的数量关系：___________． 题型2 镜面对称 【例1】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【例2】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【技巧归纳】 1.本质：镜面相当于对称轴，实物与镜中图像成轴对称； 2.规律：左右方向相反，上下方向不变； 3.数字 / 钟表类：可把试卷翻到背面透光观察，快速读出镜像内容； 4.图形类：按轴对称作图规则，画出镜面另一侧图形即可。 易错提醒 混淆左右、上下翻转规律；钟表读数时直接按正面数字认读，忽略镜像反转。 【变式2-1】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 题型3 坐标系中的对称 【例1】在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【例2】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_______________． 【技巧归纳】 牢记坐标变换口诀，直接套用公式： 点P(x,y)关于x轴对称：横不变，纵变号，坐标(x,-y) 点P(x,y)关于y轴对称：纵不变，横变号，坐标(-x, y) 解题步骤：看清对称轴→对照口诀→直接写出对称点坐标。 易错提醒 记混x轴、y轴的变号规则；负数、零参与运算时符号出错。 【变式3-1】已知点与点关于轴对称，则___________． 【变式3-2】已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 题型4 坐标与图形变化-轴对称 【例1】如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【技巧归纳】 1.算坐标：求出原图形所有顶点的对称点坐标； 2.描点：在平面直角坐标系中依次描出对称顶点； 3.连线：按原图顺序顺次连接各点，得到轴对称图形。 拓展：可结合坐标变化，判断图形平移、对称组合变换。 易错提醒：只算部分顶点坐标，遗漏关键点；描点位置偏差；连线顺序错误。 【变式4-1】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是 (1)将沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标 【变式4-2】按要求完成作图：已知点三个点的坐标分别为． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)写出A、B、C的对应点、、的坐标． 题型5 线段问题（轴对称综合题） 【例1】在边长为1的正方形网格中，点均在格点（网格线的交点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，将向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到（点的对应点分别为）． (1)画出； (2)在轴上求作点，使的值最小． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上作一点，使的值最小． 【技巧归纳】 1.核心依据：成轴对称的图形对应线段相等；对称轴垂直平分对应点连线； 2.线段求值：利用等线段代换，直接转化边长、线段和差； 3.周长计算：借助轴对称进行线段转移，将折线转化为已知线段，简化周长运算； 4.证明线段相等：证两点关于直线对称，再用轴对称性质推导。 易错提醒：找错对应线段；复杂图形中不会利用轴对称进行线段等量替换。 【变式5-1】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别是，． (1)请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系． (2)请画出关于轴对称的 (3)在轴上找一点，使最小 【变式5-2】如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 题型6 面积问题（轴对称综合题） 【例1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【例2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【技巧归纳】 1.基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等； 2.分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分； 3.不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积； 4.网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算。 易错提醒：误以为对称轴分割后的图形面积不等；割补图形时改变原有面积大小。 【变式6-1】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【变式6-2】如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 题型7 角度问题（轴对称综合题） 【例1】如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【例2】矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【技巧归纳】 1.基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等； 2.分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分； 3.不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积； 4.网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算。 易错提醒：误以为对称轴分割后的图形面积不等；割补图形时改变原有面积大小。 【变式7-1】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 1．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点和点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 3．如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知点与点关于轴对称，则_______． 5．已知点和点关于轴对称，则的值为_____ ． 6．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为___________． 7．已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 8．在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点A的坐标为． (1)请画出关于x轴对称的   (不写画法，其中  分别是A，B，C的对应点)； (2)直接写出C三点的坐标； (3)在y轴上求作一点P，使的周长最小．(简要写出作图步骤，必要时可用黑色笔描画痕迹)． 9．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)将、、三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到，请在图中画出，并直接写出与的位置关系； (2)若轴上存在一点，使得的值最小，请标出点的位置． 10．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 画轴对称的图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 画轴对称图形 题型2 镜面对称 题型3 坐标系中的对称 题型4 坐标与图形变化-轴对称 题型5 线段问题（轴对称综合题） 题型6 面积问题（轴对称综合题） 题型7 角度问题（轴对称综合题） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称作图、对称点、作垂直、加倍延长、坐标轴对称、横同纵反、纵同横反、网格作图 1.理解轴对称变换的概念，掌握画平面图形关于某直线对称的图形的方法。 2.掌握平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，能利用规律画图。 3.培养作图能力、空间观念，能运用轴对称作图解决简单实际问题（。 学习重点：掌握画轴对称图形的三步作图法，熟练运用坐标对称规律求解与作图。 学习难点：准确作出对称轴外侧点的对称点；按正确顺序连线，避免对称图形变形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 尺规作图：画点关于直线的对称点 1.已知：点P和直线l 2.求作：点P关于直线l的对称点P' 3.作图步骤 （1）过点P作直线l的垂线，垂足为O； （2）延长PO至P'，使OP' = OP； （3）点 P' 即为点P关于直线l的对称点 即时即练如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)点E的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)点 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，平面直角坐标系内点的坐标， 对于（1），作点A关于y轴对称的点D，点B关于y轴对称的点E，点C关于y轴对称的点F，再依次连接可得答案； 对于（2），在平面直角坐标系内可知点E在第一象限，且到两个坐标轴的距离都是3，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如上图，点． 故答案为：． 【方法总结】 作垂直，定垂足，加倍延，得对称 知识点02 画平面图形关于某直线的对称图形 1.原理 几何图形由无数点组成，只需画出图形特殊点（顶点、端点、交点等）的对称点，再顺次连接即可。 2.作图三步法 找：在原图形上找所有特殊点（如三角形3个顶点、四边形4个顶点）； 画：按 “点对称作图法”，画出每个特殊点关于对称轴的对称点； 连：按原图形顺序，顺次连接各对称点，得到对称图形。 3.示例：画△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C' 找：确定A、B、C三个顶点； 画：分别作A、B、C关于l的对称点A'、B'、C'； 连：顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C' 即为所求。 即时即练如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）． (1)画出关于轴对称的： (2)若点为边上一点，请直接写出点经过（1）中的一次图形变换后的对应点的坐标________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了画轴对称图形，关于轴对称的坐标特征； （1）分别作出点、、关于轴对称的点，顺次连接即可； （2） 根据轴对称的规律写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）点关于轴对称的点为点， 【方法总结】 1.找错特殊点：漏找顶点、交点，导致图形残缺； 2.作图不规范： 作垂线不画直角符号； 对称点到对称轴距离不相等（未“加倍延”）； 3.连接顺序错误：未按原图顺序连接，导致图形变形； 4.坐标规律混淆：x轴对称记成“横反纵同”，y轴对称记反； 5.忽略对称轴位置：对称轴在图形外/斜向时，不会作垂线延长。 知识点03 平面直角坐标系中的轴对称 1.关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）（横同纵反）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）（纵同横反）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称； 若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2.在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 即时即练已知点与点关于x轴对称（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程组计算即可. 【详解】解：由题意得， 解得． 题型1 画轴对称图形 【例1】如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 【例2】如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 【技巧归纳】 通用三步法：找点→作对称点→顺次连线 1.找点：选取图形顶点、端点、交点等关键点； 2.作对称点：过关键点向对称轴作垂线，延长垂线并截取等长线段，得到对称点（口诀：作垂线、定垂足、加倍延）； 3.连线：严格按照原图形顶点顺序连接对称点。 补充：对称轴上的点，对称点为自身，无需重新作图。 易错提醒 漏画部分关键点；垂线不标准、两侧线段长度不等；连线顺序错乱导致图形变形；不保留作图痕迹。 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； (3)直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点可得答案． （2）分别确定关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的对称点，再顺次连接即可． （3）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴三个顶点关于x轴对称的点的坐标为：，，． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线的对称点的坐标为． 【变式1-2】已知，如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标（点对点、点对点、点对点）． (2)作关于轴的对称图形（分别对应）． (3)请直接写出与的数量关系：___________． 【答案】(1)作图见解析；，， (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可作图，再由关于y轴对称的点的坐标变化即可写出点D、E、F的坐标； （2）根据轴对称图形的性质即可作图； （3）由图可得，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求；，，． （2）解：如图，为所求图形； （3）解：由图可得，， ∴． 题型2 镜面对称 【例1】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 【例2】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【技巧归纳】 1.本质：镜面相当于对称轴，实物与镜中图像成轴对称； 2.规律：左右方向相反，上下方向不变； 3.数字 / 钟表类：可把试卷翻到背面透光观察，快速读出镜像内容； 4.图形类：按轴对称作图规则，画出镜面另一侧图形即可。 易错提醒 混淆左右、上下翻转规律；钟表读数时直接按正面数字认读，忽略镜像反转。 【变式2-1】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式2-2】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 题型3 坐标系中的对称 【例1】在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 【例2】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征求出，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【技巧归纳】 牢记坐标变换口诀，直接套用公式： 点P(x,y)关于x轴对称：横不变，纵变号，坐标(x,-y) 点P(x,y)关于y轴对称：纵不变，横变号，坐标(-x, y) 解题步骤：看清对称轴→对照口诀→直接写出对称点坐标。 易错提醒 记混x轴、y轴的变号规则；负数、零参与运算时符号出错。 【变式3-1】已知点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，建立方程求解a和b，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， 解得：，， 因此． 故答案为：． 【变式3-2】已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：B． 题型4 坐标与图形变化-轴对称 【例1】如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的性质，得，求出n值代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴． 【例2】如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a，b的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴，， ∴， 故选：C． 【技巧归纳】 1.算坐标：求出原图形所有顶点的对称点坐标； 2.描点：在平面直角坐标系中依次描出对称顶点； 3.连线：按原图顺序顺次连接各点，得到轴对称图形。 拓展：可结合坐标变化，判断图形平移、对称组合变换。 易错提醒：只算部分顶点坐标，遗漏关键点；描点位置偏差；连线顺序错误。 【变式4-1】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是 (1)将沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标 【答案】(1)作图见解析，坐标 (2)作图见解析，坐标 【分析】（1）把点、、分别沿轴正方向平移个单位长度，得到点、、，连接点、、，得到即为所求，借助网格可知，点的坐标； （2）分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到即为所求，借助网格可知点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示，把点、、分别沿轴正方向平移个单位长度，得到点、、， 连接点、、，得到即为所求， 借助网格可知，点的坐标是； （2）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到即为所求， 借助网格可知点的坐标为． 【变式4-2】按要求完成作图：已知点三个点的坐标分别为． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)写出A、B、C的对应点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：． 题型5 线段问题（轴对称综合题） 【例1】在边长为1的正方形网格中，点均在格点（网格线的交点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，将向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到（点的对应点分别为）． (1)画出； (2)在轴上求作点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，熟记平移变换的性质是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点，顺次连接即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，点即为所求． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上作一点，使的值最小． 【答案】(1)作图见解析，，， (2)作图见解析 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； 本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，，，； （2）解：如图所示，点即为所求． 【技巧归纳】 1.核心依据：成轴对称的图形对应线段相等；对称轴垂直平分对应点连线； 2.线段求值：利用等线段代换，直接转化边长、线段和差； 3.周长计算：借助轴对称进行线段转移，将折线转化为已知线段，简化周长运算； 4.证明线段相等：证两点关于直线对称，再用轴对称性质推导。 易错提醒：找错对应线段；复杂图形中不会利用轴对称进行线段等量替换。 【变式5-1】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别是，． (1)请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系． (2)请画出关于轴对称的 (3)在轴上找一点，使最小 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，最短路径问题，根据点的坐标确定原点位置，熟练掌握轴对称变换是解题的关键． （1）根据点的坐标可确定原点位置，然后画出平面直角坐标系即可； （2）首先确定点、、三点关于轴对称的对称点位置，依次连接即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，根据轴对称的性质可得，根据两点之间，线段最短，即可得出的值最小． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图所示：即为所求． （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，点即为所求．如图： ∵点与点，关于轴对称， 故， 即， 根据两点之间，线段最短，即可得出此时的值最小，即的值最小． 【变式5-2】如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质；作点关于的对称点，由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点，当时，最小，再根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点， 当时，最小， ∵，则， 在中，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 题型6 面积问题（轴对称综合题） 【例1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1)图见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【详解】（1）解：由题意作图可得： （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)作图见详解，点的坐标为 (2)3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴的轴对称变换及在平面直角坐标系中求四边形面积． （1）利用轴对称的性质在平面直角坐标系图中作出关于x轴的轴对称图形即可，再根据图形得出点的坐标； （2）根据题意先连接，，将四边形分成和，分别求其面积再相加即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： 由图可知，此时点的坐标为． （2）解：如图，连接，， ∴四边形由和组成， ∴， 即， ∴四边形的面积为3． 【技巧归纳】 1.基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等； 2.分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分； 3.不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积； 4.网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算。 易错提醒：误以为对称轴分割后的图形面积不等；割补图形时改变原有面积大小。 【变式6-1】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【变式6-2】如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 题型7 角度问题（轴对称综合题） 【例1】如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【技巧归纳】 1.基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等； 2.分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分； 3.不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积； 4.网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算。 易错提醒：误以为对称轴分割后的图形面积不等；割补图形时改变原有面积大小。 【变式7-1】如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 1．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 2．已知点和点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 3．如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据轴上点的纵坐标为求出的值，再确定点的坐标，最后根据对称规律求出对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 4．已知点与点关于轴对称，则_______． 【答案】 【分析】根据轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 5．已知点和点关于轴对称，则的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， ， ． 故答案为：． 6．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及解二元一次方程组，根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”．进一步列方程组求解即可． 【详解】解：∵和关于轴对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：1． 7．已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标； （2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标和点A与点B的距离． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， 点的坐标为． （2）点在第一象限角的平分线上， ， ， 点的坐标为． 、两点间的距离为． 8．在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点A的坐标为． (1)请画出关于x轴对称的   (不写画法，其中  分别是A，B，C的对应点)； (2)直接写出C三点的坐标； (3)在y轴上求作一点P，使的周长最小．(简要写出作图步骤，必要时可用黑色笔描画痕迹)． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）描出对应点连接即可； （2）观察图像写出各点坐标即可； （3）根据轴对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：，， （3）解：如图所示：P点即为所求，找到A点关于y轴对称点，连接，交y轴于点P， 如图： 此时， 当共线时取最小值，的周长取最小值, 所以点P即为所求． 9．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)将、、三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到，请在图中画出，并直接写出与的位置关系； (2)若轴上存在一点，使得的值最小，请标出点的位置． 【答案】(1)见解析，与关于轴对称 (2)见解析 【分析】（1）作出关于轴对称的图形，即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 与关于轴对称； （2）解：如图所示，点即为所求． 10．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， ， 四边形如图所示， （3）解：由（2）图得， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $