1.3　培优课　集合的综合问题 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 这份同步练习以“培优”为导向，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖集合运算、子集关系及新定义问题，梯度衔接合理，助力学生从概念理解到综合应用，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|集合基本运算、元素互异性|单选（1-4题），如Venn图阴影部分表示、集合元素个数计算，夯实概念理解| |能力提升|含参集合、子集关系|多选（6-9题），如“全食”“偏食”新定义判断，培养分类讨论思维| |综合应用|方程与集合综合、实际问题|解答题（12-13题），如“相交”集合求参数，提升数学建模与推理能力|

培优课　集合的综合问题 1. (2026·两江新区校级模拟) 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A. {2, 3} B. {4, 5} C. {1, 2, 3, 6} D. {2, 3, 4, 5} 2. (2026·湖北模拟)已知集合，，若，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  3.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是（　　） A.62% B.56% C.46% D.42% 4.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　） A.1 B.3 C.5 D.9 5.若集合P＝{x｜3＜x≤22}，非空集合Q＝{x｜2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q⊆（P∩Q）成立的所有实数a的取值范围为（　　） A.1＜a＜9 B.1≤a≤9 C.6≤a＜9 D.6＜a≤9 6. （多选）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”。对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（　　） A.  B.  C.  D.  7.（多选）已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（　　） A.A∩B＝{x｜x＜} B.A∩B＝⌀ C.A∪B＝R D.A∪B＝{x｜x＜2} 8.（多选）设全集，若，，，则下列结论不正确的是（　　） A. ，且 B. ，且 C.  D. ，且 9.（多选）若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为（　　） A.0 B.1 C.－ D. 10.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的值为　　　　. 11.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为　　　　. 12.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝，若M与N“相交”，求实数a的值. 13.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围. 培优课　集合的综合问题 1.B　，阴影部分表示的集合为：. 故选：B. 2.A　易知，因为，所以，则的取值范围为.. 3.C　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%. 4.C　x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. 5.D　∵Q⊆（P∩Q），∴P∩Q＝Q，Q⊆P，∴解得6＜a≤9，故选D. 6.BCD　当时，与构成“全食”，当时，， ① ，，与构成“全食”， ② ，，与构成“偏食”， ③ ，，与构成“全食”，实数的取值可以是，，，. 故答案为：BCD. 7.AD　因为集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}＝，因此A∩B＝，A∪B＝{x｜x＜2}.故选A、D. 8.ACD　根据已知条件画出韦恩图 得且，故ACD错误，B正确. 9.CD　由A∪B＝A，所以B⊆A.又A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，所以x2＝0，或x2＝2，或x2＝x.x2＝0时，集合A不符合集合元素的互异性，所以x2≠0.x2＝2时，x＝－或x＝，符合题意.x2＝x时，得x＝0或x＝1，集合A均不符合集合元素的互异性，所以x2≠x.故选C、D. 10.0　解析：当a＝0时，B＝⌀，显然B⊆A，符合题意；当a≠0时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合B、A之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为0. 11.23　解析：由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有7＋8＋12＝27人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50－27＝23. 12.解：M＝， 由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1. 当a＝4时，M＝，此时M⊆N，不合题意； 当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意. 综上，实数a的值为1. 13.解：若B∪A＝A，则B⊆A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况： ①当B＝⌀时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4； ②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2}⊈A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A； ③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根， ∴∴a＝－2. 综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}. ∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $