江西九江市六校联考20265-2026学年高一下学期期末考试数学试题

绝密★启用前 高一年级下学期期末考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：必修第二册。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知z=a2-4+(a-2)i为纯虚数，则实数a的值为 A.0 B.2或-2 C.2 D.-2 2.已知一个扇形的圆心角为108°，则这个圆心角的弧度数为 A号 c弩 D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分点，则下列说法错误的是 D A成号证 B.DF-CE=4EF C.CB-CE=BE D.AD+DC=AB+BC 4.已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组对边分别平行于x轴和y轴，则原 四边形的面积为 A.4 B.8 C.42 D.82 5.已知tan0=3,则sin20-cos20= A写 B时 c月 D号 6.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0),点B在直线y=2x上.若向量OA在向量AB方向上的 投影向量的模为 ,则点B的坐标为 A.（1,2) B.(2,4) c(分- 分 高一数学第1页（共4页） 7.如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动 现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球 表面积的9倍，两者间空心部分体积为0”，则外层球半径为 A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c满足iDA血B=4esC,且c=5,则△ABC sin B'sin A 面积的最大值为 4③ B 2 C n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5i 9已知复数12则 A.z=1 B.z在复平面内对应的点位于第二象限 C.z=-2-i D.（z+2)2026=-1 10.在空间中，设A,B为两个不同的点，l,m为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列命题 为真命题的有 A.若A∈L,B∈l,且A∈a,B∈a,则UCa B.若l∩m=⑦，则l与m平行或异面 C.若lCa,mCB,且aB,则∥m D.若a⊥B,lCa,则lLB 11.某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米.叶片以恒定 角速度逆时针旋转，每圈用时6秒.为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶 片尖端距离地面的高度记为h(t).设t=0时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为一45° (即顺时针偏转45)，则下列说法正确的有 A.hA(e)=20sin骨++80 B.在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的} C.方程h(t)=h(t+1)在区间[0,6)上所有解的和为4.5 D.若h(+r)=h(-t)对任意t恒成立，则r的最小正值为1.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数x)=3sinx-2|sinx|的值域为 2 2π 13.若存在不相等的实数&，Be0,3,使得sina=1tsin2-cos 2 （w>0),则w的取值范围 是 高一数学第2页（共4页） 14.如图，动点C在以AB为直径的半圆0上（异于A,B),DC L BC,DC=BC,|AB|=2, 1C4-=;0元.0品的最大值为·（第一空2分，第二空3分） 0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 3 15(13分)尼知sma=号，且ae侵 （(1)求(to·m行的值： (2)若cos(a+p)=3,且B∈(0，m),求cosB的值 16(15分)已知复数：满足-三，且a的实部大于0设0= (1)求复数w; (2)若复数w是关于x的实系数二次方程x2+px+q=0的一个根，求p,q的值. 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足a2+6=b sin Cte? (1)求角C的大小； (2)将函数x)=sin(x+C)+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 8(x)的图象若g(A)= 2,且a=2,求c的值. 高一数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,BC=25,点D,E分别为 棱PB,PC的中点. (1)证明：DE∥平面ABC; (2)求三棱锥A-BDE的体积； (39)在线段C上是香存在点R,使得平面DG1平面A0?若存在，求出气的值：若不存在，请 说明理由 19.（17分)已知平面向量a,b满足|a|=2,lb|=1,且a与b的夹角为(0<0<π).对于任意实数t, 定义u(t)=a+b,(t)=a+b. (当g=号时，求a()的最小值及相应：的值于 (2)设F(t)=u(t)·v(t),若F(t)在R上有最小值，求0的取值范围，并求出此时F()的最小 值m(0)(用0表示)； (3)在(2)的条件下，若不等式m(0)≤入la+bP,对一切使F()有最小值的日恒成立，求实数入 的最小值 高一数学第4页（共4页）高一年级下学期期末考试 数学参考答案 1.【答案】D 【解析】由题意 a-2≠0， 解得a=-2.故选D. 1a2-4=0. 2.【答案】A 180 rad=3 【解析】108°=108× d=故选A 3.【答案】C 【解析】由题意知，E,F分别是CD边上的两个三等分点，且床与店方向相同，则序=了店，故A正确： D-C正=D+E元=2+2E京=4E,故B正确：C店-C=E,故C错误：Ad+D元=AC,A+BC=AC,所以Ad+D元= B+B配，故D正确.故选C. 4.【答案】B 【解析】解法一：根据斜二测画法规则，平行于x'轴的线段在原图中长度不变，平行于y轴的线段在原图中长度变 为原来的2倍.直观图是边长为2的菱形，因此平行于x'轴的边，原图中长度仍为2；平行于y轴的边，原图中长 度为4.由于直观图中菱形的邻边分别平行于x'轴和y'轴，故原四边形的邻边互相垂直，原四边形为矩形，原矩形 面积S=2×4=8.故选B. 解法二：已知直观图是边长为2的菱形，面积S观=2×2×sn45°=22，故原四边形面积S原=S观·22=22× 2万=8.故选B. 5.【答案】A []sin 20-cos 20=2sin 0cos 0-(cos0-sin)2sin 0cos 0-cos+sin0 2tan 0-1+tan02x3-1+9 sin0+cos0 tan20+1 9+1 6-1+9_7 10 =了故选A. 6.【答案】D 【解析1由点B在直线y=2x上，设B(%,其中%=2则店=(<。-1，)，0成=（1,0).1， B -院52司号解得子所以行小散法n x-1 1x-15 7.【答案】B 【解析】记外层空心球与内层同心小球的半径分别为R,r,由题意有4πR2=9×4π2，即R=3r.又两者间空心部分 为0则宁R-音=10将R=3代人解得=-1，R=3放选B 体积为3 8.【答案】C 【解]曲正致定理得片合=4asC,即4mC又角余致定理料44 =4.a6e262- ,整理 2ab ab 得d+6=22因为c=5,所以a6=6≥2b,即ab≤3，当且仅当a=h=3时等号成立.又osC=+e,3 2b26于是 高一数学第1页（共6页） sin C=V1-cos2C=/1- 9_√4a6-9 N4a262 2ab △ABC的面积S= 2 absin C=1 2ab 当=b=3时等号成立，此时C=?三角形为等边三角形，因此面积的最大值为 9.【答案】BCD(每选对1个得2分)》 【解折对于A,25,放A错误：对于B,看 5i=5i(1+21=-2+i,:在复平面内对应的点为 1-2i5 (-2,1),位于第二象限，故B正确；对于C,=-2-i,故C正确；对于D,2+2=i,(z+2)2=26=-1,故D正确故 选BCD 10.【答案】AB(每选对1个得3分) 【解析】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A正确：空间中两条直线没有公共 点，则它们平行或异面，故B正确；虽然B,但l与m可能平行，也可能异面，故C错误；只有&⊥B,lCa,且1 与α和B的交线垂直时l⊥B,故D错误故选AB. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】由题意叶片尖端距离地面的高度4()=80+20m个行-）=80+20s训行+)，故A正确：由a()≥90 2如 得一侣-}}，在一个同期7=6秒内满足条件的角度区同长度为号对应时间二2秒古比号行放 21 T B正确u+=0+20(号+1))=0+20+.所以方程()=+)化为行- (仔则写-学+侣2，keZ或写子-（骨骨+2，eZ,解得=+3，后Z放方程 h(t)=h(t+1)在区间[0,6)内的解为1=0.25和t=3.25,其和为0.25+3.25=3.5≠4.5，故C错误；若h(t+r)= 3 (-)对任意1恒成立，则6()的图象关于直线=弓对称，令受+号=受，keZ,解得1=子+3站，ke乙，所以 3张，k∈乙，即r三，+6k,kE乙，所以r的最小正值为1.5，故D正确 12.【答案】[-5,1] 【解析】当sinx[0,]时，x)=sin xe[0,1】:当sin x[-1,0)时，x)=5 sin x[-5,0),所以f(x)的值域为 [-5,11 1a【答案停+冈 【解析】由sin w=1+sn9-cosg 2 2-cos 2 (w>0)得sin wo+sin oB=2,所以sin wo=sinB=1.设0<<B,则 20所以2写2，>4 0<wa<w6< ,2wT5T15 高一数学第2页（共6页） 14.【答案】22（第一空2分，第二空3分） 【解析1由题意可知0为4B的中点，且a=1,则1-成=d+G1=21=2:设∠B0C=20,0∈0，），作 DE10C,交0C的延长线于E,在△B0C中，BC2=0B+0C2-20B·0C·cos20=2-2cos20=4sim20,故BC= 2sin6,则DC=2sin0,∠0CB=m20=T-0,又DC1BC,放∠DCE=6,则CE=DCcos0=2sin6eos0=sim20,故 2 2 0元.0元=1oC.|0币1·cos∠D0E=0C·0E=1x(1+sin20)=1+sin20,当0=T时，0元.0币=1+in20取到 4 最大值2 .3 15解：1)由na=子ae(受得ma=-na=于(2分) 4 3 又sin(mta)=-sina=亏(4分) 4 所以m(ma)m受())=子(7分) (2)cos(a+B)=B(0), 则a8e臣2(8分) 则m(a9=-个-o(ap=是(10分) 故cosB=cos(&+B-a) =cos(a+B)cos a+sin(a+B)sin a 刳 .(13分) 16.解：(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi. 代入z2=z得(a+bi)2=a-bi, 即a2-b2+2abi=a-bi,(2分) 高一数学第3页（共6页） [a2-b2=a, 由复数相等得{ (3分) 2ab=-b. 由z的实部大于0，即a>0,解得a=1,b=0,(5分) 此时z=1.(6分) 1-i1-i11 则w-1+1中1+1-)2221(7分) 11 -11 (2)由(1)知w=221,其共轭复数0=2+21(8分) 因为实系数二次方程的虚根成对出现，所以另一根为和， 由韦达定理+份剖分岁)1=，1分) 故p=-1,9=2(15分) 17.解：(1)由题意得(a2+b2-c2)simC=ab.(1分) 由余弦定理a2+b2-e2=2 abeos C, 代入得2 absin Ccos C=ah.(2分) 因为ab>0,所以sin2C=1.(4分) 又0<C<T,则0<2C<2m, 4(6分) 放2C=受，解得C= (2)由()知c=牙，则x)=n+日）+1. 则(x)=n+}-(9分) 由-要得4引- 故4=号，(2分) 又a=2,故c=a·simC 2x 2 22 sin A 3 .(15分) 2 18.(1)证明：在△PBC中，因为D,E分别为PB,PC的中点， 所以DE∥BC.(2分) 又DE￠平面ABC,BCC平面ABC,(4分) 所以DE平面ABC.(5分) 高一数学第4页（共6页） (2)解：由于D,E分别为PB,PC的中点， 1 故SABDE=4Same.(7分） 记A到平面PBC的距离为d, 则Vg袋ine=写·SaE·d=X 1 43 ·S△PBc·d=V三按维Pc,(9分) 4 3x22x23x2=43 11 地mc=V花e=气×)AB·BC·PA= ,(10分) 故Va版的体积为兮(I1分） (3)解：过点E作EH⊥AC,(12分) 因为PA⊥平面ABC,ACC平面ABC, 所以PA⊥AC,(13分) 又EH⊥AC,EH,PAC平面PAC,所以PA/∥EH,(14分) 所以EH⊥平面ABC,平面EHD⊥平面ABC,(15分) 故取F点与H重合时，平面DEF1平面C,此时气-1.(17分) D 19解：)当0=时ab=2x1×分）=-1，(1分) 3 =4r-21=-是(3分) 故当=时.u(o)P取最小值是 1 所以u(0lm=2,此时=4(5分) (2)F(t)=(ta+b)·(a+tb)=ta|2+2a·b+a·b+tb12 =41+2c0s0·2+2cos0+1=2c0s0·12+51+2c0s0.(6分) 这是关于1的二次函数，对二次系数分情况讨论： 当cos>0,即0<<T时，二次项系数2os>0,抛物线开口向上，F()在R上有最小值： 当cos0=0,即0=时，F()=5,无最小值； 高一数学第5页（共6页） 当cos<0,即T<0<m时，二次项系数2cos0<0,抛物线开口向下，F()无最小值. 因此，0的取值范围为(0,2 T ,(9分) 5 5 此时，最小值在顶点处取得，顶点横坐标o=2·2c0s日4os0 2 5】 2525 25 代人得m(0)2s04++2os9D -+2c0s0= +2c0s0. 4cos 0 8cos 0 4cos 0 8cos 0 故m(0)=2ms08g0e(0,}-(山分) 25 (3)la+b2=a|2+|b2+2a·b=4+1+4cos0=5+4cos6. 不等式m(0)≤Aa+b对任意0e0,引恒成立.即2cs0s≤A(5+4s0),eas0e(0,).(12分) 25 令x=cs0∈(0,1)，不等式化为2x8 5 ≤λ(5+4x). 25 2x- 8x 由于5+4>0，分离参数得入≥5+4 ,(13分) ,16x2-254x-515 /15 又8x(5+4x)8x28x 即入228x ,(14分) 28xte(0,1),h(x)单调递增 15 记h(x)= 1 因此对任意x∈(0,1)，有h(x)h(1)=g,(16分) 1 所以入的最小值为-8(17分) 高一数学第6页（共6页）