云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，以儿童近视调查（统计）、函数零点证明等真实情境与综合问题构建梯度化命题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、排列组合|基础概念与运算，如向量共线求参数| |多选|3/18|数列、双曲线、概率|多维度辨析，如条件概率与独立性| |填空|3/15|圆方程、函数恒成立、立体几何|空间想象与转化，如三棱锥重心分点| |解答|5/77|统计（独立性检验）、解三角形、立体几何、抛物线、导数|综合应用与探究，如用导数证明数列递增，体现数学思维与模型观念|

玉溪一中2025—2026学年下学期高二期末考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 .0)3 (-3,+∞) 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)列联表如下： 单位：人 是否近视 户外活动时 未近 合计 间 近视 视 不足2小时 35 10 45 超过2小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为H,:学生患近视与户外活动时间长短无关。 根据列联表中的数据，经计算得到X=10X35X3010*25≈10.747.879=X1s 45×55×60×40 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H,不成立，即认为学生患近视与户外活动 时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005， 数学试题评分参考第1页（共8页） (2)设事件A=“使用“物理+药物治疗方案并且治愈”，事件B1=“该近视同学每天户外 活动时间超过2小时”，B2=“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”， P(B)吾五PB)瓷五 P(AB广后P(AB,上号 则P(A=P(,P(a)rP()加(N广品名+五号-号所以近视学生使 53 用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为 2 16.(15分) 解：(1).(W3tanA-1)(V3tanB-1)=4,∴.3 tan A tan B-V3tanA-√3tanB+1=4, v3 tan A tan B-tan A-tan B=V3.tan A+tan B =-3, 1-tan A tan B an(A+B)片-5.tanC=3,:C∈(0，).C-号∴角C的值为 sintcos2A+co2) 2 号(sin2A-3s2A)厂sin(eA-君 :AABC为锐角三角形， 0A< 2 0<B=2I-A<C, Ae哈2 3 2 111 :in2A君)e(哈号.∴5nA-co时B的取值范图为（好号 (2)由题可知，C= 5若AB=V3 _b -C sin A sin B sinCa=2sinA,b=2sinB, △ABC中，由1。 数学试题评分参考第2页（共8页） △DBC中，BC BD sin∠CDB sin C .BD=AD=b-1'∠CDB=2A' in2 _b-1_2 (b-1) sin 3 (2sinB-1)cosA=/3 snB=n(A+号号snA+号。 (sin A+3cos A-1)cosA=3 sinAcosA+3coA-cosA= +2cos2 A=cosA, ·sin2A+号)片osA=sin(-A) A哈品 若A后但此时∠ABC-子amB不存在，与题设子肩： 若A=。(经检验适合题意)， 18 综上所述，A的值为。 17.(15分) 解：(I)取AC1的中点为S,连接SN,AS, 数学试题评分参考第3页（共8页） 因为AS=SCB,N=NC,故SN∥AB,SN-=ZAB, 由直三棱柱的性质可得AM∥A1B,AM=号A1B1,故SN∥AM,SN=AM, 故四边形SNMA为平行四边形，故AS∥NM, 而ASC平面ACCA,NMa平面A,CCA,故NM∥平面A1CCA B B M (2)因为∠ACB=90°，故AC⊥CB,故BC=V12-8=2,设AA1=a. 由直三棱柱可得CC,⊥平面ABC,故可建立如图所示的空间直角坐标系， C A B B M 则c0,00,A2V20,0,B0,20,A122,0,a,B10,2,a,C0,0a 故MW21,0,N0,1,a,且cA,=2V20,a),MN=(2,0,a)广 因为MN1A1C,故cA,MN=0即-4+a2=0:故a=2(a=-2舍) 故cA=22,02iN=(-2,02又cM=21,0 数学试题评分参考第4页（共8页） 设平面CMN的法向量为i=(X,y,Z),则ILMN n⊥CM 所以-2x+2z=0,取3 2x+y=0 n=(V2,-2,1)1 故A,C与平面CMN所成角的正弦指为CA十5 21 InHCAl V7x2V37 18.(17分) 解：(1)由抛物线的性质可得：卫=1， p=2 :抛物线的准线方程为x=-1 (2)设A(X,yA)B(xB,yC(Xeyc)重心G(XGye) 令yA=2tt0则X=t 由于直线AB过P,故直线AB的方程为X=。1) 2ty+1, 代入y=4x,得：y22-y-40. t 2.4,y是B(哈2)， 又x号(x+X+x.ya专W*y*y)小重心在x精上 2 ∴.2t-2+yc=0, t 数学试题评分参考第5页（共8页） c-2-rc220 :直线AC的方程为y-2t=2t(x-)得Q(t-1,0 Q在焦点p的右侧，.>2 .·S2 IFGrIyA 20-2+212t 3t 2t-t=2--2: S2 21 QGHycl1R-1-22+2h2-2-11 3t2 令m=t2-2,则m>0, S1=2-m 21 S2m2+4m+3 —≥2-1 m+34 1+3 m m34 m :当m=V3时，取得最小值为1+5.此时G2,0 S, 19.(17分) 解：(1)令f(x)=xe-1-a=0,即a=xex-1, 设g(x)=xe因为g'(x)=(x+1)ex-1, 所以当x∈(-∞，-1时，g'(x)0,g(x)单调递减： 当x∈(-1，+∞时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x0t,g(x)0.8(x)m-8-1:s0-0, 所以当。<a0时，(x)在(，0上有两个专点 数学试题评分参考第6页（共8页） 当a 。或a20时，f(x)有唯一零点： 当a<- e时，f(x)无零点. 证明：(2)中（知，当a≥0时·f(x)有唯-零点x。,则X,e1=n且x,>0 两边取自然对数，得xm-1+lnXn=lnn,① 所以xn*1-1+lnxn+1=ln(n+1),②， ②-，得x1X+lnx1lnX,=nn1>0, n 所以xn+1+lnXn+1>Xn+lnxm. 因为函数y=x+lnx在(0，+o∞)上单调递增， 所以xn+1>Xn,所以数列{xn}单调递增. (i)先证明：x>0时，X-1≥nx③ 设h(x)=x-1-Inx,则h'(x)=X-1 所以当x∈(0,1时，h(x)<0,h(x)单调递减； 当x∈(1，+∞时，h(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(1)=0,当且仅当x=1时，等号成立. 由③式知，lnn=xn+lnxn-1≥2nx, 所以0<x,svn<n+n+1 2 1>2 所以xn+n =2(Vn+1-n), 所以1>2I(n+1-n)+(Vn-Vn-1)++(v2-1=2(vn+1-1) ③式中，令x=义，得文-12nX1=lnX,-lnn,当且仅当x=n,即n=l时等号成立， n n 数学试题评分参考第7页（共8页） 所以0=x,+lnx,-lnn-1≤X,+X-2, n 2n11 所以x2n+1,X。2 一≤1+)，当且仅当n=1时等号成立. n 当n≥2时，在@式中，令x=1,得<hn-ln(m-0. n 所以n≥2时，L=1+21<1+-1+1 台xx台xk2一2k +号h2-h*hn-n-加：gnm 当n=1时，公1≤n+1+lnn成立. 台x2 所以2(n+1-1头≤+1+nn,得证. 11X,2 数学试题评分参考第8页（共8页） 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高二期末考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合，，则 A． B． C． D． 2． 已知，则的虚部为 A．4 B．3 C．2 D．1 3． 已知向量，，若，则 A． B． C． D． 4． 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 A．180 B．216 C．326 D．415 5． 如图所示，三棱柱中，若 、 分别为 ， 靠近点 的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么 A． B． C． D． 6． 已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 7．已知，，则的值为 A． B． C． D． 8． 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 已知满足，，则下列说法正确的是 A． B．是等差数列 C． D．设的前项和为，则 10．已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是 A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 11．某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是 A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概 率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若方程表示圆，则实数的取值范围是          ． 13．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ． 14．三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交，，于点，，，且，，，且，，，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的名学生，其中有名学生的户外活动时间超过小时名学生中近视的学生有人，这人中每天户外活动时间不足小时的有人． （1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关；         单位：人 户外活动时间 是否近视 合计 近视 未近视 不足小时 超过小时 合计 （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出名学生，利用“物理药物”治疗方案对该学生进行治疗已知“物理药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足小时的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率． 参考公式与数据：，其中． 16．（15分）在中，已知． （1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围 （2）若，线段的中垂线交边于点，且，求的值． 17．（15分）如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18．（17分）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积分别为，． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点的坐标． 19．本小题分已知函数． （1）若，讨论的零点的个数 （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： (ⅰ)数列是递增数列 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $