精品解析：云南大理白族自治州2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试卷

2025—2026学年高二年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C：，则（ ） A. B. C的焦点在x轴上 C. D. C的焦点在y轴上 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在所在平面内有一点，满足，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 8. 函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（ ） A. 焦点的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 10. 已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则是直角三角形 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若函数，，使得成立，则 D. 在处的切线方程为： 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 等比数列中，，，则________． 13. 甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________． 14. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，直角边，的三边围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．若，设，则区域Ⅲ面积的最小值为______；过点作于点，当面积最大时，则区域Ⅱ的面积______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了解关注“苏超”赛事与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表. 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取2人参加抽奖活动，记这2人中男性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：， 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 在数列中，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和． 17. 如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． （1）证明：平面； （2）求锐二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令． （i）当时，讨论函数在上的单调性； （ii）若在内存在唯一的极大值点，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆交于、两点． （1）若，求的周长； （2）若，，是否存在直线，使得在为直角三角形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由； （3）若存在，使得、中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆的离心率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入复数的除法计算公式求解. 【详解】. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 又，， . 故选项B正确. 3. 已知双曲线C：，则（ ） A. B. C的焦点在x轴上 C. D. C的焦点在y轴上 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得. 【详解】解：对于A，，最小正周期，不符合题意； 对于B，，最小正周期为，在区间上单调递增，不符合题意； 对于C，，函数的图象如下： 故不是周期函数，不符合题意； 对于D，，函数图象如下： 最小正周期为，在区间上单调递减，符合题意． 5. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案. 【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到. 由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB， 又，则， 三角形为等腰直角三角形，则， 又由题可得圆柱，圆锥的高均为2， 则圆柱，圆锥体积之和为：， 又注意到球体半径为，则球体体积为：， 则几何体体积为. 故选：A 6. 已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 7. 在所在平面内有一点，满足，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设AC中点为D，可得四边形为平行四边形，从而得到即可求解. 【详解】因为， 设AC中点为D，如图所示， 所以，， 因为、、、四点不共线，连接， ∴四边形为平行四边形， 所以 ∴. 8. 函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原题条件转换为函数与函数得图象有三个交点，故只需画图分析即可得解. 【详解】由已知得， 则， 所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称， 又， 进而有，所以函数是以4为周期的周期函数. 由有三个零点可知，函数与函数的图象有三个交点， 当直线与函数图象在上相切时， 由，即， 故方程有两个相等的实根. 由，解得， 当时，，作出函数与函数的图象如图： 由图知当直线与函数图象在上相切时，， 数形结合可得在上有三个零点时，实数满足， 再根据函数的周期为4， 可得所求的实数的范围为. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（ ） A. 焦点的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D.. 【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错； 点在抛物线上，，，则,,C对； 抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对， 故选：ACD. 10. 已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则是直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可计算可判断AB；利用正弦定理角化边计臬可判断C；取，，，可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，设的外接圆半径为，，可得，即，所以，C正确； 对于D，如在中，，，，符合，但该三角形不是直角三角形，D错误； 故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若函数，，使得成立，则 D. 在处的切线方程为： 【答案】ABD 【解析】 【分析】取对数即可判断A，由，求导即可判断B，整理，由，得，令，即，利用导数研究单调性求最大值即可求解，从而判断C， 根据导数的几何意义即可判断D． 【详解】由题意得：，故A正确； 又，所以，故B正确； 由，又， 所以，即，令， 由，使得成立，即， 所以，令，解得， 由，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，即，故C错误； ，所以，所以在处的切线方程为，故D正确． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 等比数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为. ∴ ，，， 则 ， ∵ ，， ∴ 代入得 ，解得，即， 将代入，得，解得， ∴ . 13. 甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】可先设出相关事件，再根据全概率公式求出第一次取出红球的概率，以及第一次取出红球且第二次取出白球的概率，最后根据条件概率公式计算所求概率. 【详解】设事件表示“第一次取出的球是红球”，事件表示“第二次取出的球是白球”，事件表示“取到的是甲袋子”，事件表示“取到的是乙袋子”， 易知，； 从甲袋子中第一次取出红球后，袋子里还剩3个白球和1个红球， 此时第二次取出白球的概率为，所以； 从乙袋子中第一次取出红球后，袋子里还剩4个白球和3个红球， 此时第二次取出白球的概率为，所以； 所以， ； 因此. 14. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，直角边，的三边围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．若，设，则区域Ⅲ面积的最小值为______；过点作于点，当面积最大时，则区域Ⅱ的面积______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意计算的面积，即得区域Ⅰ的面积；利用半圆的面积减去的面积，得出区域Ⅲ的面积，再求它的最小值；计算的面积，求出面积取最大值时对应的值，再计算区域Ⅱ的面积． 【详解】因为，， 所以，， 区域Ⅰ面积， 区域Ⅲ面积， 所以区域Ⅲ面积． 因为，所以当时，； 因为，，所以， ，， 所以， 设，，则，得，， 当时，，，为增函数． 当时，，，为减函数． 所以，当时，最大，面积最大， 此时，区域Ⅱ面积 ， ． 故答案为：，. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了解关注“苏超”赛事与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表. 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取2人参加抽奖活动，记这2人中男性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：， 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关 （2） 的分布列为 0 1 2 【解析】 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较求解， （2）根据超几何的概率公式求解概率，即可得分布列. 【小问1详解】 零假设：关注“苏超”赛事与性别无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关， 【小问2详解】 关注赛事的男女的比例为，故抽取的6个人中，男生抽取了4人，女生抽取了2人， 故可取0,1,2， , 故的分布列为 0 1 2 16. 在数列中，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）由，则 可得，又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）对原式同时除以，并结合等差数列的通项公式即可求证数列是等差数列. （2）的通项公式符合等差等比的形式，使用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以． ，① ，② ①②得， ， 所以． 17. 如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． （1）证明：平面； （2）求锐二面角的余弦值． 【答案】（1）连接，，，因为为正三角形且， 为的中点，所以，，又，， 所以，则， 又，，， 所以，所以，所以， 又，，平面，所以平面 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，，，利用勾股定理逆定理证明，再证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设锐二面角的平面角为，则， 所以锐二面角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令． （i）当时，讨论函数在上的单调性； （ii）若在内存在唯一的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）（i）在上单调递增；（ii）． 【解析】 【分析】（1）求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解； （2）(i)二次求导判断导数的最小值，进而判断原函数的单调性； （ii）与分类讨论，通过二次求导来证明极值点存在． 【小问1详解】 根据题意，，， ， ，，所以所求切线方程为． 【小问2详解】 （i）时，，， 设，则， 当时，，，所以； 当时，，，所以． 所以在单调递减，在单调递增． 所以当时，， 所以在上单调递增． （ii）由已知，，， ①当时，， 所以在上单调递增，不合题意． ②当时，设，则， 当时，，，所以； 当时，，，所以． 所以在单调递减，在单调递增． 因为，当，； 当，， 所以存在，，使． 当变化时，，情况如下： + 0 － 0 + ↗ ↘ ↗ 所以在上存在唯一的极大值点，符合题意． 综上所述，． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆交于、两点． （1）若，求的周长； （2）若，，是否存在直线，使得在为直角三角形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由； （3）若存在，使得、中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆的离心率的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，且直线的方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立可得与交点纵坐标有关韦达定理，再分及计算即可得解； （3）由椭圆的对称性，不妨设，则可得，设出直线方程，与椭圆方程联立可得与交点纵坐标有关韦达定理，则可结合列出含、、、有关等式，结合范围与椭圆离心率定义计算即可得解. 【小问1详解】 ， 由椭圆定义可得， 故的周长为； 【小问2详解】 若，，则，由，故，， 由题意可得斜率不为，设，、， 联立，消去可得， 则，， 若，由、， 则， 即 ， 解得，即； 若，由，， 则， 由，则， 故，无解， 故，结合椭圆对称性可得； 综上所述：存在直线，使得为直角三角形， 且直线的方程为，即； 【小问3详解】 由椭圆的对称性，不妨设， 则，即， 由题意可得、异号，故， 设，联立， 消去可得， 则，， 由，则，， 即，化简得， 即，由、，故， 即，即有，故，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $