2027届高考数学一轮复习----3第二节 等差数列

**基本信息** 该练习以“基础过关+素养提升”分层，基础覆盖等差数列核心考点，梯度从单一计算到综合应用，素养题深化逻辑推理与创新意识，适配一轮复习巩固与拔高需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|等差数列定义、基本量计算、性质（中项、等和性）、Sn公式及最值、充要条件判断|单选（1-6）基础计算，多选（7-8）性质综合，解答题（12-13）通项与Sn推导应用，强化运算能力与推理意识| |素养提升|性质综合应用、前n项积最值、数列与集合结合|题14-16需构造模型（如奇偶项和、集合元素分析），发展创新意识与数学建模能力|

微练(四十六)　等差数列 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5,Sn=64,则n=(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知在等差数列{an}中,a5=8,则log2(a2+a4+a5+a9)=(　　) A.6 B.16 C.5 D.32 3.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+=(　　) A. B. C. D. 4.已知等差数列{an}中,a1=9,a4=3,设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,则T21等于(　　) A.245 B.263 C.281 D.290 5.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且a1>0,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为(　　) A.S23 B.S24 C.S25 D.S26 6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则“Sn≥nan”是“{an}是递减数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题 7.(2026·泰安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S7=42,则下列说法正确的是(　　) A.a5=4 B.Sn=n2+n C.为递减数列 D.是公差为1的等差数列 8.已知等差数列{an}的首项a1>0,则下列选项中正确的是(　　) A.若a3+a7=4,则S9=18 B.若S15>0,S16<0,则> C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17 D.若a8=S10,则S9>0,S10<0 三、填空题 9.设Sn为等差数列的前n项和,S12=6a5,a9=-2,则a12=　　　　　.  10.一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列的公差为　　　　.  11.(2026·武汉模拟)已知在数列{an}中,a1,a11∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,为等差数列,S14=77,则S100=　　　　.  四、解答题 12.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)求使Sn>an成立的n的最小值. 13.(2026·自贡模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-nan=n(n-1). (1)证明:数列{an}为等差数列; (2)若=a5a11,求Sn的最大值. 素养提升 14.(2026·苏州模拟)在各项不为0的等差数列{an}中,+=+且S20≠0,则a9-a10+a11-a12=(　　) A.-4 B.-2 C.0 D.2 15.已知等差数列{an}的前n项积为Tn,a1+a9=,a1>0,a10>,则当Tn取得最小值时,n=　　　　.  16.已知数列{an}为等差数列,a1=-4,前n项和为Sn,满足:当n∈N*且n<9时,S1++…+=S1++…+. (1)求{an}的通项公式; (2)定义集合Mn={ai+aj|i,j∈N*且i,j≤n},记Mn的元素个数为bn,数列{bn}的前n项和为Tn,求T10. 微练(四十六)　等差数列 1.C　解析　因为d==2,Sn=na1+d=n+n(n-1)=64,解得n=8(负值舍去). 2.C　解析　因为a2+a4+a5+a9=2a3+2a7=2(a3+a7)=4a5=32,所以log2(a2+a4+a5+a9)=log232=log225=5. 3.C　解析　由等差数列的等和性可得,+=+======.故选C. 4.C　解析　在等差数列{an}中,由a1=9,a4=3,得公差d==-2,则an=a1+(n-1)d=-2n+11,显然当n≤5时,an>0,当n≥6时,an<0,所以T21=|a1|+|a2|+…+|a21|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+a21)=2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+a21)=2×-=281. 5.C　解析　设等差数列的公差为d,因为3a8=5a15,所以3a1+21d=5a1+70d,所以a1+d=0. 解法一:因为a1>0,所以d<0,所以a1+24d=a25>0,a1+25d=a26<0,所以数列{Sn}的最大项为S25.故选C. 解法二:因为Sn=(n2-50n),d<0,所以当n=25时,数列{Sn}有最大项,为S25.故选C. 6.B　解析　当等差数列{an}为常数列时,Sn=nan,满足Sn≥nan,但是{an}不是递减数列,故充分性不成立;当{an}是递减数列时,∀n∈N*,an+1<an,Sn-nan=-nan=,当n=1时,Sn-nan=0,当n≥2时,a1>an,Sn-nan>0,所以∀n∈N*,Sn≥nan,故必要性成立,则“Sn≥nan”是“{an}是递减数列”的必要不充分条件.故选B. 7.BC　解析　在等差数列{an}中,S7==7a4=42,解得a4=6,而a2=4,因此公差d==1,则an=a2+(n-2)d=n+2.则a5=7,A错误;Sn==n2+n,B正确;=1+,为递减数列,C正确;=n+,所以-=,的等差数列,D错误. 8.ACD　解析　对于A,因为a3+a7=4,所以S9====18,故A正确.对于B,因为S15===15a8>0,所以a8>0,因为S16==(a8+a9)×8<0,所以a8+a9<0,所以a9<0<a8,a9-a8<0,-=(a9+a8)(a9-a8)>0,所以<,故B错误.记等差数列{an}的公差为d,对于C,(a3+a4)-(a1+a2)=4d=9-5=4,则d=1,所以a7+a8=(a3+4d)+(a4+4d)=(a3+a4)+8d=9+8=17,故C正确.对于D,因为a8=S10,所以a1+7d=10a1+d=10a1+45d,所以9a1=-38d,则a1=-d>0,所以d<0,S9=9a1+d=-38d+36d=-2d>0,S10=a8=a1+7d=d<0,故D正确.故选ACD. 9.-8　解析　因为是等差数列,所以S12==6(a5+a8)=6a5+6a8=6a5,所以a8=0,又因为a9=-2,所以d=a9-a8=-2-0=-2,所以a12=a9+3d=-2+3×(-2)=-8. 10.3　解析　根据题意,设该等差数列为{an},公差为d,项数为2n,n∈N*,则S偶==nan+1=84,S奇==nan=51,两式相减得S偶-S奇=nan+1-nan=nd=33,因为a2n-a1=(2n-1)d=63,故=,解得n=11,d=3. 11.-3 750　解析　因为为等差数列,令其公差为m,则=+(n-1)m=a1+(n-1)m,即Sn=na1+n(n-1)m,Sn-1=(n-1)a1+(n-1)(n-2)m,n≥2,两式相减得an=a1+(n-1)·2m,当n=1时,a1=a1,满足通项公式,所以{an}为等差数列,公差为2m,设公差为d=2m,则有a1∈N*,a11=a1+10d∈N*,S14=14a1+d=77,所以d=,则a11=a1+10d=,a1=≥1,所以a11≤7,依次将a11=1,2,…,7代入可知,当且仅当a11=2时a1为整数,此时a1=12,d=-1,所以S100=100a1+d=100×12-=-3 750. 12.解　(1)设{an}的公差为d(d≠0),则所以an=-4+2(n-1)=2n-6. (2)Sn=-4n+·2=n2-5n.由Sn>an,得n2-5n>2n-6,所以n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,所以n>6或n<1,又n∈N*,故n的最小值为7. 13.解　(1)证明:数列{an}满足Sn-nan=n(n-1)　①,当n≥2时,有Sn-1-(n-1)an-1=(n-1)(n-2)　②,①-②可得,Sn-Sn-1-nan+(n-1)an-1=n(n-1)-(n-1)(n-2),即(1-n)an+(n-1)an-1=(n-1)[n-(n-2)],整理可得an-an-1=-1(n≥2),故数列{an}是以-1为公差的等差数列. (2)由(1)可知数列{an}是以-1为公差的等差数列,因为=a5a11,所以(a1-8)2=(a1-4)(a1-10),解得a1=12,所以an=13-n,所以{an}为递减数列,又当1≤n<13时,an>0,当n=13时,an=0,当n>13时,an<0,故当n=12或n=13时,Sn取得最大值,且(Sn)max=S12=S13=12×12+×(-1)=78. 14.C　解析　因为{an}为等差数列,且S20=≠0,则a1+a20=a12+a9=a10+a11≠0,设等差数列{an}的公差为d,又因为=,则a9a12=a10a11,可得(a10-d)(a11+d)=a10a11,即a10a11-d(a11-a10)-d2=a10a11,解得d=0,可知an+1=an,所以a9-a10+a11-a12=0+0=0. 15.7　解析　设等差数列{an}的公差为d,由a1+a9=2a5=,解得a5=,则a1=-4d>0,a10=+5d>,得<d<,则{an}是递增数列,且a7=+2d<1,a8=+3d>>1,因此当1≤n≤7时,0<an<1,当n≥8时,an>1,因此T7最小,故Tn取得最小值时,n=7. 16.解　(1)设{an}的公差为d,在S1++…+=S1++…+中,令n=5,得=0.所以=0,所以a1+a5=0,即2a1+4d=0,又a1=-4,所以d=2,所以an=2n-6. (2)记Cn={i+j|i,j∈N*且i,j≤n},由于ai+aj=2(i+j)-12,所以Mn的元素个数即为Cn的元素个数,而Cn={2,3,4,…,2n},共2n-1个元素,所以bn=2n-1,所以T10==100. 学科网（北京）股份有限公司 $