精品解析：天津市耀华中学2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷

天津市耀华中学2025-2026学年度第二学期期末学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（  ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 5. “”是“函数值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C. 设且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 8. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 9. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 11. 已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数在区间上有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上． 13. 的展开式中常数项为______． 14. 函数的值域为________. 15. 已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 16. 已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则的范围是______． 17. 天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 18. 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_______________． 三、解答题：本大题共3小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值. 20. 如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． （1）求证//平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 21. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求a的值； （2）若函数存在两个极值点； （i）求a的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2025-2026学年度第二学期期末学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数和指数函数的性质，即可求出交集结果. 【详解】由题知，， 且，则. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】. 故选：D 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，可排除B、D项，再由的函数值的分布，可判定选项A符合题意，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 则函数的图象关于 轴对称，可排除B、D项； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A. 故选：A. 4. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（  ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，，即可求解判断选项A；画出散点图即可判断选项B；根据公式求出回归方程即可判断选项C；结合选项C，将代入计算即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，故A正确； 对于B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，故B正确； 对于C，由，，，，所以，故C错误； 对于D，结合选项C，当时，，故D正确． 5. “”是“函数值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 6. 已知，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52 【答案】B 【解析】 【详解】由，得； 由​，得 ； 所以. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C. 设且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解选项A即可，利用残差图与回归方程的关系求解选项B即可，利用正态分布的定义求解选项C即可，利用独立性检验的定义求解选项D即可. 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 8. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 9. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 10. 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简分式并换元，确定换元后变量的取值范围，结合对勾函数的单调性即可求得最小值. 【详解】令， 当且仅当取等号，故， 原式变为， 因为函数，在上单调递增， 所以当时，y取最小值， 故的最小值为. 11. 已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数在区间上有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出的对称中心为，周期为，根据奇函数以及周期为可得，作出函数与图象，列举出交点横坐标结合第和第个交点横坐标即可求解. 【详解】因为，可得， 所以图象关于中心对称， 因为是定义在上的奇函数，所以即， 所以周期为， 若在区间上有个零点， 则与图象在区间上有个交点， 作与图象如图： 函数是定义域为的奇函数，所以， 所以， 由图知：与图象在区间上有个交点横坐标分别为： ，，，，，，，，，，，，， 第个交点横坐标为，所以实数的取值范围是， 故选：D. 12. 已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究单调性，图像可得答案. 【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则， 因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根， 即直线与图像有两个交点，，. 得在单调递增，在单调递减， ，，时，时， 据此可得大致图像如下，由图像得． 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上． 13. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 14. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 15. 已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和偶函数性质求出，结合对数函数恒过定点即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以， 所以函数恒过定点． 故答案为： 16. 已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性得到函数的单调性和奇偶性，再由得到，解不等式即可得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以，即，则关于对称， 因为在上为增函数，且时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， 由得，即， 则，解得或， 所以的取值范围为， 故答案为：. 17. 天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算可填第一空；根据超几何分布的期望公式计算可填第二空. 【详解】设事件：三人所选颜色互不相同；事件：三人所选单车中有粉色，， 每人从6种颜色中任选一种，总基本事件数：， 事件的对立事件：三人都不选粉色，每人有5种选择：， 则 ， 事件：所选单车包含粉色，且三人颜色互不相同， 需从余下5种颜色中选取2种，再对3种颜色进行全排列： ， 因此：，即三人所选颜色互不相同的概率为； 以上六种颜色中，暖色系共4种，冷色系共2种，从6种颜色中不放回选取3种， 该随机变量服从超几何分布，其中 ． 则． 18. 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，将问题转化为与、以及的交点问题，结合图象分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示，可知的值域为， 令，可得， 令，则， 若，可得，即， 令，解得或， 检验可知不合题意，所以； 若，可得，即， 若，解得； 令，解得； 由图可知： 1.若，与没有交点， 即方程无根，不合题意； 2.若，可知与有1个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程有2个根，符合题意； 3.若，可知与有2个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为，且至少有一个值小于， 可知方程和至少有3个根，不合题意； 4.若，可知与有1个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程有2个根，符合题意； 5.若，可知与有2个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程和有4个根，不合题意； 6.若，可知与有3个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程和和至少有3个根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 三、解答题：本大题共3小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 20. 如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． （1）求证//平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再通过向量夹角公式计算出平面夹角的余弦值； （3）在空间直角坐标系中，利用点到平面的距离公式直接计算点 B 到平面的距离. 【小问1详解】 取中点，连接，，由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有且，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面． 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为． 21. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求a的值； （2）若函数存在两个极值点； （i）求a的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，， 令，而， 当时，，时，， 故在上为增函数，在上为减函数， ，，时，， 故存在，，使得当时，， 时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， ，. 设，故， 当时，，故在上为增函数， 当时，，故在上为减函数， 故，故， 故当时，，而，故. 而，故，故. 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率与切点，利用切线过已知点列方程求解； （2）(i) 将极值点问题转化为关于的函数，分析该函数的单调性与值域得的范围； (ii) 确定的取值区间，结合的单调性证明绝对值不等式. 【小问1详解】 ， 由题意， 因此函数在处的切线为， 令有． 【小问2详解】 （i）等价于，即，令（）. ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，当或时，. 有两个极值点，即有两个不同解，故的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $