天津市南开中学2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

2026高二下南开中学期末 一、选择题（9小题，每小题5分，共45分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列说法中正确的是（ ） A．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 B．若随机变量，，则 C．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，说明模型的拟合效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与无关联” 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 5．设，，，则（ ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的个数是（ ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 9．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题5分，共30分） 10．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（ ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 12．已知函数，集合．若对任意，，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．已知复数，则等于__________． 14．展开式中的系数为__________． 15．若圆：与直线：相交于，，且，则实数的值为__________． 三、解答题（5大题，共75分） 16．某中学组织高二年级学生研学活动，需从上海、杭州、南京、哈尔滨、武汉、西安这6个城市中随机选择1个作为目的地。现从全年级抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个是杭州”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则__________． 17．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 18．已知（），若存在，，…，，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为__________． 19．已知函数，． （Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程； （Ⅱ）讨论的单调区间． 20．如图，三棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点满足． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值： （Ⅲ）求三棱锥的体积． 21．一个口袋装有除颜色外，形状、大小完全相同的6个白球，2个蓝球。 方案一：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则放回小盒并再往小盒里加入4个蓝球； 方案二：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则用白球替换该蓝球重新放回小盒中。 （Ⅰ）分别计算在两种方案下，抽两次球，第二次取到的球是蓝球的概率； （Ⅱ）在方案一的前提下，连续抽取3次，用表示取到蓝球的次数，求随机变量的分布列和期望； （Ⅲ）在方案二的前提下，求在第（）次抽球时，抽到的球恰好是第二个蓝球的概率（结果用表示）。 22．已知函数，． （Ⅰ）求函数的极值点； （Ⅱ）证明：对于区间内任意两个不相等的实数，，都有； （Ⅲ）函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点，记（其中表示，中的较小值），若（）在区间内有两个不相等的实数根，（），证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $