第十三章 三角形全章提优练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合应用”为梯度，通过考点突破、模型建构与思想渗透，系统强化三角形知识，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形概念、线段、内角等单一考点|通过辨析题（如三角形分类）、计算题（如三边关系）夯实基础，强化几何直观| |能力提升|中线面积转化、内外角模型（A字型、飞镖型等）|结合折叠、动态问题（如点移动形成三角形），培养空间观念与推理能力| |综合应用|方程思想、分类讨论等跨知识点综合|章末检测与专题（如角平分线夹角模型）融合，提升问题解决与数学表达能力|

第十三章 三角形全章提优练习汇总 13.1 三角形的概念 考点1 三角形的相关概念与表示方法 1. 如图,在△ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点,连接BE,AD,相交于点F. (1)图中共有多少个三角形?用符号表示这些三角形. (2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角. (3)以线段 AB 为边的三角形有哪些? (4)以∠C为内角的三角形有哪些? 考点2 三角形的分类 2.如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小关系分类，则两个“?”处应分别为 ( ) A.等边三角形 等腰直角三角形 B.等腰直角三角形 钝角三角形 C.等边三角形 钝角三角形 D.锐角三角形 等边三角形 3.如图,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则( ) A.△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B.△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C.△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形 易错点 数三角形的个数出错 4.如图,在△ABC中,A₁,A₂,A₃,…,Aₙ为边AC上不同的n个点,从B点首先连接BA₁，图中出现了 3个不同的三角形；再连接BA₂，图中便有 6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，图中共有 个不同的三角形.(n为正整数) 13.2与三角形有关的线段 考点1 三角形的三边关系(重点) 1.下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是 ( ) A.1,2,3 B.1, , C.2,2,4 D.2,3,6 2.已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：||a+b-c|-2|a-b-c|+|a+b+c|. 考点2 三角形的稳定性 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 . 考点3 三角形的中线、角平分线、高(重点) 4.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列结论中错误的是 ( ) A. BC=2CD C. ∠AFB=90° D. AE=CE 5.如图,△ABC的中线AD,BE相交于点 F. (1)图中与△ABE 面积相等的三角形有 个(不含△ABE); (2)若△ABF的面积是4cm²,则四边形 FDCE 的面积为 cm². 易错点 判断三角形的高易出错 6. 如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是 ( ) A.线段AD是AB边上的高 B.线段BE是AC边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高 能力诊断 1.如图,在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,BE为△ABC 的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3是 ( ) A.59° B.60° C.56° D.22° 2.如图，五根木条钉成一个框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条. 3.若某三角形的三边长分别为3，m-1，2m，则m的取值范围为 . 4.如图,P为△ABC内任意一点,求证:AB+AC>PB+PC. 5.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. (1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD的长为 . (2)如图②,在△ABC中,AB=4,BC=2,则△ABC 的高CD与AE的比是 . (3)如图③,在△ABC中,∠C=90°(∠A<∠ABC),点D,P分别在边AB,AC上,且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E,F.若BC=10,求DE+DF 的值. 专题1 三角形的三边关系 名师指导 三边关系 三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边 AB+AC>BC AC+BC>AB AB+BC>AC 分类训练 类型一 已知三边大小关系，判断是否能够组成三角形 1.把一根长12cm的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是 ( ) 2.以下列各组长度的线段为边，其中a>3，能组成三角形的是 ( ) A.2a+7,a+3,a+4 B.5a²,6a²,10a² C.3a,4a,a D. a-1,a-2,3a-3 类型二 已知两边，求第三边的取值范围 3.已知三角形三边长分别为2，3，x，则所有符合条件的整数x 的值为 类型三 已知一边或三边均未知，求未知数的取值范围 4.已知一个三角形的周长为36，一条边是另一条边长度的 2倍，则最小边m的取值范围是 ( ) A.4<m<8 B.5<m<8 C.6<m<9 D.7<m<9 类型四 等腰三角形的三边关系 .一个等腰三角形的周长为30cm.5. (1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； (2)已知其中一边的长为7 cm，求其他两边的长. 类型五 利用三边关系求最值 6. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,AB=10,D在AC边上运动(不与A,C重合),将△BCD沿BD折叠,点C 的对应点为E,则△ADE的周长的最小值为 . 专题2 三角形的面积转化 名师指导 AP,BO 是△ABC的中线 1.利用同(等)底或同(等)高，将面积关系进行转化： 2.利用中线的性质将面积进行等量代换： 针对训练 1.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作长方形 BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S₁,S₂,若要求出 的值，只需知道的条件是 A. △ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.长方形 BCDE的面积( ) 2.如图,在△ABC中,AD既是△ABC的高,也是△ABC 的中线,且AD=4,AC=5,BD=3,若点 P在边AC上移动,则BP 的最小值是 . 3.如图,在△ABC 中,E 是AC的中点,点 D 在BC上,且BD=2CD,AD与BE 交于点 F,若 则△ABC的面积为 . 4.如图,点 E是线段AC上一点,连接BE,且AB⊥BE,CE=2AE,过点C作BE的垂线,交 BE的延长线于D点，已知BE=1, (1)求 DE 的长度; (2)求△ABC的面积. 13.3三角形的内角与外角 考点1 三角形的内角 1.如图,已知直线l₁∥l₂,∠1=50°,∠2=80°,那么∠3的大小为 ( ) A.40° B.50° C. 60° D. 70° 2.如图,将△ABC的BC边对折,使点 B 与点 C 重合,DE 为折痕,若∠A=65°,∠ACD=25°,则∠B= . 考点2 直角三角形角的性质与判定 3.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,∠ABC=54°,则∠DAC的度数是 ( ) A. 54° B.36° C.26° D.46° 4.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( ) A.∠A=2∠B=3∠C B.∠C-∠A=∠B C.∠A:∠B:∠C=3∶4∶7 考点3 三角形的外角 5.如图，点D 在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是 ( ) A. ∠ACD B. ∠AEB C. ∠AEF D.∠CEF 6. 将一副三角板如图所示放置，则图中∠α的度数是 ( ) A. 15° B. 20° C.30° D.45° 易错点 分类讨论易缺少情况 7. 如图,在△ABC中,∠B=25°,∠C=40°,P是边 BC上一点,若△ABP 为直角三角形,则∠PAC 的度数为 . 能力诊断 1.如图,AD是△ABC的角平分线,点O在AD上,且OE⊥BC 于点E,∠BAC=60°,∠EOD=20°,则∠C的度数为 ( ) A.80° B.75° C.70° D.65° 2.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4,若∠α=70°,则∠β的度数是 ( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 对点专练P23 3.如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=140°,则图中∠D应 (填“增加”或“减少”) °. 4.在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,点 E 是射线AB上的动点(不与点D 重合)，过点E作EF∥BC交直线 CD于点 F，∠BEF 的平分线所在的直线与射线CD交于点 G. (1)如图,点 E 在线段AD上运动. ①若∠B=60°,∠ACB=40°,则∠EGC= °;. ②若∠A=90°,求∠EGC 的度数. (2)若点 E在射线 DB上运动，探究∠EGC与∠A 之间的数量关系. 专题3 导角模型(一)A字型 名师指导 基本图形： 结论： ∠1+∠2=∠B+∠C 针对训练 1. 如图,在△ABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,求∠1+∠2的度数. 2. 如图,P是四边形ABCD 的外角∠EBC与∠BCF 的平分线 BP与CP 的交点.设∠A+∠D=α.探索∠BPC与α的数量关系. 3. 如图,在△ABC中,E,H分别是AB,AC上的点,D,F是BC上的点,连接ED,FH,过点F作FG∥AB交AC 于点 G,且∠HFG+∠AED=180°. (1)求证:ED∥HF; (2)若∠AED+∠FDE=240°,∠B-∠C=10°,求∠AHF+∠EDB 的度数. 专题4 导角模型(二)8字型 (蝴蝶型) 名师指导 基本图形： 结论： ∠A+∠B=∠C+∠D 针对训练 1. 如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D 的度数是 ( ) A.55° B.35° C.25° D.20° 2.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为 . 3.如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”. (1)求证:∠A+∠C=∠B+∠D. (2)如图②,若∠CAB 和∠BDC的平分线AP和DP相交于点 P,且与CD,AB分别相交于点M,N. ①以线段AC 为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个； ②若∠B和∠C为任意角时，其他条件不变，试探究∠P与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系并证明； ③若角平分线中角的关系改为‘ 试探究∠P与∠B,∠C之间存在的数量关系，并说明理由. 专题5 导角模型 (三)飞镖型 (燕尾型) 名师指导 基本图形： 结论： ∠A+∠B+∠C=∠D 针对训练 1. 一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才是合格的 ( ) A.150° B.140° C. 130° D.120° 2.如图,在△ABC 中,点 D 在BA 的延长线上,点 E 在BC 边上,连接DE 交AC 于点 F,已知∠DFC=3∠B=123°,∠C=∠D,则∠BED 的度数为 ( ) A. 102° B.98° C.88° D.82° 3.将一副三角尺按如图所示放置,直角顶点重合于点 C,∠B=60°,∠E=45°,斜边AB⊥DE,垂足为 F,则∠ACD= . 4. 如图,CE平分∠ACD,交AB 于点E,若∠A=40°,∠B=30°,∠BDC=110°,则∠BEC 的度数为 . 5. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D= . 学科网（北京）股份有限公司 6. 如图①所示的图形由于形似燕子的尾巴，称为“燕尾图”，观察“燕尾图”回答下列问题： (1)试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系,并说明理由; (2)如图②,BE是∠ABD 的平分线,CF是∠ACD 的平分线,BE与CF 交于点G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A 的度数; (3)如图③,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点 G₁,G₂,…,G₉,若∠BDC=140°,∠BG₁C=77°,求∠A 的度数. 7.(1)如图①,∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,求∠F的度数;(2)如图②,∠EGC=105°,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F. 专题6 导角模型(四)风筝型 (伞型、折叠模型) 名师指导 基本图形： 变式： 结论:∠1+∠2=∠A+∠D 结论:∠2-∠1=∠A+∠D 分类训练 类型一 不压边 1.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上A'处,下列结论正确的是 ( ) A. ∠1+∠2=∠B+∠C B.∠1+∠2>∠B+∠C C.∠1+∠2<∠B+∠C D. 无法判断∠1+∠2与∠B+∠C 的大小关系 2.如图,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,且BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为 . 3.把四边形ABCD沿EF折叠，当点A，D分别落在四边形BCFE 内部点A'，D'的位置时，你能求出∠A'，∠D'，∠1与∠2之间的数量关系吗?并说明理由. 类型二 压一边 4. 如图,已知∠BAC=32°,点D,E分别在AB,AC边上,将△ADE沿DE折叠,点A落在∠BAC外部的点A'处，此时测得∠1=106°，则∠2的度数为 ( ) A.34° B.37° C.40° D.42° 5. 已知在△ABC中,∠A=65°,将∠B,∠C 按照如图所示折叠,若∠ADB'=35°,则∠1+∠2+∠3= °. 6.如图,有一特定的纸带,其边沿夹角为15°,现将该纸带沿BD翻折,∠GEA=30°,求∠EDB 的度数. 类型三 压两边 7.如图,把△ABC沿EF折叠,折叠后的图形如图所示,∠A=50°,则∠1+∠2的度数为 ( ) A.130° B. 120° C.110° D. 100° 8.如图,把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠,若∠1=70°,∠C=90°,则∠2的度数为 . 专题7 导角模型(五)余角模型 (双垂直模型)与补角模型 名师指导 模型 余角模型 补角模型 基本图形 变式 图形 条件 ∠BAC=∠ADC=90° ∠ACB=∠BED=90° ∠A+∠C=180° 结论 ∠B=∠2, ∠C=∠1 ∠1=∠2=∠B, ∠A=∠D ∠ABE=∠D 分类训练 类型一 余角模型 1. 如图,在△ABC中,两条高线CE,BD相交于点 G,M,N是边BC上两点,且AM,GN分别平分∠BAC,∠BGC,AM 交 CE 于点 F. (1)求证:∠BAC+∠BGC=180°; (2)求证:AM∥GN. 类型二 补角模型 2. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AE平分∠BAD交BC于点E,交DC的延长线于点 F,作∠ECF 的平分线交AB 的延长线于点 G. (1)求证:∠BAD=2∠BCG; (2)求证:CG⊥EF. 专题8 角平分线夹角模型(一)双内角平分线 名师指导 基本图形： 条件:BP平分内角∠ABC,CP平分内角∠ACB 结论： 针对训练 1. 如图,在△PBC中,BD,CA分别平分∠ABC和∠DCB,BD与AC相交于点O,连接AD. (1)已知∠OAD+∠ODA=60°,求∠P 的度数; (2)若∠BAC=α,∠CDB=β,∠BOC=γ,试探究α,β,γ三者之间的等量关系. 2. 如图①,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB 的平分线交于点D. (1)试说明 (2)过点D 任意作直线MN，分别交射线AB 和射线AC于点M 和N. ①如图②,当点M,N分别在边AB,AC上时,求∠MDB+∠NDC的度数(用含∠A的代数式表示). ②当点M，N中有一点在边AB或AC的延长线上时，∠MDB，∠NDC，∠A三者之间存在怎样的数量关系?说明你的理由. 专题9 角平分线夹角模型(二)双外角平分线 名师指导 基本图形： 条件:BP平分外角∠CBD,CP平分外角∠BCE 结论： 针对训练 1. (1)如图①,在△ABC中,BO平分外角∠CBP,CO平分外角∠BCQ,猜想∠O和∠A之间有什么数量关系?并证明你的结论. (2)如图②,在锐角△ABC中,BD和BE三等分外角∠PBC,CD和CE三等分外角∠QCB,请分别写出∠A 和∠D,∠A 和∠E 的数量关系并证明. 2. 如图①,△ABC的外角平分线BF,CF交于点 F. (1)若∠A=50°,求∠F的度数. (2)过点 F作直线MN,交射线AB,AC于点M,N,并将直线MN绕点 F 转动. ①如图②,当直线MN 与线段 BC没有交点时,若设∠MFB=α,∠NFC=β,试探索∠A与α,β之间满足的数量关系，并说明理由. ②当直线 MN 与线段BC有交点时，试问①中∠A 与α，β之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系. 专题10 角平分线夹角模型(三)内外角平分线 名师指导 基本图形： 条件:BP平分内角∠ABC,CP平分外角∠ACD 结论： 针对训练 1. 如图①,已知在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分线,BE是∠ABC的平分线. (1)求证:∠A=2∠E; (2)若∠A=∠ABC,求证:AB∥CE; (3)如图②,在△ABC中,∠A=θ,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁,得∠A₁,∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂,…,∠An₋₁BC和 的平分线交于点 An，求∠An. 2.已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O 重合. (1)如图①,AI平分∠BAO交OB于点I,BC平分∠ABM,BC的反向延长线交AI的延长线于点D.在点A，B的运动过程中，∠ADB 的大小是否会发生变化?若不变，求出∠ADB 的度数；若变化，请说明理由. (2)如图②,已知点 E在BA的延长线上,∠BAO 的平分线AI,∠OAE 的平分线AF 与∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点D，F.在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数. 专题11 角平分线夹角模型(四)角平分线与垂线 名师指导 基本图形 共点型 异点型 条件 AD 是高,AE是角平分线,∠B>∠C ∠ACB 是直角,高 CD 与角平分线AE相交于点 F 结论 ∠FEC=∠CFE 针对训练 1. (1)如图①,在△ABC中,∠B<∠C,AE⊥BC,AD是△ABC 的角平分线.试写出∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图②，若点 F在AD的延长线或反向延长线上，作FE⊥BC，其他条件不变，试写出∠F与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③,若把(1)中的“AE⊥BC”改为“CE⊥AD”,其他条件不变,试写出∠ECD 与∠B,∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论. 2. (1)如图①,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=80°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC 于点 F,E,求∠CFB的度数. (2)在(1)的条件下,若∠ACB=90°,如图②,求证:∠CFE=∠CEF. 第十三章 三角形 章末检测 一、选择题 1.从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条.若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为 ( ) A.2 B.2.5 C.3 D.6 2.如图,AD,CE都是△ABC的中线,连接ED,△ABC的面积是10cm²,则△BDE的面积是( ) A.1.25 cm² B.2cm² C.2.5 cm² D.5cm² 3.如图,在△ABC 中,∠BAC=36°,∠ACB=62°,BE平分∠ABC,点D 为BE 延长线上一点,且DF⊥AC于点 F,则∠BDF的度数为 ( ) A.8° B. 12° C.13° D.15° 4.如图,AC=6,BC=8,AB=10,点D 是平面内一点,且满足AD=2CD,则2BD+AD的最小值是 ( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空题 5.如图,在△ABC中,AD是边 BC上的中线,△ABD 的周长比△ADC的周长多3,AB与AC的和为13,则AB的长为 . 6.已知△ABC 中AE是角平分线,AD 是BC 边上的高线,∠EAD=30°,∠DAC=10°,则∠BAC 的度数为 . 对点专练 P18,P22 7.如图，一张三角形纸片ABC中，∠A=30°，点D 在边AC上，先将纸片沿BD折叠，点A 落在点A'处,A'B交AC于点E(如图①),再将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在折痕BD上的点C'处,此时∠C'EB=72°(如图②),则∠ABC的度数是 . 对点专练 P8,P21 三、解答题 8. 已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x. (1)直接写出c及x的取值范围. (2)若x是小于18的偶数. ①求c 的长;②判断△ABC 的形状. 9. 如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BE⊥AC于点 E,AD 与BE交于点 F. (1)求∠ABE 的度数; (2)若AD平分∠BAC,DG平分∠ADC,试说明DG∥BE. 10.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,△ABC的外角∠MBC与∠NCB 的平分线交于点 Q，延长线段 BP，QC 交于点 E. (1)若∠A=30°,求∠BPC 的度数; (2)探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明； (3)在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数. 专题12 数学思想(一)方程思想 当问题中线段或角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化. 1. 在△ABC中, 则△ABC是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2. 如图,△ABC中,点D 在边 BC上,若∠B=∠C=∠BAD,且∠CAD=∠CDA,则∠BAC 的度数是 . 3.一个等腰三角形的周长是30cm.若腰长是底边长的2倍，求各边的长. 4.在△ABC中,AB=AC,DB为△ABC的中线,且BD将△ABC周长分为12与15两部分,求三角形各边长. 5. 如图,在△ABC中,D是BC上一点,连接AD,∠CAD的平分线交BC于点E,∠BAE=∠BEA.(1)求证:∠BAD=∠C; (2)若∠C=55°,∠B=3∠DAE,求∠B的度数. 专题13 数学思想 (二)分类讨论思想 当图形的形状或位置不明确，可能出现不同情况时，需要根据可能出现的情况分类讨论求解. 针对训练 1. 已知非直角三角形ABC中,∠A=45°,高BD与高CE所在直线交于点H,则∠BHC的度数是 ( ) A.45° B.45°或135° C.45°或125° D. 135° 2. 如图,点 P 为△ABC 外一点(点 P 不在直线AB,BC,AC 上),连接PB,PC.若∠PBA=α,∠PCA=β,∠BAC=γ,对于①α+γ-β;②α-β-γ;③β-α-γ;④360°-α-β-γ,则∠BPC 的度数可能是 ( ) A.①④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 3.一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，则这个等腰三角形的腰长是 . 4.已知a,b,c分别为△ABC的三边长,并满足 .若b为奇数，则△ABC的周长为 . 5.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形为“开心三角形”. 例如:在△ABC中,如果∠A=70°,∠B=35°,△ABC为“开心三角形”. 问题:如图①,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,点D 是线段AB上一点(不与点A,B重合),连接 CD. (1)如图②,若CD⊥AB,则△ACD,△BCD是“开心三角形”吗? 为什么? (2)若△ACD 是“开心三角形”,直接写出∠ACD 的度数. 专题14 数学思想 (三)整体思想、转化思想 名师指导 当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求解. 转化思想，亦称化归思想，把一个未知的新问题转化为我们已知的旧问题，用已有的知识加以解决，化陌生为熟悉，化复杂为简单. 分类训练 类型一 整体思想 1.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,BC=6,点D 是边AB上一动点,作直线MN经过点C、点D,分别过点A,B作AF与MN垂直，BE与MN垂直，垂足分别为点 F，E.设线段 BE，AF 的长度分别为d₁,d₂,则( 的最大值为 . 2. (1)如图①,四边形ABCD的内角和为 . (2)用(1)中的结论解决问题:如图②,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E 的度数. 类型二 转化思想 3.如 图①所示，已知一个五角星ABCDE. (1)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数. (2)如图②所示,如果点B向下移动到AC上,求∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的度数. (3)如果点B继续向下，移到AC的另一侧，如图③所示，(2)中的结果还成立吗?如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值. 名师指导 在角或者图形的特殊到一般的问题中，往往由易到难，方法相通. 针对训练 1. 如图,△ABC中,∠ACB>∠ABC,点O是△ABC的内角平分线的交点,AO 的延长线交BC于点D,OE⊥BC 于点 E. (1)若∠BAC=90°. ①求∠BOC 的度数; ②如果∠DOE=15°,求∠EOC 的度数. (2)设∠OBC=α,∠OCB=β,求∠DOE(用α,β表示). 2.将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点 B,C. (1)如图①,若∠A=40°时,点 D 在△ABC 内,则∠ABC+∠ACB= °,∠DBC+∠DCB= °,∠ABD+∠ACD= °; (2)如图②,改变直角三角板 DEF 的位置,使点D在△ABC内,请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论； (3)如图③，改变直角三角板 DEF 的位置，使点 D 在△ABC 外，且在AB 边的左侧，直接写出∠ABD,∠ACD,∠A 三者之间存在的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 专题16 数学思想(五)参数思想(设参导角) 名师指导 参数，可以看作辅助元，不是设当前所求的问题，而是设其他的未知量，将其当作已知量参与运算.当题中角度关系复杂，但存在明确的角度关系时，可用参数表示这些相互关联的角，设而不求，间接地寻找未知量与已知量之间的关系，使过程更加简洁明了. 针对训练 1. 如图，在四边形ABCD 中，E，F 分别是两组对边延长线的交点，EG，FG分别平分∠BEC，∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°.求∠EGF 的大小. 2. 如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,过点O作PO⊥BO 交线段AC的延长线于点 P,若∠ACB-∠A=20°,求∠APO 的度数. 3. 如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,BO,CO 相交于点O,若CO在△ABC的外角∠ACM内,且∠ACO:∠OCM=1:3, 试探究：∠A 与∠ABC的数量关系. 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 名师指导 三角形的重心是指三角形三条中线的交点.如图，AD，BE，CF 是△ABC的中线，交点 G 即为△ABC的重心. 三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1(反过来也成立).如图，交点 G是△ABC的重心，则 数学中的重心与物理中的重心：若物体质量分布均匀，数学中的几何重心与物理重心完全重合.若物体质量分布不均匀，物理重心会偏离几何重心，此时需要实验法确定物理重心. 常见的规则图形的重心：①三角形的重心就是三边中线的交点；②平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点；③圆的重心就是圆心，球的重心就是球心. 不规则图形的重心：利用分割法，将不规则图形拆分为规则图形，分别计算每个规则图形的重心，再寻找整体的重心.如果几何图形是对称的，沿过重心的对称轴分割时，所得的两部分图形面积相等. 针对训练 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究. 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心.如图①，取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态. 【提出问题】探究图①中， 的值是多少? 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题. 【解决问题】 任务1:若△BOC 的面积为m,求△AOB 的面积. 任务2：在任务1的条件下，求 的值. 【拓展应用】 (1)如图②,在△ABC中,点O 是△ABC的重心.连接BO,CO并延长,分别交AC,AB 于点D,E.若BO⊥CO,BD=6,CE=9,求四边形AEOD 的面积. (2)已知△ABC的中线AD=6,BE=3,则△ABC 面积的最大值为 . 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 1. (1)8个 △ABF,△AEF,△ABE,△ABD,△ACD,△ABC,△BDF,△BCE (2)△BDF的三个顶点是点 B,点 D,点 F,三条边是线段BD,线段DF,线段BF,三个内角是∠FBD,∠FDB,∠BFD. (3)以线段AB为边的三角形有△ABF,△ABD,△ABE,△ABC. (4)以∠C为内角的三角形有△ACD,△BCE,△ACB. 2. C解析：将三角形按边的相等关系分类，可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，将三角形按角的大小关系分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，∴两个“?”处分别为等边三角形、钝角三角形.故选 C. 3. D 解析:因为 BC 边变大,∠A 也随着变大,∠ACB 在变小.所以此题的变化为△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形.故选 D. 解析：观察题图可知，从B 点首先连接BA₁，不同的三角形个数为1+2=3，再连接BA₂，不同的三角形个数为3+2+1=6，再连接BA₃，不同的三角形个数为4+3+2+1=10,…,∴连接到BAn时,不同的三角形个数为 13.2与三角形有关的线段 1. B 解析:A. 1+2=3,不能构成三角形,不符合题意;B. 1+ ，能构成三角形，符合题意；C.2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；D.2+3<6，不能构成三角形，不符合题意.故选 B. 2.∵三角形的三边长分别是a，b，c，∴必须满足两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,则a+b-c>0,a-b-c<0,a+b+c>0,∴|a+b-c|-2|a-b-c|+|a+b+c|=a+b-c+2a-2b-2c+a+b+c=4a-2c. 3.三角形具有稳定性 解析：三角形支架应用的数学知识是三角形具有稳定性. 4. D 解析:∵ AD,AE,AF分别是△ABC的中线、角平分线、高， ∠AFB=∠AFC=90°,故选项A,B,C正确,选项D错误. 5. (1)3 解析:∴AD,BE 分别是△ABC的中线,∴ BD=CD= 即 ∴ 与△ABE面积相等的三角形有3个(不含△ABE). (2)4 解析:如图,∵ AD 和 BE 是△ABC 的两条中线, 即 S₃ ①,S₂+S₄=S₁+S₃ ②,①-②,得 归纳总结 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分；通常使用三角形之间底或者高的关系，图形割补的方法实现面积的转化. 6. B 解析:∵AD⊥BC于点 D,∴△ABC中,AD是BC边上的高,故A不符合题意;∵BE⊥AC于点 E,∴线段 BE 是AC 边上的高,B选项符合题意;∵CF⊥AB 于点 F,∴ CF是AB边上的高，故C 选项不符合题意，D选项不符合题意.故选 B. 能力诊断 1. A 解析:∵BE 为△ABC的高,∴∠AEB=90°.∵∠C=70°,∠ABC=48°,∴ ∠CAB = 62°.∵ AD 是△ABC 的角平分线, 在△AEF中,∠EFA=180°-31°-90°=59°,∴∠3=∠EFA=59°,故选 A. 2.2解析：如图，从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条. 解析：根据三角形三边关系可得 解得 4. 如图,延长 BP 交AC 于点 D,在△ABD中,PB+PD<AB+AD ①,在△PCD 中,PC<PD+CD ②,由①+②,得 PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC<AB+AC,即AB+AC>PB+PC. 归纳总结 AB+AC>BD+CD AC+AB>BD+DE+CE AC+BD>AB+CD 2(AC+BD)>AB+BC+CD+AD 解析:∵ CD⊥AB, AB·CD, (2)1:2 解析: ∴2CD=AE,∴CD∶AE=1∶2.故答案为1∶2. 又∵BP=AP, 即DE+DF=BC=10. 专题1 三角形的三边关系 1. D解析：A.2+4=6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；B.3+3=6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；C.2+3<7，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；D.2+5>5，5+5>2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形.故选 D. 2. B 解析:当a>3时,根据三角形的三边关系,得 A. a+3+a+4=2a+7,不能组成三角形;] 能组成三角形;C. a+3a=4a,不能组成三角形;D. a-1+a-2=2a-3,3a-3-(2a-3)=a>3,2a-3<3a-3,不能组成三角形.故选 B. 3.2或3或4 解析:由题意知3-2<x<2+3,∴1<x<5,∴整数x的值为2或3或4. 4. C解析：已知一条边是另一条边长度的2倍，①这两条边不包含m时，设一条是x，另一条是2x，则三边是x，2x，m，但∵m<x，∴m+x<2x，不符合三边关系，所以这种情况不成立；②这两条边包含 m时，则另一条边长度为2m，第三边长为36-3m,依题意有m>0,36-3m>0, 5. (1)设底边长为x cm,则腰长为 2x cm,由题意得 x+2x+2x=30,解得x=6,所以2x=2×6=12.即各边的长为6cm, (2)若底边长为7 cm，则腰长为 若腰长为7cm,则底边长为30-7-7=16(cm)(舍去). 即底边长为7 cm,其他两边长为11.5cm. 易错提醒 等腰三角形分类讨论之后需验证是否满足三边关系. 6.8 解析:由折叠可知,DC=DE,BE=BC=8,在△AEB中,AE>AB-BE,当点 E 在 AB 上时,AE=AB-BE=10-8=2,即AE的最小值为2,∴ △ADE 的周长=AD+AE+DE=AD+DC+AE=AC+AE=6+AE,∴△ADE的周长的最小值为6+2=8. 公用形的面积转化 1. C 解析:如图,作AG⊥ED于点G,交BC于点F,连接EF,DF.已知四边形BCDE 是长方形,易得四边形 BFGE,FCDG也为长方形,FG=BE=CD,BF=EG,FC=GD,BE∥AG∥CD,∴根据等底等高的三角形面积相同得 (如图阴影部分)， ∴只需知道 就可求出 的值，故选 C. 一题多解 此题也可使用代数方法，根据三角形面积公式进行代数变换,同样作 AG⊥ED 于点 G,交 BC 于点 F,得四边形BFGE,FCDG 为长方形,∴ BC = ED,FG = BE = CD, ∴只需知道S△ABC,就可求出 的值. 2. 4.8 解析:∵ 在△ABC 中,AD 既是△ABC 的高,也是△ABC的中线,且AD=4,AC=5,BD=3,∴BC=2BD=6,当BPBP⊥AC, ∴5BP=4×6,∴BP=4.8,∴BP的最小值是4.8. 3. 15 解析:设△ABC 的面积为a,∵ E 是 AC 的中点, ∵ BD=2CD,∴BC=3CD,. 解得a=15,即△ABC 4.(1)连接AD,∵CE=2AE, ∵AB⊥BE,CD⊥BE,∴AB∥CD ∴DE=2BE=2. (2)由(1)可知, 即 一题多解 DE=2,∴CD=4, CD=2, ∴AB=2,∴ S△ABC= 13.3三角形的内角与外角 1. B 解析:如图,∵l₁∥l₂,∴∠4=∠2=80°.又∵∠1=50°,∴∠3=180°-∠4-∠1=50°,故选 B. 2. 45° 解析:由折叠的性质可得∠B=∠BCD.∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠A=65°,∠ACD=25°,∴ 65°+2∠B+25°=180°,∴∠B=45°. 3. A 解析:∵AB⊥AC,AD⊥BC,∴∠BAC=∠ADB=90°,∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠ABC=90°,∴ ∠CAD=∠ABC=54°.故选 A. 4. A 解析:A.∵∠A=2∠B=3∠C,. ∠C= ·∠A+∠B+∠C=180°,. 解得 ∴△ABC不是直角三角形,故符合题意. B.∵∠C-∠A=∠B,∴∠C=∠A+∠B.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,解得∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故不符合题意. C.∵∠A:∠B:∠C=3:4:7,∴设∠A=3x,∠B=4x,∠C=7x.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+7x=180°,解得 ∴∠C= ∴ △ABC 是直角三角形，故不符合题意. ,∴∠B=2∠A,∠C=3∠A.∵ ∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠A+2∠A+3∠A=180°,解得∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故不符合题意.故选 A. 5. C 解析:A.∠ACD 是△ABC的外角,不是△ABE 的外角,不符合题意;B.∠AEB 是△ABE 的内角,不是△ABE 的外角,不符合题意;C.∠AEF 是△ABE 的外角,符合题意;D.∠CEF是△EBC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意.故选 C. 6. A 解析:如图,由题意知∠A=30°,∠CBD=45°,由外角的性质可得∠α=∠1=∠CBD-∠A=45°-30°=15°. 7. 25°或50° 解析:当∠BAP=90°时,如图①,∵∠B=25°,∠C= 40°,∴ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 115°,∴ ∠PAC =∠BAC-∠BAP=25°; 当∠APB = 90°时,如图②,∴ ∠APC = 90°.∵ ∠C = 40°,∴∠PAC=180°-∠C-∠APC=50°.综上所述,∠PAC 的度数为25°或50°. 能力诊断 1. A 解析:∵ OE⊥BC,∴∠OED=90°.∵ ∠EOD =20°,∴∠ODE=90°-20°= 70°.∵ AD 是△ABC 的角平分线,∴ ∠C = 180°-∠ODE-∠CAD=180°-70°-30°=80°,故选 A 2. C 解析:如图,∵∠α=70°,∴∠2+∠3=180°-∠α=110°. ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠∠5=180°-2∠2,∠6=180°-2∠3, ∴∠5+∠6=360°.2(∠2+∠3)= 140°,∴ ∠β=180°-(∠5+∠6)=40°.故选 C. 3. 增加 20 解析:延长EF,交 CD 于点 G,如图,∵ ∠ACB=180°-50°-60°=70°,∴ ∠ECD=∠ACB=70°.∵ ∠DGF=∠DCE+∠E,∴ ∠DGF = 70°+30°= 100°. ∵ ∠EFD = 140°, ∠EFD =∠DGF+∠D,∴∠D=40°.而图中∠D=20°,∴∠D应增加20°.4. (1)①50 解析:∵ EF∥BC,∴ ∠B=∠FEB,∠EFD=∠BCD.∵ CF 是∠ACB 的平分线,EG 是∠FED 的平分线, ∠BCD = ∠ACD = 又∵ ∠EGC=∠FEG+∠EFG,∴ ∠EGC= ②由①得, (2)当点E 在线段 DB 上时,如图①,∵ EF∥BC,∴∠AEF= ∵ EH平分∠BEF,∴∠BEH= 当点E 在线段DB的延长线上时,如图②,由(1)得,∠EGD= 综上所述，∠EGC 与∠A 之间的数量关系为 或 专题3 导角模型 (一)A字型 1. 如图,∵ ∠1,∠2 是△CDE 的外角,∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,即∠1+∠2= ∠C + ( ∠C + ∠3 + ∠4) = 70°+180°=250°. 2. 如图,延长BA,CD交于Q,∵∠CBE=∠Q+∠QCB,∠BCF =∠Q+∠QBC,∴ ∠CBE+∠BCF=2∠Q+∠QCB+∠QBC=2∠Q+(180°-∠Q)= 180°+∠Q, ∴ ∠P = 180°-∠CBP- 同理,α=∠BAD+∠CDA=180°+∠Q,即∠Q=α-180°,∴ 3. (1) ∵ ∠HFG+∠AED = 180°,∠AED +∠BED = 180°, ∴∠HFG=∠BED.∵ AB∥FG,∴∠B=∠GFC.∵ ∠EDF=∠B+∠BED,∠HFC=∠HFG+∠GFC,∴∠EDF=∠HFC,∴ED∥HF.(2)∵ED∥HF,∴∠EDB=∠HFD,∴∠AHF+∠EDB=∠AHF+∠HFD.∵ ∠AED+∠FDE=240°,∴ ∠AED+∠FDE=2∠B+∠BDE+∠BED=2∠B+(180°-∠B)= 180°+∠B=240°,∴∠B=60°.∵ ∠B-∠C=10°,∴ ∠C=50°,同理,∠AHF+∠HFD=180°+∠C=230°,∴ ∠AHF+∠EDB=230°. 专题4 导角模型(二)8字型(蝴蝶型) 1. C 解析:记AD和BC的交点为O,在△AOB 与△COD中,∵∠A=∠C=90°,∠AOB=∠COD,∠B=25°,∴∠D=∠B=25°.故选 C. 2. 360°解析:如图,∠AKH = ∠A+∠B = ∠HGK+∠KHG,∠CGK = ∠C +∠D= ∠GKH+∠KHG,∠FHB = ∠E+∠F=∠HKG+∠KGH,∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 2(∠HGK+∠KHG+∠GKH)=2×180°=360°. 3. (1)在题图①中,有∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∵∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D. (2) ①3 4 解析:以线段 AC 为边的“8 字型”有ACMDP,ACODB 和 ACODN;以点 O 为交点的“8字型”有ACODB,ACODN,AMODN和AMODB. ②2∠P=∠C+∠B.证明:在分别以 M,N 为交点的“8 字型” ACMDP 和BDNPA中,有∠C+∠CAP=∠P+∠PDC,∠B+∠BDP=∠P+∠PAB,两式相加得∠C+∠B+∠CAP+∠BDP=2∠P+∠PDC+∠PAB,∵ AP 平分∠CAB,DP 平分∠BDC,∴∠CAP=∠PAB,∠BDP=∠PDC,∴2∠P=∠C+∠B. ③3∠P =∠B+2∠C.理由: ∠CDP = 以M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以 N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP.∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP= ∠CAB).∴2(∠C-∠P)=∠P-∠B,∴3∠P=∠B+2∠C. 专题5 导角模型(三)飞镖型(燕尾型) 1. B 2. B 解析:∵∠DFC=3∠B=123°,∴∠B=41°.∵ ∠DFC=∠DAF+∠D,∠DAF=∠B+∠C,∴ 123°=∠B+∠D+∠C.∵∠C=∠D,∴∠C=∠D=41°,∴ ∠DEC=∠B+∠D=82°,∴ ∠BED=180°-∠DEC=98°,故选 B. 3. 15° 解析:∵ ∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°.∵ DE⊥AB,∴ ∠AFM=90°,∴ ∠AMF=90°-∠A=60°,∴∠AMF=∠CME=60°.∵ ∠E=45°,∴ ∠MCE=180°-∠E-∠CME=75°.∵∠DCE=90°,∴∠ACD=∠DCE-∠MCE=15°. 4. 60° 解析:依题意设∠ACE=∠DCE=x,则∠ACD=2x,根据飞镖型结论,可得∠BDC=∠A+∠B+∠ACD, 所以 40°+30°+2x= 110°,x= 20°,同样根据飞镖型结论得∠BDC=∠BEC+∠B+∠DCE,所以∠BEC=110°-30°-20°=60°. 5. 204° 解析:连接AC,由飞镖型结论可得∠A+∠B+∠C+∠D=108°+96°=204°. 6. (1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由:如图,连接AD并延长AD至点 E,∵∠BDE=∠B+∠BAE,∠CDE = ∠C +∠CAD,∴ ∠BDC =∠BDE+∠CDE=∠B+∠BAE+∠C+∠CAD=∠BAC+∠B+∠C,即∠BDC=∠A+∠B+∠C. 一题多解 另解一:如图①,延长 BD 交AC 于点 E,∵ ∠DEC=∠A+∠B,∴∠BDC=∠DEC+∠C=∠A+∠B+∠C,即∠BDC=∠A+∠B+∠C. 另解二:如图②,连接BC,∵∠A+∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=180°,∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,∴ ∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∴∠BDC=∠A+∠B+∠C. (2)由(1)可得∠BGC=∠A+∠ABG+∠ACG,∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∵ BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,∴∠ABG= ∴ ∠BDC-∠BGC=∠GBD+∠GCD=∠ABG+∠ACG=140°-110°=30°,∴∠A=∠BGC-(∠ABG+∠ACG)= 110°-30°=80°. (3)由(1)可得 ∠A+∠ABD+∠ACD,∵ ∠BDC=140°,∠BG₁C=77°,设∠A= 解得x=70,∴∠A为70°. 7. (1)连接AD,AE,AF,分别延长AE,AF到点 M,N,如图所示.∵ ∠BEM 是△ABE的外角,∴ ∠BEM=∠BAE+∠B.同理可得出∠DEM=∠DAE + ∠ADE, ∠DFN = ∠DAF + ∠ADF,∠CFN = ∠CAF +∠C,∴ ∠BEM +∠DEM +∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C,即∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠EDF+∠C,∴72°+∠CFD=52°+25°+35°+30°,∴∠CFD=70°. (2)题图②可视为燕尾型EDCG和燕尾型ABGF 的组合，则有∠EGC=∠E+∠C+∠D,∠BGF=∠B+∠F+∠A,∴∠A+∠B+∠F=∠E+∠C+∠D=105°,∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=210°. 专题6 导角模型(四)风筝型 (伞型、折叠模型) 1. A 解析:∵ ∠BAC=60°,∴∠B+∠C=∠ADE+∠AED=180°-60°=120°.∵ 将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在 BC 边上A'处,∴ ∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED,∴ ∠A'DE+∠A'ED=∠ADE+∠AED= 120°,∴ ∠1+∠2=180°-(∠ADE+∠A'DE)+180°-(∠AED+∠A'ED)=360°-(∠A'DE+∠A'ED)-(∠ADE+∠AED)=360°-120°-120°=120°,∴∠1+∠2=∠B+∠C.故选 A. 学科网（北京）股份有限公司 2. 80° 解析:如图,连接AA',∵ BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,∴∠A'BC= 110°,∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-110°=70°, ∴ ∠ABC + ∠ACB = 140°,∴∠BAC=180°-140°=40°.∵ △ABC 沿 DE 折叠,∴∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A.∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA',∠2=∠EAA'+∠EA'A = 2∠EAA',∴ ∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×40°=80°. 理由：如图，补全三角形，延长 EA，FD 相交于点G,∠1 + ∠FEA′= ∠G + ∠GFE, ∠2 +∠EFD'=∠G+∠GEF,则∠1+∠FEA'+∠2+ 由折叠可得∠FEA'=∠GEF,∠EFD'=∠GFE,∴∠1+∠2=2∠G. ∵四边形ABCD沿EF折叠, ∠EAD + ∠FDA = ∠G + ∠GDA + ∠G + 4. D 解析:由折叠性质知,∠ADE = ∠A'DE,∠AED =∠A'ED,∵∠1=106°,∴∠ADE=∠A'DE= ×(180°-106°)=37°,∴∠A'ED=∠AED=180°-∠A-∠ADE=111°,∴∠DEC=180°-∠AED=69°,∴∠2=∠A'ED-∠DEC=42°.故选 D. 5. 265 解析:由折叠知:∠B=∠B',∠C=∠C'.令AB 与B'E的交点为 M.∵ ∠3=∠B+∠BME,∠BME =∠ADB'+∠B', ∠C'GC=360°-∠C-∠C'=360°-2∠C,∴ ∠1+∠2=360°-(∠C'FC+∠C'GC)=360°-(360°-2∠C)=2∠C.∴∠1+∠2+∠3=2∠C+2∠B+35°=2(∠C+∠B)+35°=2(180°-∠A)+ 6.如图，延长CD交AB的延长线于点M，由题意可知，∠M=15°,∵∠AEG=30°,∴∠DEB=30°,∴∠EDM=180°-∠DEB-∠M= 135°,由折叠可知,∠EDB = ∠MDB,∴ ∠EDB =135°÷2=67.5°. 7. D 解析:∵∠A=50°,∴∠AEF+∠AFE=180°-50°=130°,∴∠BEF+△CFE=360°-130°=230°.∵四边形B'EFC'由四边形 BEFC 翻折而成,∴∠B EF+∠C'FE =∠BEF+∠CFE =23 230°-130°-100°.故选D 8. 50° 解析: 把一张 Rt△ABC 纸片沿 DE 折叠, ∴∠CDE=∠C'DE.∵∠1=70°,∴∠CDE=180°-∠1=110°, ∴∠C'DA=40°.∵∠C'=∠C=90°,∴∠2=90°-40°=50°. 专题7 导角模型(五)余角模型 (双垂直模型)与补角模型 1. (1)∵BD,CE是△ABC的高线,∴∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠BGE = 90°,∴ ∠BAC = ∠BGE.∵ ∠BGC+∠BGE = 180°,∴ ∠BAC+∠BGC=180°. (2)设∠BAC=2x°,则∠MAC=x°,由(1)可知,∠BAC+∠BGC=180°,∴∠BGC=(180-2x)°,∴∠BGN=(90-x)°.∵ ∠BDA=90°,∴∠AHG=90°-∠MAC=(90-x)°,∴∠AHG=∠BGN, ∴AM∥GN. 2. (1)∵在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠D=90°,∴∠BAD+∠BCD= 180°.∵ ∠ECF+∠BCD= 180°,∴ ∠BAD =∠ECF.∵CG平分∠ECF,∴ ∠BAD=2∠BCG. (2)设CG交EF 于点H,由(1)可知,∠ECG=∠FCG=∠BAE=∠DAE,又∵∠AEB=∠CEF,∠ABC=90°,∴∠CEF+∠ECG=90°,∴∠CHE=90°,∴ CG⊥EF. 专题8 角平分线夹角模型 (一) 双内角平分线 1. (1)∵ ∠OAD+∠ODA =60°,∴ ∠BOC= ∠AOD = 180°-(∠OAD+∠ODA)=180°-60°=120°,∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-120°=60°.∵ BD 平分∠ABC,CA 平分∠DCB,∴∠ABC=2∠OBC,∠DCB=2∠OCB,∴ ∠ABC+∠DCB =2(∠OBC+∠OCB)= 120°,∴∠P=180°-(∠ABC+∠DCB)=180°-120°=60°. (2)∵ ∠BOC=∠BAC+∠ABD=∠CDB+∠ACD,∠BAC=α,∠CDB=β,∠BOC=γ,∴α+∠ABD=γ,β+∠ACD=γ.∵BD平分∠ABC,CA 平分∠DCB,∴ ∠OBC=∠ABD,∠OCB=∠ACD,∴α+∠OBC=γ ①,β+∠OCB=γ ②,①+②得α+β+∠OBC+∠OCB=2y.∵ ∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-γ,∴α+β+180°-γ=2γ,∴α+β+180°=3γ. 2. (1)∵ ∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点 D, ∴ ∠BDC = 180°- ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴ ∠BDC= (2)①由(1)得 ∵∠MDB+∠NDC=180°- ②2∠NDC-2∠MDB+∠A=180°或2∠MDB-2∠NDC+∠A=180°.理由:如图①,当点 M 在AB 的延长线上,点 N 在边 AC上时,∵∠MDB+∠MDC=∠BDC,∠MDC+∠NDC=180°, ∴ ∠MDB-∠NDC = ∠BDC-180°.∵ ∴2∠NDC-2∠MDB+∠A=180°. 如图②,当点 M 在边 AB 上,点 N 在 AC 的延长线上时,∵∠MDB+∠BDN=180°,∠BDN+∠NDC=∠BDC,∴∠MDB-∠NDC=180°-∠BDC.∵ ∴∠MDB- ∴2∠MDB-2∠NDC+∠A=180°.综上所述,2∠NDC-2∠MDB+∠A=180°或2∠MDB-2∠NDC+∠A=180°. 专题9 角平分线夹角模型 (二) 双外角平分线 证明:∵∠PBC=∠A+∠ACB,∠QCB=∠A+∠ABC,∴∠PBC+∠QCB=2∠A+∠ACB+∠ABC=2∠A+ ∵BO平分外角∠CBP,CO平分外角∠BCQ,∴ 证明:∵ BE 和 BD三等分外角∠PBC,CE 和 CD 三等分外角∠QCB,∴∠CBE= 同理， 综上，∠A 和∠D 的数量关系为 ∠A 和∠E 的数量关系为∠E = 120°- 2. (1)∵BF,CF分别是∠DBC和∠BCE的平分线,∴∠CBF= ∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∠CBF+∠BCF+∠F = 180°, ∴ ∠F = 180°- ∠A=50°,∴∠F=65°. 理由:由(1)可知∠BFC=90°- ∠MFB=α,∠NFC=β,∵ ∠BFC+∠MFB+∠NFC= ②不成立， 或 解析：如图①，当N在线段AC上，M在AB延长线上时，由(1)可知 ∠MFB=α,∠NFC=β,∵∠BFN+∠NFC=∠B数值 ∵∠BFN+∠MFB=180° 如图②，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由(1)可得， ∵ ∠BFC-∠MFB+∠NFC=180°,∴90°- 即 专题10 角平分线夹角模型 (三) 内外角平分线 1. (1)∵∠ACD 是△ABC 的一个外角,∠2 是△BCE的一个外角,∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E,∴∠A=∠ACD-∠ABC,∠E=∠2-∠1.∵ CE 是外角∠ACD 的平分线,BE 是∠ABC的平分线,∴ ∠ACD=2∠2,∠ABC=2∠1,∴ ∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠E. (2)由(1)可知∠A=2∠E,∵∠A=∠ABC,∠ABC=2∠ABE,∴2∠E=2∠ABE,即∠E=∠ABE,∴AB∥CE. (3)由(1)可得 以此类推， 2. (1)不变,设∠BAO=α,∵AI平分∠BAO 交OB 于点I,BC平分∠ABM,∴ ,∠MBA=∠BOA+α, ,∴ ∠ADB =∠CBA- ∵ ∠BOA =90°,∴ ∠ADB 的度数不变,∠ADB=45°. (2)∠ABO的度数为 60°或45°. 解析:∵ ∠BAO 的平分线为AI,∠OAE 的平分线为AF,∴ ∠DAF=90°.∵ OD 为∠BOP的平分线,∴∠AOF=∠DOP=45°.∵∠FAQ=∠FAE+∠EAQ>90°,∴ 由三角形外角关系可得∠AFD =∠FAQ-∠AOF,∴∠AFD>45°.∵ △ADF 中一个角的度数是另一个角的3倍,∴分两种情况讨论:①当∠DAF=3∠ADF 时,∠ADF=30°,∵OD为∠BOP 的平分线,∴ ∠DOA=135°,∴ ∠OAI= 15°,∴∠OAB=30°,∴∠ABO=90°-30°=60°. ②当∠AFD=3∠ADF时,∠ADF=22.5°,∵OD 为∠BOP 的平分线,∴∠DOA=135°,∴∠OAI=22.5°,∴∠OAB=45°,∴ ∠OBA=90°-45°=45°.综上,∠ABO的度数为60°或45°. 专题11 角平分线夹角模型(四)角平分线与垂线 证明如下:∵ ∠ADE 是△ABD的外角,∴∠ADE=∠B+∠BAD.∵ AE⊥BC,∴ ∠DAE=90°-∠ADE.又∵AD 平分∠BAC,∴ ∴ ∠DAE= 又∵ ∠BAC=180°-∠B-∠C,∴∠DAE= 证明如下：如图，作AG⊥BC,垂足为G,∵EF⊥BC,∴AG∥EF,∴∠F=∠DAG.由(1)可得 ∠E 同理， 证明如下:∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD= ∴ ∠EDC=∠B+∠BAD= ∵CE⊥AD,∴ ∠DEC=∠AEC=90°,∴ ∠EDC+∠ECD=∠ACE+∠DAC,. ∴∠B+∠ECD=∠ACE=∠ACB-∠ECD,∴2∠ECD=∠ACB-∠B, 2. (1)∵∠A=30°,∠ACB=80°,∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70°.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE =∠CBE=35°,∴∠CFB=∠FDB+∠ABE=125°. (2)如图,∵∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°.∵ CD⊥AB,∴∠2+∠4=90°.又∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴∠3=∠4.∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,即∠CFE=∠CEF. 第十三章 章 末 检 测 1. C解析：由题意可知，三根木条的长度分别为x米，x米，(10-2x)米,∵三根木条要组成三角形,∴x-x<10-2x<x+x,解得 故选 C. 2. C 解析:∵AD是△ABC的中线,△ABC 的面积是 10 cm²,∴△ABD的面积=△ABC的面积∵CE 是△ABC的中线,∴△BDE的面积=△ABD的面积 故选 C. 3. C 解析:∵ △ABC 中, ∠BAC = 36°, ∠ACB = 62°,∴∠ABC=180°-36°-62°=82°.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE= ∴ ∠CEB = 180°﹣41°﹣62°= 77°,∴∠DEF=77°,∴∠BDF=90°-77°=13°.故选 C. 4. C 解析:∵AD=2CD, ∴2BD+AD=2(BD+ ∴当B，C，D在同一直线上时，BD+CD有最小值,最小值为BC,BC=8,∴2BD+AD的最小值为2BC=2×8=16. 5. 8 解析:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=3,即AB-AC=3 ①.又AB+AC=13 ②,①+②,得2AB=16,解得AB=8. 6. 40°或 80° 解析:如图①,∠EAD = 30°,∠DAC= 10°,∴∠CAE=30°+10°=40°.∵AE 是角平分线, ∴ ∠BAC =2∠CAE=80°.如图②,∠EAD=30°,∠DAC=10°,∴ ∠CAE=30°-10°=20°.∵AE 是角平分线, ∴∠BAC=2∠CAE=40°.综上,∠BAC的度数为40°或80°. 7. 63° 解析:由题意可得,∠ABC' = ∠C'BE = ∠EBC = 设∠ABC=x,则∠ABC'= ∵三角形的内角和等于 180°，∴在△ABC中,∠A+∠ABC=180°-∠C,即: ∴在△BCE中,∠CEB+∠CBE=180°-∠C,即 解得x=63°. 8. (1)2<c<10.周长x的取值范围为12<x<20. (2)①因为周长为小于18的偶数,所以x=16或x=14. 当x=16时,c=6;当x=14时,c=4. ②当c=6时,b=c,△ABC为等腰三角形; 当c=4时,a=c,△ABC为等腰三角形. 综上，△ABC是等腰三角形. 9.(1)∵ ∠ABC+∠BAC+∠ACB = 180°,∴ ∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-40°=80°.∵AC⊥BE,∴ ∠AEB=90°,∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-80°=10°. (2)∵AD 平分∠BAC,∴ ∴ ∠ADC=∠ABC+∠BAD=60°+40°=100°. ∵DG平分∠ADC,. ∵∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-10°=50°,∴ ∠EBC=∠GDC.∴DG∥BE. 10. (1)∵ ∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∵ BP,CP 分别平分∠ABC,∠ACB,∴ ∠PBC= ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+ ∵ ∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,∴ ∠BPC = 180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°- ·∠A=30°,∴∠BPC=90°+ (2)∠BPC+∠Q=180°,证明如下:∵ BP 平分∠ABC,BQ平分∠MBC, ∴∠PBC+ 即 ∠MBC).∵ ∠ABC+∠MBC = 180°, ∴∠PBQ= 90°,同理,∠PCQ=90°,根据四边形的内角和等于 360°得,∠PBQ+∠PCQ+∠BPC+∠Q=360°,∴ ∠BPC+∠Q=180°. (3)由(1)可知, 由(2)可知,∠BPC+∠Q= 180 在△BQE 中,∠EBQ =90°, 如果存在一个内角等于另一个内角的3倍，有以下四种情况： ①当∠EBQ=3∠E时,则 ∴∠A=60°; ②当∠EBQ=3∠Q时,则 .∠A=120°; ③当∠Q=3∠E时,则 ∠A=45°; ④当∠E=3∠Q 时,则 ∴∠A=135°.综上所述,∠A的度数是60°或120°或45°或135°. 专题12 数学思想 (一)方程思想 1. B 解析:设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°. 由∠A+∠B+∠C=180°,得x+2x+3x=180,所以x=30,故∠C=30°×3=90°,∴△ABC是直角三角形.故选 B. 2. 108° 解析:设∠B=∠C=∠BAD=x,∵ ∠CDA是△ABD的外角,∴∠CDA=∠B+∠BAD=2x,∴∠CAD=∠CDA=2x. 在△ABC中,x+x+2x+x=180°,解得x=36°,∴∠BAC=x+2x=3×36°=108°. 3. 设底边长为 xcm,则腰长为2xcm,由题意得x+2x+2x=30,解得x=6,所以2x=2×6=12(cm).所以底边长为6cm,腰长为12 cm. 4.∵DB为△ABC的中线,∴AD=CD.设AD=CD=x,则AB=2x,当x+2x=12时,解得x=4,BC+x=15,解得BC=11,此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11;当x+2x=15时,BC+x=12,解得x=5,BC=7,此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7. 5. (1) ∵ AE 平分∠CAD,∴ ∠DAE = ∠CAE.∵ ∠AEB =∠CAE +∠C, ∠BAE = ∠BAD +∠DAE, ∠BAE = ∠AEB,∴∠BAD=∠C. (2)设∠DAE=x,∠B=3x,∵ ∠BAD=∠C=55°,∴∠BEA=∠BAE=55°+x.∵ ∠B+∠BEA+∠BAE=180°,∴3x+2(55°+x)=180°,解得x=14°,∴∠B=42°. 专题13 数学思想 (二)分类讨论思想 1. B 解析:①如图①,当△ABC 是锐角三角形时,∵ BD,CE是△ABC的高线,∴∠ADB=90°,∠BEC=90°.在△ABD 中,∵∠A=45°,∴ ∠ABD=90°-45°=45°,∴ ∠BHC =∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°; ②如图②,当△ABC是钝角三角形时,∵ BD,CE是△ABC的高线,∴ ∠A+∠ACE = 90°,∠BHC+∠HCD = 90°.∵ ∠ACE =∠HCD(对顶角相等),∴∠BHC=∠A=45°. 综上所述,∠BHC 的度数是135°或45°.故选 B. 2. D 解析:如图①,∠P+∠PDB+α=∠ADC+β+γ,∵∠PDB=∠ADC,∴∠P+α=β+γ,∴∠P=β+γ-α; 如图③,α+γ+∠ADB=∠P+β+∠PDC,∵∠ADB=∠PDC,∴α+γ=∠P+β,∴∠P=α+γ-β; 如图④,延长 CA 交 PB 于点 D,∵ ∠BDA 是△PCD 的外角,∴∠BDA=∠P+β.∵ ∠BAC 是△ABD 的外角,∴γ=α+∠BDA=α+β+∠P,∴∠P=γ-α-β; 如图⑤,延长CB,∵∠1是△BCP 的外角,∴∠1=∠4+∠BPC.同理,∠2=∠3+∠BAC,∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠BPC+∠BAC.又∵∠1+∠2=α,∠3+∠4=β,∠BAC=γ,∴α=β+γ+∠BPC,∴ ∠BPC=α-β-γ; 如图⑥,延长BC,∵∠3是△ABC的外角,∴∠3=∠1+∠BAC,同理,∠4=∠2+∠BPC,∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠BAC+∠BPC.∵∠1+∠2=α,∠3+∠4=β,∠BAC=γ,∴β=α+γ+∠BPC,∴∠BPC=β-α-γ. 综上判断，①②③④都正确.故选 D. 3.6或8 解析：∵等腰三角形的周长为20，∴ 当腰长为8时，底边长为4，∴当底边长为8时，腰长为 且6+6=12>8,故答案为6或8. 4. 10或12 解析:∵a,b,c分别为△ABC的三边长,并满足|a-4|+(c-3)²=0,|a-4|≥0, ∵a-c<b<a+c,∴1<b<7.又∵b为奇数,∴b的值可以为3或5,∴△ABC的周长=a+b+c=10或12. 5. (1)△ACD,△BCD是“开心三角形”.理由如下: ∵∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠B=30°.∵ CD⊥AB,∴∠ACD=30°,∠BCD = 60°.在△ACD 中,∵ ∠A = 60°,∠ACD = 30°,∴∠A=2∠ACD,∴ △ACD 为“开心三角形”.在△BCD 中,∵∠BCD=60°,∠B=30°,∴∠BCD=2∠B,∴△BCD为“开心三角形”. (2)∠ACD的度数为30°或40°或80°. 解析:若△ACD是“开心三角形”，由于点D 是线段AB上一点(不与点A，B重合)，则∠A=2∠ACD 或∠ACD=2∠ADC 或∠ADC=2∠ACD.当∠A=2∠ACD时, 当∠ACD=2∠ADC时,∠ACD=80°;当∠ADC=2∠ACD时,∠ACD=40°.综上,∠ACD的度数为30°或40°或80°. 专题14 数学思想 (三)整体思想、转化思想 1.10 解析：由题意可得， 即 化简可得 解得 则 取最大值时，CD 取最小值，由垂线段最短可得当CD⊥AB时，CD最小.由 CD,可得 的最大值为 2. (1)360°解析:如图,连接AC,则四边形 ABCD 被分割为△ABC 和△ACD,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,∠CAD+∠D+∠ACD= 180°,∴ ∠BAC+∠B+∠ACB+∠CAD+∠D+∠ACD=360°. 又∵ ∠BAC+∠CAD=∠BAD,∠ACB+∠ACD= ∠BCD,∴ ∠BAD +∠B+∠BCD+∠D=360°. (2)由四边形的内角和是 360°,可知∠C+∠CDA+∠DAB+∠B=360°,∵∠CDA+∠ADM=180°,∠DAB+∠DAN=180°,∴∠CDA+∠ADM+∠DAB+∠DAN = 360°,∴ ∠C+∠CDA+∠DAB+∠B =∠CDA+∠ADM+∠DAB+∠DAN,∴ ∠ADM+∠DAN=∠B+∠C=240°.∵AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠DAN,∠ADM 的平分线,∴ ∠EAD= ∴ ∠E=180°-(∠EDA+∠EAD)= 60°. 3. (1)∵ ∠BKF =∠C+∠E,∠BFK=∠A+∠D,又∵ ∠B+∠BFK+∠BKF=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. (2)∵∠A+∠C=∠DHG,∠EBD+∠E=∠DGH,又∵∠DGH+∠D+∠DHG=180°,∴∠A+∠C+∠EBD+∠E+∠D=180°. (3)结果还成立.理由:∵ ∠EBD+∠D=∠EIH,∠A+∠C=∠IHE,由三角形内角和定理可知∠EIH+∠IHE+∠E=180°,即∠EBD+∠D+∠A+∠C+∠E=180°,故结果还成立. 专题15 数学思想 (四)从特殊到一般思想 1. (1)①∵∠BAC=90°,∴ ∠ABC+∠ACB=90°.∵ BO 平分∠ABC,CO 平分 ∠ACB,. ∠OCB = ∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)= 135°. ②∵O 是△ABC 的三内角平分线的交点， ∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴ ∠BAC+∠ABC= 180°-∠ACB,∴∠BOD= ∵∠OEC=90°, ∴∠EOC= (2)由(1)知∠BOD=∠COE,∵∠OCB=β,∴∠COE=90°-β,∴∠DOE=180°-∠OBC-∠OCB-∠BOD-∠COE=180°-α-β-(90°-β)-(90°-β)=β-α,∴ ∠DOE=β-α. 2. (1)140 90 50 解析:在△ABC 中,∵ ∠A =40°,∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°.在△DBC 中,∵ ∠BDC=90° ∴ ∠ABD+∠ACD=H——/ / //\ 一)140°-90°=50°. (2)∠ABD+∠ACD与∠A 之间的数量关系为∠ABD+∠ACD=90°-∠A.证明如下:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.在△DBC中,∠DBC+∠DCB=90°,∴∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°,∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A. (3)∠ACD-∠ABD=90°-∠A. 解析:设AB 交 CD 于点 M,∵∠ACD+∠A+∠AMC=180°=∠ABD+∠D+∠BMD,∠AMC=∠BMD,∴ ∠ACD+∠A = 90°+∠ABD,∴ ∠ACD-∠ABD =90°-∠A. 专题16 数学思想 (五)参数思想 (设参导角) 1. 连接EF,设∠C=x,则∠DFC=180°-∠ADC-∠C=120°-x,∠CEB=180°-∠ABC-∠C= 100°-x.∵ EG,FG 分别平分 ∠BEC,∠DFC, ∠CEG= ∴ ∠EGF=180°-∠GFE-∠GEF=180°-(∠CFE-∠CFG)-(∠CEF-∠CEG)=(180°-∠CFE-∠CEF)+ 2. 记OP与BC的交点为 D,设∠A=x,则∠ACB=x+20°.在△ABC中,∠ABC=180°-∠A-∠ACB=160°-2x.∵ BO 平分∠ABC, ∵ PO⊥BO,∴∠BDO=90°-∠OBC=10°+x,∴ ∠CDP=∠BDO=10°+x,∴∠APO=∠ACB-∠CDP=x+20°-(x+10°)= 10°. 3.∵ ∠ACO : ∠OCM=1 : 3,设∠ACO =α,∠OCM = 3α,∴∠ACM=∠ACO+∠OCM=4α.∵ BO平分∠ABC,∴设∠ABO=∠CBO=β,则∠ABC = 2β. ∵ ∠OCM 是△OBC 的外角,∴∠OCM=∠BOC+∠CBO,即 ∵ ∠ACM 是△ABC的外角,∴∠ACM=∠A+∠ABC,即4α=∠A+2β,∴α= 整理得∠A=10β,∴∠A=5×2β=5∠ABC. 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 【解决问题】任务1:∵点O为△ABC的重心,∴D,E,F分别是BC,AB,AC 边上的中点, 任务 2：由题意可知 AOB 与△OBD同高， 即 【拓展应用】(1)点O 是△ABC的重心，类比任务1、任务2可知， ∵BD=6,CE=9,∴OD=2,OB=4,OE=3,OC=6.∵BO⊥CO, 则 (2)12 解析:如图,∵ △ABC 的中线AD=6,BE=3, F是△ABC的重心, BF= ∴ DF=6-4=2.作AH⊥BE于点H，则 ∵AH≤AF,∴当AH=AF=4时，S△ABF取得最大值为 的最大值为 2×2=2,∴ S△ABD的最大值为2+4=6,S△ABC的最大值为 2×6=12. 学科网（北京）股份有限公司 $