第十三章 三角形第3讲三角形中常用导角模型培优练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第3讲三角形中常用导角模型 板块一 七个基本导角模型 模型 应用 模型1：8字形 结论： ①∠A+∠B=∠C+∠D; ②∠A=∠C⇔∠B=∠D. 1.如图,求∠C+∠D+∠E-∠A-∠B 的度数. 模型2：A字形 结论： ①∠1+∠2=∠B+∠C; 2.如图,在△ABC 中,∠A=65°,直线 DE 交AB 于点 D,交 AC于点E,求∠BDE+∠CED 的度数. 模型3：风筝形 结论： ∠1+∠2=∠A+∠D. 3.如图, ,将∠A 沿EF 翻折得到 则图中 ∠2的度数为 . 模型4：燕尾形 结论： ∠A+∠B+∠C=∠D. 4.如图,CE 平分 交 AB 于点E, 20°,则∠D-∠BEC 的度数为 . 模型 应用 模型5：余角模型 结论： ①∠1=∠B, ②∠2=∠A. 结论： ①∠B=∠E, ②∠1=∠2=∠A. 5.如图,∠F=∠D=90°,AF∥BC.求证:∠DEF=∠BCD. 模型6：补角模型 条件:∠A+∠C=180°. 结论:∠1=∠B. 6.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,AE 平分∠DAB 交CD 于点E,交 BC 的延长线于点G. (1)求证:∠ECG=2∠DAE; (2)求证:∠CEG=∠G. 模型7：一线三等角模型 类型一 一线三垂直 类型二 同侧一线三等角 类型三 异侧一线三等角 条件:∠1=∠2=∠3. 结论:①∠CBE=∠D, ②∠ABD=∠E. 7.如图,P 是∠BAC 内一点,∠B=37°,∠C=25°,过点 P作直线 EF,分别交 AB,AC 于点 E,F.若∠BEP =∠BPC=∠PFC,求∠A 的度数. 8.如图,∠ABC 的平分线BE 交 AD 于点E,连接 CE,若∠A=∠D=∠BEC,求证:CE 平分∠BCD. 板块二五大双角平分线夹角模型(一)识模 模型 证明 模型1：三角形双内角平分线夹角模型 条件:BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB. 结论： 证明： 模型2：三角形双外角平分线夹角模型 条件:BP 平分∠DBC,CP 平分∠ECB. 结论： 证明： 模型3：三角形一内一外角平分线夹角模型 条件:BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACD. 结论： 证明： 模型 证明 模型4：8字形双角平分线夹角模型 条件:AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD. 结论： 证明： 模型5：燕尾形双角平分线夹角模型1 条件:BP 平分∠ABD,CP 平分∠ACD. 结论： 燕尾形双角平分线夹角模型2 条件:AP 平分∠BAC, DP 平分∠BDC(∠C>∠B). 结论： 证明： 证明： 板块三 五大双角平分线夹角模型(二)用模 典 例 精 讲 题型① 双内角平分线夹角问题 【例1】(1)如图1,在△ABC 中,∠A=60°,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点( 则∠BO₁C 的度数为 ; 的度数为 ； (2)如图2,在△ABC 中,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点( 若 ,求∠A 的度数. 题型② 内、外角平分线夹角问题 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴上的一点，点B 为y 轴上的一点，AD 平分∠BAx,BP 平分∠OBA,BP 与DA 的延长线交于点P,求 的度数. 题型③ 8字形双角平分线夹角问题 【例3】如图,AB 和CD 相交于点O, ,AP,DP 分别平分∠CAO 和∠BDC.若 ,则∠C 的度数是 . 题型④ 燕尾形双角平分线夹角问题 【例4】如图,BM 平分 交 CD 于点 E,DN 平分 若 求证：BM∥DN. B 题型⑤ 双外角平分线夹角模型 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴上的一点，点B 为y 轴上的一点，AC 平分∠BAx,BC平分∠ABy,求∠C 的度数. 实 战 演 练 1.如图,∠BAC=∠BDC=90°,PB 平分∠ABD,PC 平分∠ACD,求∠P 的度数. 2.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点P,过点 P 作直线MN,分别与AB,AC交于点M,N.若∠AMN=∠ANM,求证:∠BPC=∠BMN=∠CNM. 3.如图,E 为 BC 延长线上一点, 和 的平分线交于点 F.若 求∠F 的度数. 板块四高与角平分线夹角模型 模型 证明 类型1：高与角分线共顶点 条件:AD 是角平分线,AE 是高,∠C>∠B. 结论： 证明： 类型2：类型 1变式1 条件：AD 是角平分线，点P 在 AD 延长线上,PE⊥BC 于点E,∠C>∠B. 结论： 证明： 类型3：类型 1变式2 条件：AD 是角平分线，点P 在 BC 延长线上， 于点E,∠C>∠B. 结论： 证明： 类型4：高与角分线不共顶点 条件： ,角平分线 AD 与高CE交于点F. 结论： 证明： 板块一 七个基本导角模型 1.解:连接CE. 则可得∠FCE+∠FEC=∠A+∠B,∴∠FCD+∠D+∠DEF-∠A-∠B=∠DCE+∠D+∠DEC=180°. 2.解:∵∠BDE=∠AED+∠A, ∠CED=∠ADE+∠A, ∴∠BDE+∠CED=∠ADE+∠AED+2∠A=180°+∠A=180°+65°=245°. 3.140°解:由风筝模型知∠1+∠2=∠A+∠D=70°+70°=140°. 4.40°解:由模型知∠A+∠B+∠ACD=∠D, ∴∠ACD=∠D-∠A-∠B=60°-20°=40°, ∵CE平分∠ACD, 又∵∠BEC+∠B+∠ECD=∠D, ∴∠D-∠BEC=∠B+∠ECD=20°+20°=40°. 5.证明:延长FE,BC 交于点G. ∵∠F=∠D=90°,AF∥BC, ∴∠G=∠D=90°, ∴∠DEG=∠DCG, ∴∠DEF=∠BCD. 6.证明:(1)连接 BD.∵∠B=∠D=90°, ∴∠DAB+∠BCD=180°, ∴∠DCG=∠DAB, ∵AE平分∠DAB,∴∠DAB=2∠DAE, ∴∠ECG=2∠DAE; (2)∵∠B=∠D=90°, ∴∠DAE+∠AED=∠EAB+∠G=90°, ∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB, ∴∠AED=∠G,又∵∠AED=∠CEG,∴∠CEG=∠G. 7.解:∵∠BPF=∠BPC+∠CPF=∠B+∠BEP,∠BEP=∠BPC, ∴∠CPF=∠B=37°, 同理可得∠BPE=∠C=25°, ∴∠BPC=180°-∠BPC-∠CPF=180°-25°-37°=118°,易知∠BPC=∠A+∠B+∠C, ∴∠A=118°-25°-37°=56°. 8.证明:由∠A=∠BEC 可得∠CED=∠ABE,∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠CED=∠CBE, 又∵∠D=∠BEC, ∠CBE+∠BEC+∠BCE=∠CED+∠D+∠DCE=180°, ·∴∠BCE=∠DCE,∴CE 平分∠BCD. 板块二 五大双角平分线夹角模型(一)识模模型1 证明:∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, 模型2 证明:∵BP 平分∠DBC,CP 平分∠ECB, 模型3 证明:∵PB 平分∠ABC,PC平分∠ACD, ∴∠P =∠PCD-∠PBC 模型4 证明:∵AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD,∴可设∠PAB=∠PAD=x,∠PCB=∠PCD=y,设 PC与AD交于点E,则∠P+∠PAD=∠D+∠PCD=∠PED,即∠P+x=∠D+y①,同理可得∠P+y=∠B+x②,由①+②,得2∠P+x+y=∠B+∠D+x+y, 模型5 证明:∵BP 平分∠ABD,CP 平分∠ACD, ∴可设∠PBA=∠PBD=x,∠PCA=∠PCD=y. 延长BP 交AC 于点E, 则∠BPC =∠PEC +∠PCA =∠A +∠PBA +∠PCA, ∴∠BPC=∠A+x+y①, 同理可得∠D=∠PBD+∠PCD+∠BPC, 即∠D=∠BPC+x+y②, 由①-②,得∠BPC-∠D=∠A-∠BPC, 证明:∵AP 平分∠BAC,DP 平分∠BDC,∴可设∠PAB=∠PAC=x,∠PDB=∠PDC=y.设 PA 与CD 交于点E,则∠PEC=∠P+∠PDC=∠C+∠PAC,即∠P+y=∠C+x①,延长PD 交AB 于点F,可得∠PDB=∠B+∠PFB=∠B+∠P+∠PAB,即∠B+∠P+x=y②,由①+②,得2∠P+∠B+x+y=∠C+x+y, 板块三 五大双角平分线夹角模型(二)用模典例精讲 【例1】解: 同理可得 15°,BO₁,BO₂是∠ABC 的三等分线, ∵CO₁平分∠ACB,∴∠ACB=2∠BCO₁=80°, 【例2】解:BP 平分∠OBA,AD 平分∠BAx, 【例3】70°解:∵∠C=∠COA,∠BDC=∠BOD,∠AOC=∠BOD, ∴∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO, ∴∠B=∠CAO, 设∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO=x, ∠CAP=∠PAB=y,∠P=z,则∠B=2y, 则有 解得 ∴∠C=70°.故答案为70°. 【例4】证明:∵BM平分∠ABC,DN 平分∠ADC,∴∠ABM=∠CBM,∠ADN=∠CDN,设∠ABM=∠CBM=x,∠A=∠C=y. 易知∠ADC=∠A+∠C+∠ABC=2x+2y, ∵∠CEM=∠CBM+∠C=x+y, ∴∠CDN=∠CEM,∴BM∥DN. 【例5】解: 实战演练 1.解:设∠ABP=∠DBP=x,∠ACP=∠DCP=y,易证∠A+∠ABP=∠ACP+∠P, ①,同理y+90°=∠P+x② ,①+②得x+y+180°=2∠P+x+y,∴∠P=90°. 2.证明:∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,则可得 ∵∠AMN=∠ANM, ∴∠BPC=∠BMN=∠CNM. 3.解:∵BF平分∠ABC,CF平分∠DCE,∴∠ABF=∠CBF,∠DCF=∠ECF,设∠ABF=∠CBF=x, 易知∠ADC=∠A+∠ABC+∠BCD, ∴60°+∠ABC+∠BCD=150°,∴∠BCD=90°-2x, 板块四 高与角平分线夹角模型 类型1 证明:∵AD平分∠BAC, ∵AE⊥BC, 类型2 证明：同上可得 类型3 证明:同上可得∠P =90°-∠ADC 类型4 证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∵CE 为高,∴∠AEC=∠ACB=90°, ∴∠AFE+∠BAD=∠CAD+∠ADC=90°, ∴∠AFE=∠CDF, ∵∠CFD=∠AFE, ∴∠CDF=∠CFD. 学科网（北京）股份有限公司 $