北京十一学校2025-2026学年第四学段教与学质量诊断高二数学试题

北京十一学校2025~2026学年第四学段教与学质量诊断高二数学诊断试题（20260701） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将正确的答案直接填在答题卷对应题号后的横线上，其中排列与组合问题均用数字作答． 1．已知，，则（ ） A．空集 B． C． D．以上都不对 2．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式判断中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④； A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，设函数在上是增函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．设a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设函数，则使得成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：对，有且时有，若的最大值、最小值分别为M，N，则的值为（ ） A．0 B．4052 C．2026 D．-4052 8．日本政府不顾国际社会的普遍反对，不顾周边邻国人民的生活安全，悍然将福岛核污水排放大海，该核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量M（）随时间t（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A．20年 B．15年 C．12年 D．10年 9．若，则（ ） A． B． C． D． 10．在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得其中a，．这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线．则四个函数（），（），（），（）在坐标系内的图象，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是（ ） A．②③①④ B．③②④① C．②③④① D．③②①④ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案直接填在答题卡对应题号后的横线上，其中排列与组合问题均用数字作答． 11．已知集合，，若，则实数a值的集合为_________． 12．已知定义在上的函数满足是偶函数，且是奇函数，设，则_________． 13．已知正实数x，y满足，则当_________时，的最小值为_________． 14．已知函数，当时的单增区间是_________；若且，使得成立，则实数a的取值范围为_________． 15．一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率v（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足其中k为正整数，表示不超过u的最大整数；当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为124 ③该运动员第9分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：边上的中线；条件③：的周长为． 17．（本题满分13分）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取2个，求恰好有1个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，求抽取到1个精品果的概率；（结果用分数表示） （3）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考． 方案1：不分类卖出，售价为20元/； 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价（元/） 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？并说明理由． 18．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． （1）求证：E为的中点； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 19．（本题满分15分）如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． （1）求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； （2）试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． （3）已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 20．（本题满分15分）已知函数 （1）求的最小值 （2）若的解集为P，且，求实数a的取值范围 （3）对，求证： 21．（本题满分15分）已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P． 条件①：存在a，b，，使得； 条件②：对任意a，b，，且，都有． （Ⅰ）判断下列两个集合是否具有性质P；并简述理由． ， （Ⅱ）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （Ⅲ）是否存在具有性质P且为无限集的集合A？如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $