河北保定市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.C2.B3.A4.A5.B6.D7.D8.C 9.BC 10.ABC 11.BCD 12.513.1+14.92 3 16 15.解：(1)由频率分布直方图可知5X(0.07十x十0.04十0.02十0.01)=1，…2分 解得x=0.06,…4分 身高在170cm及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04+0.02)=60. 6分 (2)A组人数为100×5×0.06=30， 7分 B组人数为100X5×0.04=20,… 8分 C组人数为100×5×0.02=10，… …9分 由题意可知A组抽取人数为30×30十20+10-3,1 6 …10分 6 B组抽取人数为20×30十20+10一2，… …11分 6 C组抽取人数为10×30十20十10-1，… 12分 故A,B,C三个组分别抽取的学生人数为3,2,1.…13分 16.证明：(1)连接BC交CB于E,连接ED, 由ABC-AB,C为三棱柱，则BCCB为平行四边形，所以E是BC1中点，…2分 又D是AB的中点，故在△BAC中DE∥AC,… 4分 DEC平面CDB,AC平面CDB1,… 6分 所以AC∥平面CDB.… 7分 证明：(2)由BC⊥AC,BC⊥CC1,. …9分 而AC∩CC=C,AC,CCC平面ACC1A,… …10分 所以BC⊥平面ACCA, ……11分 又ACC平面ACCA,则BC⊥AC,由侧面AACC为菱形，故AC⊥AC,…13分 又BC∩AC=C,BC,A1CC平面ABC,… …14分 故AC⊥平面ABC. …15分 1n解：11)因为AC=合，BC=1,∠BAC=吾，AB号sm∠ABC号，所以∠ABC=吾， 6 ……2分 又BP⊥BC,所以∠ABP=S, …3分 【高一期末·数学参考答案第1页（共4页）】 BD 又BP=厅，所以5am=号AB·APsm∠ABP=×号X万×号-35 2 8 …5分 (I)PA=BM+BP-2BA·BPs∠ABP-￥+3-2X9X5X合-号， 7分 所以PA=3 8分 (2)因为∠APB=否，设∠ABC-0,则∠ABP=交-0，AB=cos0, 在△ABP中，由正弦定理可得sn∠APB-sin∠PAB' AB PB 3-1 即c0s0 …10分 2 sim(受-+吾) 所以msn(号-0）=后，即os sin(停-）-=os0(号s9叶2s血0)-(cos29+1)+n20-5 所以sm29+s20=2sn(20+吾）=-子，即sn(20+子)=- …12分 因为0∈(0，受），所以20+号∈（各梦）.20+号-2，所以0=x 14分 所以∠PAB=x一吾-（受-）-平 …15分 18.(1)证明：连接BE,因为E为AD中点， 所以ED=1,因为BC=1,所以ED∥BC,ED=BC, 所以四边形BCDE为平行四边形， 所以BE=CD=1,在△ABD中BE=号AD,所以ABLBD,…2分 M 又因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以PA⊥BD,… 4分 又AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BD⊥平面PAB,… 5分 又BDC平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.… …6分 (2)解：由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,所以CD⊥PD, 故∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，∠PDA=45,PA=AD=2,…7分 在Rt△PAB中，作AM⊥PB,垂足为M, 由(1)知，平面PBD⊥平面PAB,平面PBD∩平面PAB=PB,AMC平面PAB, 所以AM⊥平面PBD,…8分 【高一期末·数学参考答案第2页（共4页）】 BD 则直线PM为直线AP在平面PBD上的射影， 所以∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，… …9分 因为BC=AE=1,所以四边形ABCE为平行四边形，所以AB=CE=√2，…10分 在Rt△PAB中，AB=√2，PA=2,PB=6,… …11分 血∠AP8常-是-号 …12分 (3)解：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, 所以PA为三棱锥P-ABC底面ABC上的高， 又因为S=号X1X1=合，所以V=号×SewXPA=-号× 号×2= ……14分 在三棱锥C-PAB中，设C到平面PAB的距离为d, 因为SamB=合X2X√巨=E, 所以Vpw=子XS.pXd=-子XEXd 3 3 d.......... 16分 又因为Vr=Vepw,所以d=马 2 …17分 (利用向量进行证明或求解酌情给分) 19.1)解：当m=2时，0=号O成+元，0正=O成+号元， 1分 oP+0P=Oi+O元，1O元+Op+OP+O1=21O元+O, …2分 又△ABC为等边三角形，且边长为1，O为外接圆的圆心， 所以0B=号，10成+0衣-O亦+衣+20成.0 (停)'+（悟）°+2××9×(-)=言 3分 则1成+0心-，1心+0元+0P+O成-25. 3 4分 (2)解：(1)因为△ABC为等边三角形，O为外接圆的圆心，所以∠OAB=∠OAC=30°， 则(OA,A@)=150,(OA,A)=150°，…5分 又n=4,所以Q,Lk分别为AC,AB的5等分点，又AC=AB=1, 所以AQ,=5号，1ALt=夸： …6分 所以Oi.AQ+OA.AL-1OA1·1|AQ1cos150°+1OA1·|A1cos150 号x导x()+××()=品备 10 …8分 【高一期末·数学参考答案第3页（共4页）】 BD (i)因为op.Od=O元+Cp).(O元+CQ)=O心+O元.cp+O元.cd+CP.cd, 所以0成.0d-吉+停×5号os15+号×专ms150+5×ms60 青停×号×号-号××号+5号x号×分=-吉+， 33 23 50 …9分 同理可得：0d0-一日+5,0元0=名+， 50 50 ……10分 所以0时.0d+0d.0+O.0成=-名+5出i+》i++2 50 令S=-号+Ci+i+)Gi+ik+边=-号+5-广0i+5(Gj+)-达 50 50 …11分 1)当j+k≥5时，i=1时， 1+5+4G+k)-k=-1+5+(4-k)i+4k, 50 2 50 因为k≤4，所以=4时取最大值， 则Sx=一 1+5+4(4-)+4地 4 2 50 50- =4时，5=-+20+》-必= +20+(1-)i+k 50 2 50 因为>≥1，所以)=4时取最小值，则S=一令+20+4。》士_二验二 50 50 则当k=4时，Sm= 13 50 …13分 2)当j+k<5时， i=4时，Sx= 1+20+(i+)=ik=-1+20+(1一)i+k」 2 50 2 50 因为≥1，所以)=1时取最大值，则8=方+20士品+=贵一务： 2 2 50 =1时，5=一号+5+4结》-达=-+5+4-0i士丝 50 2 50 因为k≤4，所以j=1时取最小值，则Sn=一 +9+3k 2 50 则当=1时，8=一之+号=一品 …15分 综上所述：O前.0d+0d.0+O.0币的最大值为云，最小值为一品 …17分 【高一期末·数学参考答案第4页（共4页）】 BD高一数学 考生注意： 1本试卷分珐释题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫来黑色墨水签字笔将密封线内项日填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题逸出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的 答案标号涂黑：非逸择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.样本数据2,3,4,1,5的中位数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.复数i(1十iD的虚部是 A-1 B.1 C.-i D.i 3在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bc,若a=3c,sinC=号，则sinA- A号 B号 c品 n品 4.向量a=(6,2)在向量b=(2,-1)上的投影向量为 A(4,-2) R(1,-号) C(2,-1) D.(3,1) 5.在正方体ABCD-A:BCD中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD,所成角的余弦值为 A吾 B零 c号 n 6.在△ABC中，点D在线段AB上，AD=号AB,点E是线段CD的中点.设A店=a,AC-b,则正- A.-ja+ib Ra-20 C-ja- D.ja+3b 7.已知梯形AB0O按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形AB'CO,且AB=1,dA'-2,0C■4， 现将梯形ABQO绕QA旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为 A.8π B.15x C.18元 D.25元 【高一期末·数学第1页（共4页）】 BD 8已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,inB=bcos A十B,角C的角平分线交 2 AB于点D,则线段CD的最大值为 A资 B瓷 c n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是 A.若a>b,则a十2iDb十2i B.i+平+3+=0 C.(a2+4)i是纯虚数(a∈R) D.若x∈C,则2>0 10.已知一组样本数据，，w的方差产=品户白一2识，则 A.这组样本数据的平均数为2 B数据3十1,3xa十1，…，3x十1的方差为92 C若期4，…，xs的平均数为1，方差为10，xm,…,x0的平均数为3，方差为6，则1，，“，6动 的方差为9 D.现构造新的样本数据马十五，十，…，十丝，十五，则该组样本数据的方差大于原样本数 2 2 2 2 据的方差 11.已知正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为4，P,Q分别是棱BB:,DD上的点（不包括端点），且BP= DQ,则下列说法正确的是 A.正方体ABCD-A:B1CD1的外接球的表面积为192x B.若平面APQ与平面ABCD的交线为L,则PQ∥2 C若平面APQ与平面ABCD所成的二面角为0，△APQ的面积为S,则|cos0l-号 D,若BP■PB1,则平面APQ截正方体ABCD-A1BCD所得截面的面积为8√6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,1),b=(1,一1)，则1a一b|= 13.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为n,碗内放了三颗汤圆（视 为半径均为？的球)，三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤 圆的顶部与碗口齐平，则八一 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-2 aboos C=(b-c)2,b=sinB,则△ABC的 中线BD的最大值为 【高一期末·数学第2页（共4页）】 BD 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm),按照区间[160,165），[165,170)，[170,175)， [175,180),[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生 联率 0.07 人数； (2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记 0.0 0.02 为A,B,C三个组，按三组人数比例用分层随机抽样的方法从这0.01 160163170173180185身高/@ 三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C中，BC⊥AC,BC⊥CC1,点D是AB的中点. (1)求证：AC∥平面CDB1: (2)若侧面AA1CC为菱形，求证：AC⊥平面A1BC 17.(本小题满分15分) 如图，平面内四点A,B,C,P,满足∠BAC-,BC=1,BP⊥BC,∠ABP<2 (1)若AC-2,BP3, (1)求△ABP的面积： (I)求PA (②)若∠APB=吾，BP=,求∠PAB 【高一期末·数学第3页（共4页）】 BD 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,ADLDC,BC-CD-号AD-1,E为棱AD的中点，PA⊥平 面ABCD,二面角P-CD-A的大小为45. (1)求证：平面PAB⊥平面PBD: (②)求直线PA与平面PBD所成角的正弦值： (3)求点C到平面PAB的距离. 19.(本小题满分17分) 如图，已知O是边长为1的正△ABC的外心，P,P,…,P.为BC边上的n十1等分点，Q,Q,…,Q 为AC边上的m十1等分点，L1,La,…,L.为AB边上的n十1等分点 (1)当=2时，求O心+O丽+OP+O的值： (2)当n=4时. (I)求Oi.Ad+OA·A的值（用含j,k的式子表示）： (1)若M-(mlm-O丽.O可+O可，O+Oi4,O,1≤ij,k≤4，j,k∈N),求集合M中 最大元素与最小元素 0 Q 9 PP 【高一期末·数学第4页（共4页）】 BD