2027届高三数学一轮复习 第二十八讲 解三角形（四）

该高中数学导学案聚焦解三角形综合应用，整合仰角俯角、方位角等实际测量概念与平面四边形分割、线段分割、中点中线等图形问题，构建“概念-模型-应用”的层级知识网络。通过问题链引导学生自主归纳正余弦定理选择策略，形成解三角形问题的思维框架。 亮点在于诊断性题型与分层训练设计，开篇设置实际测量情境题诊断基础，平面四边形分割任务单培养数学思维的逻辑推理，真题演练强化数学语言表达。各题型配方法总结卡，助学生自主诊断薄弱点，教师可依学情精准指导，提升复习实效。

2027届高三数学一轮复习 第二十八讲 解三角形（四） 【学习目标】利用正余弦定理解决已知图形的三角形的问题及现实问题． 【学习重点】正余弦定理的综合应用． 【学习难点】正余弦定理的选择与应用． 必掌握知识点： （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 必考题型全归纳： 题型一、解三角形实际测量问题（仰角、俯角 、方位角、 坡角） 1（多选）．（河南省开封市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】由题意可知，，，，， 分别在，中，，， 所以， 又，， 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，，故A正确，B错误； 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，，又， 所以，故C正确、D错误.故选：AC 2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷带解析））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】 【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用． 3．（山东省临沂市兰山区2022-2023学年高一下学期期中数学试题）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高. 【答案】 【分析】利用正弦定理求得，解直角三角形求得. 【详解】， 由正弦定理得， 在直角三角形中，，. 题型二、平面四边形解三角形（分割两个三角形联立） 4．（浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）如图，四边形 ABCD中，∠ADC =120°，∠ACD=30°，∠BCD=90°，DC=，BC=2，则AB = A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中可得，从而求得，在中，由余弦定理求． 【详解】在中，，，， ， ， ． 在中，，，， ．故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．（湖北省武汉市部分市级示范校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.    (1)求的大小； (2)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在合题意 【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得的值，得的大小； （2）设，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理，， 因为，所以， 即，又因为，所以. （2）设，则，，， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 两式作商，得， 即，因为，所以，， ，， 假设，所以， 解得. 【点睛】方法点睛：设，由题目中角的条件，及，考虑在两个三角形中利用正弦定理建立关系式进行计算. 6．（江西省景德镇一中2020-2021学年高一下学期期末数学（理）试题）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，可求，结合范围，即可求得的值． （2）由已知利用余弦定理可得，由已知及（1）可知，利用三角形面积公式可求从而可求四边形面积,根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值． 【详解】（1）在中，∵，∴， ∴， ∴ 又∵，故，∴，即．又∵，∴． （2）在中，，∴． 又，由（1）可知，∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，∴， ∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为． 题型三、 单三角形内线段分割模型 7．（江苏省园三2020-2021学年高一下学期期中数学试题）如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题中条件，得到，，在中，利用正弦定理，列出等量关系，进而可求出. 【详解】因为，，所以，， 在中，，，则， 由正弦定理可得：，即， 所以.故选：C. 8．（湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）如图，在中，，点在边上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据余弦定理求，再判断的内角，并在和中，分别用正弦定理表示，建立方程求的值. 【详解】 ， ，又因为角是三角形的内角，所以， ，，， ，在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， ，解得：.故选：A 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型. 9．（湖北省黄冈市2022-2023学年高三上学期9月调研考试数学试题）在中，，D为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算长度，进而可判断三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解长度. 【详解】由以及余弦定理得,进而可得,所以为直角三角形，故,故选：A 题型四 、三角形的中点、中线问题 10．（浙江“七彩阳光”新高考研究联盟2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答． 【详解】作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2． 则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2． 又∵C1C2= 而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150° ∴==． ∴△ABC的周长的最小值为．故选B． 【点睛】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小． 11．（湖南省永州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）如图，设中角A，，所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，． (1)若，求； (2)点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值． 【答案】(1)60° (2) 【分析】（1）根据三角形得面积公式可求得边，再根据结合数量积得运算律即可得出答案； （2）分别将，用表示，再根据求得，设，，根据平面向量共线定理及推论将用表示，从而可求得，再根据分析运算从而可得出答案. 【详解】（1）由，，∵为的中点， ，， ，∴，又，所以； （2）由（1）可知：，， ∵，为的中点，∴， ，解得， 设，，则， 设， ，则，解得， 故， ， ，令， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量共线定理及推论和平面向量基本定理，考查了数量积的运算律，综合性较强，有一定的计算量，有一定的难度. 12．（上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期开学摸底数学试题）交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1，在中，点D为BC中点，“中线长定理”即.小明尝试对它进行证明，部分过程如下： 解：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 为证明的方便，不妨设，， ∴…… （1）请你完成小明剩余的证明过程； 理解运用： （2）①在中，点D为BC的中点，，，，则___________； ②如图3，的半径为6，点A在圆内，且，点B和点C在上，且，点E､F分别为AO，BC的中点，则EF的长为___________； 拓展延伸： （3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点O），以为直角顶点的的另两个顶点B，C都在上，D为BC的中点，求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3）10 【分析】（1）结合题意，利用勾股定理证明即可； （2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可求解； （3）连接，取的中点，连接，利用中线定理求出，再利用三边关系即可求解 【详解】（1）过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 为证明的方便，不妨设，， ∴ ； （2）①因为，所以，所以； ②如图3： 因为是的中线，是的中线，是的中线， 因为，， ，所以， 所以，所以（负根舍弃）； （3）如图4中，连接，取的中点，连接， 由（2）的②可知： ，所以，在中，，， 因为,所以AD长的最大值为10. 巩固提升： 1．（河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题）如图，在中，，，，为内一点，. (1)若，求； (2)求的取值范围； (3)若，求. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）通过解直角三角形可得，再利用余弦定理可求； （2）利用正弦定理结合三角变换可得，根据正弦函数的性质可求线段和的取值范围； （3）利用正弦定理结合三角变换公式可求的值. 【详解】（1）由已知，所以，故. 在中，由余弦定理得，故. （2）设，则. 根据题意知道，. 则. 由于，则，则， 则，则的取值范围. （3）设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. 2．（河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高三下学期2月月考（高考模拟卷（二））数学试题）如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦二倍角公式以及辅助角公式先求解角，再利用余弦定理求解结果； （2）设，由正弦定理可得，再结合余弦定理以及同角三角函数关系式求解结果. 【详解】（1）由可得 ， 又因为，所以可得， 即，可得； 又，所以可得，因此. 又，若，可得，可得； 又，所以,又， 由余弦定理可得，解得； （2）设，且，，则， 由可得， 在由正弦定理可得，即，可得， 利用余弦定理可得，解得； 所以可得， 又为锐角，所以； 可得． 3．（吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题）已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，求的面积； (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理将已知等式变形可得； （2）由向量的线性运算两边平方后结合正弦定理得到方程①，再由余弦定理和角度关系得到方程②，解方程求出，然后再由三角形的面积公式可得； （3）设，在中，由正弦定理得，再由中，由正弦定理得，利用二倍角的正弦公式，降幂公式，辅助角公式最后结合正弦函数的值域可得. 【详解】（1）由题意得 根据正弦定理可得：， 根据余弦定理可得：，即； （2）由知， 两边同时平方得， 即，化简得.① 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 而，， ，即，② 由①②得，由于，得，代入②得. 的面积为. （3）如图， 设，则， 在中，由正弦定理得可得，， 在中，由正弦定理得： ， 是锐角三角形，， ，当时，可得的最大值是. 4．（陕西省咸阳市2023届高考模拟理科数学试题）已知在中，角的对边分别是且满足：. (1)求角的大小; (2)设，以为直径做半圆（如图），是半圆弧上任意一点（除外），连接，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系，结合三角形内角和，即可得出角的大小； （2）利用几何性质即可得出四边形的面积的最大值. 【详解】（1）由题意， 在中，，∵, ∴即， ∵，∴，∴， 解得：或，∵，∴. （2）由题意，（1）及图得，， 要使四边形面积最大，只要使和中上的高最大， 在中， 作的外接圆， ∵，由几何知识得，当为等边三角形时面积最大， 此时，，， 在中，， ，当且仅当时等号成立， 由几何知识得，此时，， 为等腰直角三角形，且为斜边时，面积最大. ∴. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十八讲 解三角形（四） 【学习目标】利用正余弦定理解决已知图形的三角形的问题及现实问题． 【学习重点】正余弦定理的综合应用． 【学习难点】正余弦定理的选择与应用． 必掌握知识点： （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 必考题型全归纳： 题型一、解三角形实际测量问题（仰角、俯角 、方位角、 坡角） 1（多选）．（河南省开封市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷带解析））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 3．（山东省临沂市兰山区2022-2023学年高一下学期期中数学试题）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高. 题型二、平面四边形解三角形（分割两个三角形联立） 4．（浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）如图，四边形 ABCD中，∠ADC =120°，∠ACD=30°，∠BCD=90°，DC=，BC=2，则AB = A． B． C． D． 5．（湖北省武汉市部分市级示范校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.    (1)求的大小； (2)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6．（江西省景德镇一中2020-2021学年高一下学期期末数学（理）试题）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值. 题型三、 单三角形内线段分割模型 7．（江苏省园三2020-2021学年高一下学期期中数学试题）如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（    ） A． B． C． D． 8．（湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）如图，在中，，点在边上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（湖北省黄冈市2022-2023学年高三上学期9月调研考试数学试题）在中，，D为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四 、三角形的中点、中线问题 10．（浙江“七彩阳光”新高考研究联盟2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 11．（湖南省永州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）如图，设中角A，，所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，． (1)若，求； (2)点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值． 12．（上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期开学摸底数学试题）交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1，在中，点D为BC中点，“中线长定理”即.小明尝试对它进行证明，部分过程如下： 解：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 为证明的方便，不妨设，， ∴…… （1）请你完成小明剩余的证明过程； 理解运用： （2）①在中，点D为BC的中点，，，，则___________； ②如图3，的半径为6，点A在圆内，且，点B和点C在上，且，点E､F分别为AO，BC的中点，则EF的长为___________； 拓展延伸： （3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点O），以为直角顶点的的另两个顶点B，C都在上，D为BC的中点，求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值. 巩固提升： 1．（河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题）如图，在中，，，，为内一点，. (1)若，求； (2)求的取值范围； (3)若，求. 2．（河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高三下学期2月月考（高考模拟卷（二））数学试题）如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角． (1)若，求； (2)若，求． 3．（吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题）已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，求的面积； (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 4．（陕西省咸阳市2023届高考模拟理科数学试题）已知在中，角的对边分别是且满足：. (1)求角的大小; (2)设，以为直径做半圆（如图），是半圆弧上任意一点（除外），连接，求四边形的面积的最大值. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $