2027届高三数学一轮复习 第二十七讲 解三角形（三）

该高中数学高考复习学案系统梳理了解三角形中的最值问题核心考点，整合正余弦定理应用与五种解题方法，按角、边、面积等题型构建知识网络，通过问题链引导学生自主转化量与角边关系，形成函数求解思路，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于题型分层与方法指导结合，如题型一“已知一边对角求周长面积最值”设计阶梯式问题，培养数学思维与模型观念。巩固提高环节含真题演练与反思任务，学生可自主诊断薄弱点，教师通过题型分布精准指导，助力个性化复习与自主复习能力提升。

2027届高三数学一轮复习 第二十七讲 解三角形（三） 【学习目标】利用正余弦定理求解三角形中的最值问题． 【学习重点】正余弦定理的应用． 【学习难点】三角形中的最值问题的求解方法． 必掌握知识点： 1、在解三角形问题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题方法： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． （4）求其它表达式的最值或范围 必考题型全归纳 题型一 已知三角形的一边和其对角，求周长、面积的最值 1.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，求的最大值． 【分析】法一：余弦定理＋基本不等式． 法二：正弦定理＋辅助角公式． 解：方法一：由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， （当且仅当时取等号），的最大值为； 方法二：由正弦定理得：， ； ，，，， ，的最大值为. 2. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，求周长的取值范围． 【分析】 方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果； 方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果. 解：方法一：由余弦定理得：， 又（当且仅当时取等号），， 解得：（当且仅当时取等号）， 又，，周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理得：， ， ，，，， 即周长的取值范围为. 3．（内蒙古师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用正弦定理边角互化得出边之间的关系，再结合余弦定理求出角A，再用一次余弦定理结合不等式求解三角形面积最值. 【详解】由且. 即. 由正弦定理得：. 所以，故，所以. 则由余弦定理：. 所以，，当且仅当时等号成立. 所以..故选D. 【点睛】方法点睛：已知三角形中一角A及其对边a求三角面积最大值时，通常用如下的做法： 第一步：由余弦定理， 从而，当且仅当时等号成立. 第二步：. 题型二、三角形中角度，边长比值，其它表达式的范围问题 4．（江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性质量检测（3月月考）数学试题）在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列四个结论中正确的是（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】对A：借助正弦定理与两角差的正弦公式计算即可得；对B：借助锐角三角形及三角形内角的关系计算即可得；对C：借助正弦定理将边的比例化成正弦值的比例后借助角与角间的关系化简即可得；对D：借助三角函数间的关系与基本不等式计算即可得. 【详解】对A：由正弦定理可将式子化为， 又， 代入上式得，即， 因为，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以，故A错误； 对B：因为为锐角三角形，，所以， 由解得，故B错误； 对C：， 因为，所以，， 即的取值范围为，故C正确； 对D： ，当且仅当，即时取等号， 但因为，所以，，无法取到等号，故D错误. 故选：C. 5（多选）．（江苏扬州中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题）在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．使为锐角三角形的的整数值只有1 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，求得，可判定B错误；利用三角形三边的不等关系列不等式组，或由，得出不等式，求出的范围，可判定C正确；结合C得到在区间内的整数只有1和2，分类讨论，可判定D正确. 【详解】由题意知，在中，满足 对于A，由正弦定理知，可得， 因为，可得，可得，故A正确； 对于B，由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，由于，，则， 则由，得， 解得，则； 另解，由，可得，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于D，在区间内的整数只有1和2， 当时，由，此时为等边三角形，也是锐角三角形； 当时，可得，且， 则，此时，C为钝角，不符合题意， 故使为锐角三角形的的整数值只有1，故D正确． 6．（2018年（江苏卷））在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 题型三、正、余弦定理应用求角、求边长、求周长 7．（浙江省艮山中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答后面的问题：①；②；③的面积（注意：若多选作答，只按首选给分）求： (1)求C； (2)若的面积为，求a，b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选条件①：根据余弦定理求解即可；选条件②：根据正弦定理结合三角恒等变化化简即可；选条件③：根据三角形面积公式与余弦定理化简求解即可 （2）根面积公式与余弦定理可得，再根据余弦定理可得从而求解即可 【详解】（1）选条件①：由已知可得 ∴，∴由余弦定理可得，∵∴ 选条件②：由已知及正弦定理可得 ∴ ∴ ∵，∴，∴. 选条件③：由已知可得 ∵，∴∴， ∴由余弦定理可得，∴； （2）由，用余弦定理得到，， 的面积为，则， 则，联立，解得. 8（多选）．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角得到，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D. 【详解】由正弦定理及，得， 即，， 整理得，又，， 所以，故，，A错误； 由，得，又为锐角三角形， 所以解得，B正确； （当且仅当，即时取等号），C正确； 由，得，由正弦定理得：，即， 所以 . 又，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 9（多选）．（江苏省无锡市太湖高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合对勾函数的性质求解即可判断D项． 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即， 若，则，则，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以A取值范围为，故B项正确， 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以，， 令，则，所以，， 令，，由对勾函数性质知函数在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项错误；故选：ABC． 题型四、特殊线段模型：中线、角平分线、对角线、延长线段 10．（湖北省荆州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)在中，若边的中线，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）法一：由是中点，得，利用向量的数量积运算得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法二：由是中点，得，在和中利用余弦定理得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法三：由是中点，得，，上面两式平方做差得，进而得，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法四：在中，，，即，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解；法五：延长至，使，因为是的中点，即证，进而得，又，即，即，最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得，又，所以； （2）法一：因为是中点，所以，即 即，， ， 因为，所以，即， ，即（当且仅当） 所以，所以当时，最大值为. 法二：因为是中点，所以， 因为，所以，所以① 由，且，得，即② 把①代入②上式得： 下同方法1. 法三：因为是中点，所以，， 上面两式平方作差得：，所以， 因为，所以，即① 由，且，得，即② 把①代入②上式得： 下同方法1. 法四：在中，；在中，， 所以，即 下同方法2. 法五：如上图，延长至，使，因为是的中点， 所以，又，所以，则，且， 所以，，因为，所以，又， 所以，即， 下同方法1 11．（浙江省绍兴一中2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）若，，求的外接圆的面积； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理得出，进而得出的值，最后由正弦定理得出的外接圆的半径，即可得出的外接圆的面积； （2）根据正弦定理以及三角恒等变换得出，结合正弦函数的性质，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可知 ，即 ， 由余弦定理可知 设的外接圆的半径为 由正弦定理可知，即 即的外接圆的面积 （2）由（1）可知，且为锐角三角形，则 设的外接圆的半径为 ，，即 则由正弦定理可得 ， 12．（四川省成都市成华区2024-2025学年高一下学期期末学业水平监测数学试题）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求B的值； (2)若b=2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可. （2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以． （2）在锐角中，，记的面积为． 由正弦定理得，即． 所以 ． 因为在锐角中，，所以，， 解得，则，所以， 所以，所以面积的． 巩固提高： 1．（山东省青岛市海尔学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解； （2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解； （3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以，可得. （2）解：由（1）知，可得, 因为为锐角，所以，解得， 则， 因为，可得，所以， 所以的取值范围为. （3）解：因为为圆直径，所以且 设，可得，， 设圆的半径为，在中，可得， 在中，可得， 所以，即，可得， 又因为，解得， 所以， 又由， 所以， 四边形的面积为 . 2．（山西省怀仁市第一中学校云东校区2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题）记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式以及两角和的余弦公式求解； （2）利用正弦定理以及基本不等式求解. 【详解】（1）因为， 即， 所以； （2）由（1）知，，所以，所以，则， 而， 所以，即有, 所以 , 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 3．（广东省广州开元中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）记的内角的对边分别为，，， (1)已知， （i）若，求； （ii）求的最小值； (2)已知点D在边AC上且，，，求． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可得结果； （ii）由（i）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． （2）两次应用余弦定理，求得边的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）（i）因为， 可得， 且，所以． （ii）由（i）知，，所以， 而， 所以，即有，所以， 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． （2）因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． 4．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为，求BC边上中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式结合恒等变换，再结合余弦定理求解； （2）利用面积公式，结合（1）中角，由余弦定理，解三角形求边上中线的长. 【详解】（1）由题设得 于是故 由正弦定理得 又， 故. （2）由（1）知， 所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即， ， 设BC边上中线的长为，则有 . . 5．（云南省昆明市第一中学2023届高三第八次考前适应性训练数学试题）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. (1)若，求角C的大小； (2)若，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式化简得，再根据的范围即可得到答案； （2）通过正弦定理边化角得，再利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，而，所以. （2）由（1）得：，所以，， 因为， 因为， 所以，所以， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当时取等号，所以的最大值为， 所以，所以实数m的最小值为. 6．（湖北省部分名校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求证：； (2)若，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理以及三角恒等变换运算求解； （2）根据题意利用余弦定理结合（1）中结果分析可得，再对利用正弦定理以及三角恒等变换运算整理得，结合二次函数分析运算. 【详解】（1）因为， 因为，则，即， 可得， 若，则，可得， 即，则，可得，不符合题意； 若，则，可得， 又因为，则，所以，即； 综上所述：，. 对，由正弦定理可得， 整理得得：，则， 又因为，，则，， 所以，即. （2）因为，可得，可得， 又因为，由余弦定理可得， 所以， 由正弦定理可得 ， 因为，令， 对于在上单调递增，且， 所以，故的范围为. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十七讲 解三角形（三） 【学习目标】利用正余弦定理求解三角形中的最值问题． 【学习重点】正余弦定理的应用． 【学习难点】三角形中的最值问题的求解方法． 必掌握知识点： 1、在解三角形问题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题方法： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． （4）求其它表达式的最值或范围 必考题型全归纳 题型一 已知三角形的一边和其对角，求周长、面积的最值 1.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，求的最大值． 2. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，求周长的取值范围． 3．（内蒙古师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二、三角形中角度，边长比值，其它表达式的范围问题 4．（江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性质量检测（3月月考）数学试题）在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列四个结论中正确的是（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最小值为 5（多选）．（江苏扬州中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题）在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．使为锐角三角形的的整数值只有1 6．（2018年（江苏卷））在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 题型三、正、余弦定理应用求角、求边长、求周长 7．（浙江省艮山中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答后面的问题：①；②；③的面积（注意：若多选作答，只按首选给分）求： (1)求C； (2)若的面积为，求a，b． 8（多选）．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 9（多选）．（江苏省无锡市太湖高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型四、特殊线段模型：中线、角平分线、对角线、延长线段 10．（湖北省荆州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)在中，若边的中线，求面积的最大值. 11．（浙江省绍兴一中2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）若，，求的外接圆的面积； （2）若，求的取值范围. 12．（四川省成都市成华区2024-2025学年高一下学期期末学业水平监测数学试题）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求B的值； (2)若b=2，求面积的取值范围. 巩固提高： 1．（山东省青岛市海尔学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 2．（山西省怀仁市第一中学校云东校区2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题）记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求； (2)求的最小值． 3．（广东省广州开元中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）记的内角的对边分别为，，， (1)已知， （i）若，求； （ii）求的最小值； (2)已知点D在边AC上且，，，求． 4．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为，求BC边上中线的长. 5．（云南省昆明市第一中学2023届高三第八次考前适应性训练数学试题）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. (1)若，求角C的大小； (2)若，求实数m的最小值. 6．（湖北省部分名校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求证：； (2)若，试求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $