2027届高三数学一轮复习 第二十六讲 解三角形（二）

该高中数学导学案系统梳理了解三角形专题核心考点，涵盖三角形面积公式、内外接圆及内心外心性质等必掌握知识点，按“基础公式—综合计算—面积周长求解—证明应用”逻辑构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主关联正余弦定理与面积、周长等要素，形成层次分明的知识体系。 亮点在于真题驱动与自主诊断设计，如整合2022年全国乙卷、2024年新课标卷等高考真题作为题型示例，开篇设置诊断题帮助学生定位薄弱环节。通过证明类题型培养数学思维的逻辑推理能力，借助面积、周长计算任务提升用数学语言表达现实问题的能力，助力学生自主提升，也为教师因材施教提供精准学情参考。

2027届高三数学一轮复习 第二十六讲 解三角形（二） 【学习目标】正余弦定理解三角形面积、周长及现实问题． 【学习重点】正余弦定理的应用． 【学习难点】三角形中的边、角、周长、面积等的求解方法． 必掌握知识点 三角形的面积公式： （1）S＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2） （3）S＝＝＝； （4）S＝2R2sinAsinBsinC （R为外接圆半径） （5）（r，R分别是三角形内切圆、外接圆的半径．） （6） （7）海伦公式S＝；； (8). (9) , 必考题型全归纳 题型一、三角形内外接圆、内心外心综合计算（外接圆半径R、内切圆半径r、O外心 、I内心） 1．（江苏省常州市北郊高级中学2022-2023学年高二上学期期初调研数学试题）已知中，，，，O为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述错误的是（    ） A．外接圆半径为 B．内切圆半径为 C． D． 【答案】D 【分析】对A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；对B，利用三角形面积关系可求出；对C，由可求出；对D，由可求出. 【详解】在中，，所以， 设外接圆半径为，则，则，故A正确； 设内切圆半径为，则，解得，故B正确； 因为，， 所以 ，故C正确； 设内切圆与三角形分别切于，则设， ，解得，所以， 则，， 所以，故D错误.故选： D. 2（多选）．（福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为 B．的三个内角满足 C．的外接圆半径为 D．的中线的长为 【答案】AB 【分析】对于选项A，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项B，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列； 对于选项C，由正弦定理可得，外接圆直径；根据可求得，由可得的值； 对于选项D，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求得. 【详解】A项：设的内角、、所对的边分别为、、， 因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以， 解得，则，，，故的周长为，A正确； B项：因为， 所以，，故B正确； C项：因为，所以，由正弦定理得，，C错误； D项：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D错误.故选：AB． 3（多选）．（湖南省长沙市明德中学2023届高三下学期高考仿真模拟考试数学试题）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若，则的面积是 D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到A选项；由大边对大角确定C最大，由余弦定理求出得到答案；C选项，由角C的余弦求出角C的正弦，再用面积公式求解；D选项，正弦定理求出外接圆半径,设出内切圆半径，利用面积列出方程，求出内切圆半径. 【详解】设，则， 对于A ，，故A不正确； 对于B ，c最大，所以C最大，，故B正确； 对于C，若，则，，所以， 所以的面积是，故C不正确； 对于D，若正弦定理， 的周长，，所以内切圆半径为， 所以.故D正确. 故选：BD 题型二、三角形面积 4．（广东省广州市天河中学2024-2025学年高一下学期基础考试数学试卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用余弦定理结合同角三角函数关系计算； （2）应用正弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）应用两角和正弦公式，再应用正弦定理及面积公式计算. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即，，所以； （2）由角平分得，所以， 在△BCD中，由正弦定理得所以； （3）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有，从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得，所以. 5．（黑龙江省鸡西市英桥高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）记的对边分别为，已知. (1)求角B； (2)若，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再结合两角和正弦公式得出，进而应用面积公式计算即可. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）因为，应用正弦定理得 所以 又因为， 所以. 6．（北京市通州区2025-2026学年高三上学期期中质量检测数学试卷）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由余弦定理求，再结合正弦定理和角的范围求； （2）利用正弦定理求边，再代入面积公式计算面积. 【详解】（1）由，根据余弦定理得. 因为，所以. 又，即，，解得. 因为，所以，故. （2）由（1）知， . 由正弦定理，得. 三角形面积. 题型三、正、余弦定理应用：求角、求边长、求周长 7．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1) 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； (2)14 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为，由（1）得， 由余弦定理可得， 则，所以， 故，所以，所以的周长为. 8．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 9．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得，又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即，又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，，又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，，又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到，于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得，故的周长为 题型四、证明类题型（恒等式证明、几何关系证明） 10．（重庆市2022届高三三模数学试题）在平面四边形中，，，，，. (1)证明：平分； (2)求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理及三角函数，再结合角平分线的定义即可证明； （2）利用三角函数及二倍角的正弦公式，再结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理及已知，得 ，即. 在中，，所以， 在中，由余弦定理得 所以， 所以.故平分. （2）由（1）知，,. 在中，. ， 所以的面积为 .所以的面积为. 11．（四川省成都金苹果锦城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求证：； (2)若，且，，求； (3)若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3). 【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理即可得证； （2）余弦定理结合（1）求出三边关系，再将已知等式两边平方，消掉即可得解； （3）利用面积公式和正弦定理表示出，然后将表示成关于的函数，利用三边关系求出的范围即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得，整理得①， 即，所以. （2）因为，所以， 又，，所以②， 由余弦定理得③， ①-③可得，联立，可得，代入②可得：，解得. （3）因为，即，所以，整理得， 又，所以，即，所以， 由三角形面积公式知， 整理得，由正弦定理可知， 所以 ，由上分析可知，为方程的两正根， 所以，解得， 又，所以， 即，解得（舍去）或，综上，， 易知在上单调递减，所以，即的取值范围为. 巩固提高： 1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版））在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 【答案】（1）证明：由正弦定理得， 故，于是． 又，故，所以或， 因此（舍去）或，所以． （2）或. 【详解】（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果. 试题解析：（1）略 （2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，． 综上，或． 考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理. 2．（浙江省9 1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知的内角的对边分别为，的外接圆的半径为，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）应用正弦定理计算求解； （2）先应用两角和的余弦计算求解，再应用余弦定理计算求解 【详解】（1）由，又，所以， 由正弦定理：， 得， 所以， 所以得： （2）由，得， 所以，则． 所以， 又，由余弦定理得：， 即：， 得，得，所以周长为9． 3．（江苏省南通市如皋市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）只需将展开，再用正余弦定理将其化化成边即可； （2）先利用求出，再利用面积公式求出A即可求出周长. 【详解】（1） 由正余弦定理可知 （2） 4．（广东茂名市田家炳中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边将已知关系式转化为边的二次式，再利用余弦定理求A； （2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，进而求出周长. 【详解】（1）， 变形为， 整理得 由正弦定理得：， 由余弦定理得：，因为，所以. （2）由，，得. 由余弦定理得， 则 ， 所以，则，即的周长为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十六讲 解三角形（二） 【学习目标】正余弦定理解三角形面积、周长及现实问题． 【学习重点】正余弦定理的应用． 【学习难点】三角形中的边、角、周长、面积等的求解方法． 必掌握知识点 三角形的面积公式： （1）S＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2） （3）S＝＝＝； （4）S＝2R2sinAsinBsinC （R为外接圆半径） （5）（r，R分别是三角形内切圆、外接圆的半径．） （6） （7）海伦公式S＝；； (8). (9) , 必考题型全归纳 题型一、三角形内外接圆、内心外心综合计算（外接圆半径R、内切圆半径r、O外心 、I内心） 1．（江苏省常州市北郊高级中学2022-2023学年高二上学期期初调研数学试题）已知中，，，，O为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述错误的是（    ） A．外接圆半径为 B．内切圆半径为 C． D． 2（多选）．（福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为 B．的三个内角满足 C．的外接圆半径为 D．的中线的长为 3（多选）．（湖南省长沙市明德中学2023届高三下学期高考仿真模拟考试数学试题）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若，则的面积是 D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则 题型二、三角形面积 4．（广东省广州市天河中学2024-2025学年高一下学期基础考试数学试卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 5．（黑龙江省鸡西市英桥高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）记的对边分别为，已知. (1)求角B； (2)若，求的面积. 6．（北京市通州区2025-2026学年高三上学期期中质量检测数学试卷）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若，求的面积． 题型三、正、余弦定理应用：求角、求边长、求周长 7．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 8．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 9．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 题型四、证明类题型（恒等式证明、几何关系证明） 10．（重庆市2022届高三三模数学试题）在平面四边形中，，，，，. (1)证明：平分； (2)求的面积. 11．（四川省成都金苹果锦城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求证：； (2)若，且，，求； (3)若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围. 巩固提高： 1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版））在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 2．（浙江省9 1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知的内角的对边分别为，的外接圆的半径为，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长． 3．（江苏省南通市如皋市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，的面积为，求的周长． 4．（广东茂名市田家炳中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $