2027届高三数学一轮复习 第二十五讲 解三角形（一）

该高中数学高考复习学案系统梳理了解三角形核心考点，涵盖正余弦定理、多解判断、面积公式及形状判断等，按知识逻辑构建“定理-应用-综合”三层网络，通过问题链引导学生自主推导公式变形与应用规律，形成系统化知识框架。 亮点在于分层题型设计与自主诊断工具，如按“解的个数-面积综合-边角计算-形状判断-恒等变换”分类的15道典型例题，配套巩固提高题组，培养学生数学思维与推理能力。每个题型附解题方法指导，学生可自主诊断薄弱环节，教师能依据学情精准辅导，提升复习实效。

2027届高三数学一轮复习 第二十五讲 解三角形（一） 【学习目标】正余弦定理解三角形与形状判断． 【学习重点】正余弦定理的应用． 【学习难点】利用正余弦定理解三角形与形状判断． 必掌握知识点 1：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 2：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3.三角形面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 4、三角形中的射影定理 在 中，；；． 5：定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边： ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 6、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 必考题型全归纳 题型一、三角形解的个数判断（已知两边一对角，一解、 两解、 无解） 1．（太原师院附中2018-2019学年高一第四次月考数学试题）在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 A．,, B．,, C．,, D．,, 2．（广东省肇庆市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在中，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，则有两解 题型二、三角形面积公式综合应用（面积 + 余弦定理、 正弦定理） 4．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D． 5．（四川省绵阳市三台县2021-2022学年高一下学期期中数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则角＝（    ） A． B． C． D． 6．（山东济南西城实验中学2025-2026学年高一下学期6月阶段性学情质量监测数学试题）已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 题型三、正、余弦定理基础求边 、求角 7．（福建省2016届高三毕业班总复习（三角函数）单元过关平行性测试卷（理科）数学试题）在中，，，则（   ） A． B． C． D．不确定 8．（2018年10月20日 《每日一题》人教必修5-（上学期期中复习）周末培优）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若，则等于 A． B． C． D． 9（多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 题型四、判断三角形形状 10．（福建省南平市政和县第二中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 11（多选）．（福建省龙岩市长汀县第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题）在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（    ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若acosB＝bcosA＋c，则一定是直角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则一定是锐角三角形 12．（江苏省镇江第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 五、三角恒等变换与解三角形综合（两角和差、诱导、切化弦） 13．（广东省珠海市2018～2019学年第一学期期末普通高中学生学业高二文科数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C的值为 A． B． C．或 D．或 14．（2016届江西省临川区一中高三10月月考理科数学试卷（带解析））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin（A－B）sin B＋cos（A＋C）＝－, a＝4，b＝5，则向量在方向上的投影为 A． B． C． D． 15（多选）．（湖北省黄冈市高中联校2023-2024学年高一下学期期中教学质量抽测数学试题）在中，内角，，的对边分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固提高： 1．（2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考一数学（理）试卷（带解析））在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．（【新东方高二）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 4．（河南省信阳市息县第一高级中学2019-2020学年高二上学期第三次阶段性考试数学（文）试题）在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则此三角形的形状是 A．直角三角形 B．正三角形 C．腰和底边不等的等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（专题01平面向量及其应用02（期中真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．（江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十五讲 解三角形（一） 【学习目标】正余弦定理解三角形与形状判断． 【学习重点】正余弦定理的应用． 【学习难点】利用正余弦定理解三角形与形状判断． 必掌握知识点 1：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 2：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3.三角形面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 4、三角形中的射影定理 在 中，；；． 5：定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边： ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 6、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 必考题型全归纳 题型一、三角形解的个数判断（已知两边一对角，一解、 两解、 无解） 1．（太原师院附中2018-2019学年高一第四次月考数学试题）在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 A．,, B．,, C．,, D．,, 【答案】D 【解析】在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解．根据正弦定理判断． 【详解】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B已知两边及夹角用余弦定理，只有一解，C中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，D中，，有两解．故选：D. 【点睛】本题考查三角形解的个数问题，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．三角形解的个数中只有在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解，注意判断方法． 2．（广东省肇庆市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，求得，再根据当有两解时，，从而得出答案. 【详解】，即, 则 由，解得,则 当有两解时，，则，所以，故选：. 3．（广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在中，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；B选项，利用三角形面积公式求解判断；C选项，由为钝角三角形，当为钝角时，利用余弦定理判断；D选项，根据正弦定理得到，进而得到或，即可求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确. 对于B：，故B正确. 对于C：因为为钝角三角形，当为钝角时，，则， 同理可得，当为钝角时，，当为钝角时，，故C错误. 对于D：由正弦定理得，所以， 因为，所以或， 所以有两解，即有两解，故D正确. 题型二、三角形面积公式综合应用（面积 + 余弦定理、 正弦定理） 4．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D． 【答案】C 分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以，由余弦定理 所以，，，故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 5．（四川省绵阳市三台县2021-2022学年高一下学期期中数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则角＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简已知得，解方程即得解. 【详解】：，由余弦定理得， 结合，得， ，，所以，∴，． 故选：A． 6．（山东济南西城实验中学2025-2026学年高一下学期6月阶段性学情质量监测数学试题）已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】根据三角形面积公式，的面积， 由余弦定理得. 由可得， 化简得 ，两边平方得， 即，整理得，因为C为三角形内角，即，故，解得. 题型三、正、余弦定理基础求边 、求角 7．（福建省2016届高三毕业班总复习（三角函数）单元过关平行性测试卷（理科）数学试题）在中，，，则（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】结合题意利用正弦定理进行边角转化，运算求解. 【详解】由正弦定理得 ，则 ∵，则 ∴.故选：A. 8．（2018年10月20日 《每日一题》人教必修5-（上学期期中复习）周末培优）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若，则等于 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简已知得，即得A=C, 故，且是锐角，可得,再利用余弦定理求出b的值. 【详解】因为，所以由正弦定理可得， 则，又，所以， 即，因为，所以，，所以， 即，故，且是锐角，由可得， 所以由余弦定理可得，即．故答案为A 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 9（多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理化角为边即可判断A；利用同角三角函数的关系即可判断B；利用余弦定理求出，即可判断C；根据三角形的面积公式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 由正弦定理得，整理得，即，A正确； 对于B，由可得，则， 故B正确； 对于C，由余弦定理得， 又，可得， 整理得的周长为，故C错误； 对于D，由上知：，，可得， 则的面积为，故D正确．故选：ABD. 题型四、判断三角形形状 10．（福建省南平市政和县第二中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解. 【详解】因为的三个角满足， 所以由正弦定理化简得，设，为最大边， 由余弦定理得，所以为钝角， 所以是钝角三角形.故选：C. 11（多选）．（福建省龙岩市长汀县第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题）在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（    ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若acosB＝bcosA＋c，则一定是直角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则一定是锐角三角形 【答案】ABD 【分析】对于A，利用正弦定理化为边的关系，再利用余弦定理判断即可，对于B，利用余弦定理统一成边的形式，化简即可判断，对于C，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形，对于D，利用两角和的正切公式化简判断 【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，因为，所以为钝角，所以一定是钝角三角形，所以A正确， 对于B，因为acosB＝bcosA＋c，所以由余弦定理得， 所以，所以，所以一定是直角三角形，所以B正确， 对于C，因为，所以，所以， 所以， 所以，因为，所以，因为，所以， 所以一定是直角三角形，所以C错误， 对于D，因为, 所以 因为tanA＋tanB＋tanC＞0，所以， 因为中不可能有两个钝角，所以， 所以都为锐角，所以一定是锐角三角形，所以D正确，故选：ABD 12．（江苏省镇江第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】结合正弦定理、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A选项，，由正弦定理得， ，则可能，A选项错误. 对于B选项，， ，, 由正弦定理得，所以B选项正确. 对于C选项，为锐角三角形，, 均是锐角，在上递增，则，所以C选项正确. 对于D选项，由于，所以为锐角， ，所以为锐角， 根据C选项的分析，有，同理可得, 所以，则，D选项正确.故选：BCD 五、三角恒等变换与解三角形综合（两角和差、诱导、切化弦） 13．（广东省珠海市2018～2019学年第一学期期末普通高中学生学业高二文科数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C的值为 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】将已知等式整理后，利用余弦定理，以及同角三角函数间基本关系化简，求出的值，即可确定出C的度数． 【详解】在中，由已知等式整理得：，即， ，，为内角，或，故选C． 【点睛】本题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 14．（2016届江西省临川区一中高三10月月考理科数学试卷（带解析））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin（A－B）sin B＋cos（A＋C）＝－, a＝4，b＝5，则向量在方向上的投影为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】：由题根据所给条件首先求出cosA,然后根据正弦定理计算出sinB,根据余弦定理得到c，结合平面向量数量积定义求出投影． 由题，所以 ，所以向量在方向上的投影为,故选A． 考点：两角和与差的公式；半角、倍角公式；正弦定理；余弦定理；平面向量的数量积 【名师点睛】主要考查两角和与差的三角函数及三角恒等变换，余弦定理，向量数乘运算及几何意义等考点的理解，三角恒等变换：寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点；三角函数式化简要遵循的"三看"原则: （1） 一看"角"．这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式． （2） 二看"函数名称"．看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式． （3） 三看"结构特征"．分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等． （4） 方法提炼:（1）解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系（从三角函数名及角入手）;③将已知条件代入所求式子,化简求值． （2）解决给值求角问题的一般步骤: ①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角． 15（多选）．（湖北省黄冈市高中联校2023-2024学年高一下学期期中教学质量抽测数学试题）在中，内角，，的对边分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由得，对于A，由角即可判断得解；对于B，分析得出矛盾进而得，结合诱导公式即可得解；对于C，由和结合二倍角公式和诱导公式求出角A、B、C即可得解；对于D，结合选项C利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，若角，则由及得及，不符合， 故角，则由及得， 所以即，故B正确； 对于C，由上， 所以由得，整理得， 解得或，由得，故， 所以，，故，故C正确； 对于D，因为即，所以由正弦定理，故D正确.故选：BCD. 【点睛】：对于选项C，可知是探究角A与角C的关系，所以应将已知条件代入等量关系中再切化弦，接着结合二倍角公式和诱导公式进行运算和转化求出角A，进而可依据已知条件求出角B、C即可得解. 巩固提高： 1．（2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考一数学（理）试卷（带解析））在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∴的形状一定是直角三角形．故选D．考点：两角和与差的正弦函数. 2．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以，所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形.故选：B. 3．（【新东方高二）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理将化边代入，结合求解即可． 【详解】由题，当，三角形为直角三角形 当，则，又，则三角形为等腰三角形 故选：D 4．（河南省信阳市息县第一高级中学2019-2020学年高二上学期第三次阶段性考试数学（文）试题）在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则此三角形的形状是 A．直角三角形 B．正三角形 C．腰和底边不等的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由余弦定理和正弦定理的角化边公式，得出，再由，整理得出. 【详解】，，即 ，，即，故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的角化边公式，属于中档题. 5．（专题01平面向量及其应用02（期中真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理化简，再结合因式分解可判断三角形的形状. 【详解】因为，故， 整理得， 即，故， 故或，故三角形为等腰或直角三角形. 6．（江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【分析】先化简应用两角和差的正弦公式，再应用正弦定理结合余弦定理得出，最后得出边长关系即可判断三角形形状. 【详解】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形．故选：． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $