1.1 探索勾股定理（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学勾股定理核心知识点，从探索（观察、猜想、网格与拼图验证）到理解（直角三角形三边平方关系、公式），再到应用（已知两边求第三边、实际问题建模、面积拓展），构建完整学习支架。 特色在于通过赵爽弦图等面积证明培养数学思维（推理能力），结合《周髀算经》渗透数学文化提升数学眼光（抽象能力），分层练习与题型指导助力课中教学与课后查漏，强化模型意识与应用能力。

第二十五章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 课标要点 1.经历观察、猜想、网格探究、拼图验证的全过程，自主探索直角三角形的三边数量关系，掌握勾股定理的推导过程，理解数形结合的数学思想。 2.熟记勾股定理文字表述与公式：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，若直角边为，斜边为，则。 3.能够熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，解决基础的边长计算问题。 4.能结合生活实际场景，将简单的实际问题抽象为直角三角形几何模型，利用勾股定理解决基础实际应用问题。 5.了解勾股定理的历史文化背景，知晓我国古代在勾股定理研究中的成就，感受数学文化价值，提升数学学习素养。 6.通过定理探究与验证，培养观察推理、合作探究、逻辑归纳的能力，初步掌握从特殊到一般的数学探究方法。 学习重难点 重点： 1.掌握勾股定理的具体内容和标准公式，明确公式中直角边、斜边的对应关系，杜绝边的对应混淆问题。 2.熟练掌握勾股定理的基础应用，可精准完成直角三角形已知两边求第三边的计算，掌握基础计算格式与步骤。 3.能初步将简单实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决生活中的基础几何问题。 难点： 1.理解并掌握面积割补法（拼图法） 验证勾股定理的原理，理清图形面积等量替换的逻辑，突破数形转化的思维难点。 2.区分直角三角形中直角边与斜边，规避未指明直角边、斜边时的漏解、错解问题，初步建立分类讨论的解题思维。 3.深度理解数形结合思想，掌握通过图形面积关系推导代数公式的方法，学会几何与代数知识的联动运用。 知识点 直角三角形三边的数量关系 勾股定理概念：在任意直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。直角边简称勾、股，斜边称为弦。若直角边分别为，斜边为，那么三边满足：. 易错提醒 1）公式仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不能使用； 2）平方和是两条直角边相加，不是斜边加直角边，切勿写成； 3）做题前必须分清斜边：斜边是直角对边，是三角形最长边。. 教材延伸 我国古代《周髀算经》最早记载 “勾三股四弦五”，是勾股定理最经典整数组合。 随学随练 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 3．在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 知识点 勾股定理的经典几何面积证明（重点） 赵爽弦图法证明：用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个直角三角形面积，化简推导. 【补充说明】 1) 大正方形边长，小正方形边长； 2) 面积等式：，化简得. 特别提醒 1）弦图是考试必考证明模型，图形拼接后内外正方形边长不要混淆； 2）计算面积时，直角三角形面积要乘，容易遗漏导致推导出错. 教材延伸 课本除赵爽弦图外，还有 “外补正方形” 拼图证法，核心思路均为等面积转化. 随学随练 1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 2．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 知识点 已知直角三角形两边，求第三边 定义：已知直角三角形任意两条边长，分两种情况代入勾股定理变形公式计算第三边. 【补充说明】① 已知两直角边，求斜边：； ② 已知一条直角边、斜边，求另一直角边：. 易错提醒 题目未明确告知哪条边是斜边时，必须分类讨论，分两种情况计算，容易漏解丢分. 教材延伸 结合平方根运算，结果若开不尽方直接保留最简二次根式，不用强行化成小数. 随学随练 1．已知一个直角三角形的两边长分别为2和3，则第三边长的平方是（     ） A．5 B．13 C．5和7 D．5或13 2．已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（   ）． A． B． C．或 D．或 3．直角三角形中，，，则的长为________． 知识点 勾股定理简单实际应用 概念：将生活、几何图形中的垂直结构抽象为直角三角形，利用三边平方关系求解长度、高度、距离。常见模型：梯子靠墙、旗杆折断、小桥水深、长方形对角线. 特别提醒 1）建模时找准垂直关系，没有直角无法使用勾股定理； 2）单位统一，题目边长单位不一致要先换算再计算. 教材延伸 后续章节立体图形最短路径、折叠几何压轴题，底层解题依据均为勾股定理. 随学随练 1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 3． 《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为___________尺．（1丈尺） 4．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 知识点 勾股定理面积拓展 概念：以直角三角形三边向外分别作正方形，两条直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。设三边正方形面积，则. 易错提醒 只有直角三角形满足该面积规律，普通三角形无此等量关系；不要混淆直角边、斜边对应的正方形面积. 教材延伸 拓展图形可替换为等边三角形、半圆，面积依旧保持两小面积之和等于大面积. 随学随练 1．勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（     ） A．4 B．8 C．16 D．34 2．如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 拓展 数学抽象素养 1.从方格纸直角三角形、生活垂直实物（梯子、旗杆）中剥离长度、直角等几何要素，抽象出标准直角三角形模型，提炼三边字母，把现实长度转化为代数符号。 2.区分 “图形边长” 与 “边长平方” 两个抽象量，理解正方形面积等价于边长平方，搭建几何图形到代数式的抽象桥梁。 3.剔除无关实物信息，仅保留垂直、线段长度核心条件，建立通用直角三角形数学模型，能自主完成生活场景数学建模。 活学活用 1．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 2．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 拓展数学文化素养 1.了解我国《周髀算经》“勾三股四弦五” 记载，知晓勾股定理在中国古代的发展，感受传统数学成就； 2.认识赵爽弦图的历史价值，体会古代数学家割补证明的巧妙思维，对比中西勾股定理研究时间，增强文化自信。 活学活用 1．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 2．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知，，求的值； (2)请根据图2中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； (3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知，，求的值． 题型 直接套用勾股定理计算 解题贴士 先找准直角，确定斜边；套用公式，按需变形、；运算顺序先平方、再加减、最后开算术平方根，长度舍去负根，根式结果化为最简二次根式. ▌例1 在中，两直角边长分别是、，则斜边的长是（  ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图所示，直角三角形中，，于，，，，，则点到直线的距离为（   ） A．4.5 B．4.8 C．8 D．7.5 题型 直角三角形三边外接正方形面积换算题 解题贴士 直角边对应正方形面积，斜边正方形，恒定满足；已知任意两块面积，直接加减求第三块，省去求边长步骤. ▌例1如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 ▌对点练1-1如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 ▌对点练1-2如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 题型 无图，已知直角三角形两边求第三边 解题贴士 斜边是三角形最长边，必须分两类讨论：①两条已知边全是直角边，求斜边；②长边为斜边，短边为直角边，求另一条直角边；两种结果都要写，避免漏解扣分. ▌例1若直角三角形的两条边为3和4，那么第三边长为（   ） A．1 B．5 C．7 D．5或 ▌对点练1-1若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 ▌对点练1-2已知 中为 边上的高，，，的面积为，边长为_____． 题型 赵爽弦图边长、面积计算题 解题贴士 区分图形三个部分：大正方形边长为斜边，内部小正方形边长，四个全等直角三角形；核心面积等式；计算三角形面积切勿遗漏，代入数值解方程求未知线段. ▌例1如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 ▌对点练1-1我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为，宽为的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为182，正方形的边长为6，则______ ▌对点练1-3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是_______ ． 题型 应用勾股定理解决简单的问题 解题贴士 运用勾股定理解决实际问题时，首先梳理题干中的垂直线段，抽象构建直角三角形模型，统一所有长度单位；存在未知边长则设未知数，结合线段间和差关系表示三边，区分直角边与斜边灵活选用勾股定理及其变形式列式计算，抓住各自固定线段等量关系，计算只取算术平方根，根式化为最简形式，最后将结果代入验证并结合题意完整作答. ▌例1如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？    ▌对点练1-1某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，． (1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）； (2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度． ▌对点练1-2消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 基础通关 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 2．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 3．如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为 A． B．7 C．5 D．4 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 5．一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（   ） A．斜边长为625 B．三角形的周长为84 C．斜边长为25 D．三角形的面积为168 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．在中，，，则_______． 8．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 9．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 10．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 11．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 12．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 13．在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 14．如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 15．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 素养提升 1．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 4．已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 8．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 9．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 迁移创新 1．在中，，，高，则的周长是______． 2．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 3．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的． 【经历体验】 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接、，设，． (1)①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； 【类比应用】 (2)根据上述的方法，构图求出代数式的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 课标要点 1.经历观察、猜想、网格探究、拼图验证的全过程，自主探索直角三角形的三边数量关系，掌握勾股定理的推导过程，理解数形结合的数学思想。 2.熟记勾股定理文字表述与公式：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，若直角边为，斜边为，则。 3.能够熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，解决基础的边长计算问题。 4.能结合生活实际场景，将简单的实际问题抽象为直角三角形几何模型，利用勾股定理解决基础实际应用问题。 5.了解勾股定理的历史文化背景，知晓我国古代在勾股定理研究中的成就，感受数学文化价值，提升数学学习素养。 6.通过定理探究与验证，培养观察推理、合作探究、逻辑归纳的能力，初步掌握从特殊到一般的数学探究方法。 学习重难点 重点： 1.掌握勾股定理的具体内容和标准公式，明确公式中直角边、斜边的对应关系，杜绝边的对应混淆问题。 2.熟练掌握勾股定理的基础应用，可精准完成直角三角形已知两边求第三边的计算，掌握基础计算格式与步骤。 3.能初步将简单实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决生活中的基础几何问题。 难点： 1.理解并掌握面积割补法（拼图法） 验证勾股定理的原理，理清图形面积等量替换的逻辑，突破数形转化的思维难点。 2.区分直角三角形中直角边与斜边，规避未指明直角边、斜边时的漏解、错解问题，初步建立分类讨论的解题思维。 3.深度理解数形结合思想，掌握通过图形面积关系推导代数公式的方法，学会几何与代数知识的联动运用。 知识点 直角三角形三边的数量关系 勾股定理概念：在任意直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。直角边简称勾、股，斜边称为弦。若直角边分别为，斜边为，那么三边满足：. 易错提醒 1）公式仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不能使用； 2）平方和是两条直角边相加，不是斜边加直角边，切勿写成； 3）做题前必须分清斜边：斜边是直角对边，是三角形最长边。. 教材延伸 我国古代《周髀算经》最早记载 “勾三股四弦五”，是勾股定理最经典整数组合。 随学随练 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用勾股定理可得，然后利用垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，， 由，即长不可能是． 3．在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果． 【详解】解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 知识点 勾股定理的经典几何面积证明（重点） 赵爽弦图法证明：用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个直角三角形面积，化简推导. 【补充说明】 1) 大正方形边长，小正方形边长； 2) 面积等式：，化简得. 特别提醒 1）弦图是考试必考证明模型，图形拼接后内外正方形边长不要混淆； 2）计算面积时，直角三角形面积要乘，容易遗漏导致推导出错. 教材延伸 课本除赵爽弦图外，还有 “外补正方形” 拼图证法，核心思路均为等面积转化. 随学随练 1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 2．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 知识点 已知直角三角形两边，求第三边 定义：已知直角三角形任意两条边长，分两种情况代入勾股定理变形公式计算第三边. 【补充说明】① 已知两直角边，求斜边：； ② 已知一条直角边、斜边，求另一直角边：. 易错提醒 题目未明确告知哪条边是斜边时，必须分类讨论，分两种情况计算，容易漏解丢分. 教材延伸 结合平方根运算，结果若开不尽方直接保留最简二次根式，不用强行化成小数. 随学随练 1．已知一个直角三角形的两边长分别为2和3，则第三边长的平方是（     ） A．5 B．13 C．5和7 D．5或13 【答案】D 【分析】分情况讨论已知边是直角边还是斜边，避免漏解． 【详解】解：已知直角三角形两边长为2和3，未明确两条边是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论： ①当2和3都是直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长的平方为 ； ②当3为斜边，2为直角边时，第三边为另一条直角边， 由勾股定理得，第三边长的平方为 ； ∴第三边长的平方是5或13． 2．已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知两边都为直角边，或8为斜边，利用勾股定理求出第三边，再根据三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当和均为直角边时，由勾股定理，斜边，设斜边上的高为，三角形面积，； ②当为斜边，为直角边时，由勾股定理，另一条直角边，设斜边上的高为，三角形面积，， 综上，斜边上的高为或． 3．直角三角形中，，，则的长为________． 【答案】15或/或15 【分析】需分为斜边和为直角边两种情况讨论，利用勾股定理计算的长． 【详解】∵，故分两种情况讨论： ①当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； ②当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为15或． 知识点 勾股定理简单实际应用 概念：将生活、几何图形中的垂直结构抽象为直角三角形，利用三边平方关系求解长度、高度、距离。常见模型：梯子靠墙、旗杆折断、小桥水深、长方形对角线. 特别提醒 1）建模时找准垂直关系，没有直角无法使用勾股定理； 2）单位统一，题目边长单位不一致要先换算再计算. 教材延伸 后续章节立体图形最短路径、折叠几何压轴题，底层解题依据均为勾股定理. 随学随练 1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 2．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 3．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为___________尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 4．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 知识点 勾股定理面积拓展 概念：以直角三角形三边向外分别作正方形，两条直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。设三边正方形面积，则. 易错提醒 只有直角三角形满足该面积规律，普通三角形无此等量关系；不要混淆直角边、斜边对应的正方形面积. 教材延伸 拓展图形可替换为等边三角形、半圆，面积依旧保持两小面积之和等于大面积. 随学随练 1．勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（     ） A．4 B．8 C．16 D．34 【答案】C 【详解】解：设正方形的边长为b，正方形的边长为c，正方形的边长为a， 三角形为直角三角形， ，即， ，即正方形的面积为16． 2．如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 3．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积是. 拓展 数学抽象素养 1.从方格纸直角三角形、生活垂直实物（梯子、旗杆）中剥离长度、直角等几何要素，抽象出标准直角三角形模型，提炼三边字母，把现实长度转化为代数符号。 2.区分 “图形边长” 与 “边长平方” 两个抽象量，理解正方形面积等价于边长平方，搭建几何图形到代数式的抽象桥梁。 3.剔除无关实物信息，仅保留垂直、线段长度核心条件，建立通用直角三角形数学模型，能自主完成生活场景数学建模。 活学活用 1．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 2．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 拓展数学文化素养 1.了解我国《周髀算经》“勾三股四弦五” 记载，知晓勾股定理在中国古代的发展，感受传统数学成就； 2.认识赵爽弦图的历史价值，体会古代数学家割补证明的巧妙思维，对比中西勾股定理研究时间，增强文化自信。 活学活用 1．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 2．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知，，求的值； (2)请根据图2中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； (3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知，，求的值． 【答案】(1)36 (2)见解析 (3)19 【分析】（1）根据题意得，再分别计算正方形的面积，即可完成求解； （2）图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可； （3）结合题意，首先分别求出以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∴； （2）解：∵． 即， 化简得：． （3）解：由勾股定理可得：． ∵，，， ∴， ∴． 题型 直接套用勾股定理计算 解题贴士 先找准直角，确定斜边；套用公式，按需变形、；运算顺序先平方、再加减、最后开算术平方根，长度舍去负根，根式结果化为最简二次根式. ▌例1 在中，两直角边长分别是、，则斜边的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别是、， ∴斜边的长是． ▌对点练1-1．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定是斜边，、是直角边，再利用勾股定理代入已知的和的长度计算即可得到的长． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∴． 即， 解得． 故选：C． ▌对点练1-2．如图所示，直角三角形中，，于，，，，，则点到直线的距离为（   ） A．4.5 B．4.8 C．8 D．7.5 【答案】B 【分析】过点D作，交AB于点E，先利用勾股定理求出的长，再用面积法即可得到答案． 【详解】解：过点D作，交AB于点E，如下图： ∵，，， ∴， ∵， ∴，即点到直线的距离为：4.8 题型 直角三角形三边外接正方形面积换算题 解题贴士 直角边对应正方形面积，斜边正方形，恒定满足；已知任意两块面积，直接加减求第三块，省去求边长步骤. ▌例1如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【答案】C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． ▌对点练1-1如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． ▌对点练1-2如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 题型 无图，已知直角三角形两边求第三边 解题贴士 斜边是三角形最长边，必须分两类讨论：①两条已知边全是直角边，求斜边；②长边为斜边，短边为直角边，求另一条直角边；两种结果都要写，避免漏解扣分. ▌例1若直角三角形的两条边为3和4，那么第三边长为（   ） A．1 B．5 C．7 D．5或 【答案】D 【分析】分两种情况：边长为4的边是直角边和边长为4的边是斜边，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当边长为4的边是直角边时，则第三边的长为， 当边长为4的边是斜边时，则第三边的长为， 综上所述，第三边的长为5或． ▌对点练1-1若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，利用勾股定理求解x的值，因为x可能是直角三角形的直角边或斜边． 【详解】解：当x是直角边时，， 当x是斜边时，， 综上，x的值为13或， 故选：C． ▌对点练1-2已知 中为 边上的高，，，的面积为，边长为_____． 【答案】或 【分析】先利用三角形面积公式求出高的长度，再通过勾股定理求出的长，分在内部和外部两种情况，结合勾股定理计算的边长即可得到答案； 【详解】解：∵的面积为，，为 边上的高， ∴， 在中，，，，根据勾股定理，得 ， ①当高在内部时，点D在线段上， 在中，，，，根据勾股定理，得 ， ②当高在外部时，点D在线段的延长线上， ， 在中，，，，根据勾股定理，得 ， 故答案为：或． 题型 赵爽弦图边长、面积计算题 解题贴士 区分图形三个部分：大正方形边长为斜边，内部小正方形边长，四个全等直角三角形；核心面积等式；计算三角形面积切勿遗漏，代入数值解方程求未知线段. ▌例1如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由题意可知，，由阴影部分的面积，可知阴影部分的边长为7，进而得出，再利用勾股定理，求出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 阴影部分的面积是49， 阴影部分的边长为7， ， ， 即大正方形的边长是13． ▌对点练1-1我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． ▌对点练1-2学习完勾股定理后，小明制作了“赵爽弦图”．他先将长为，宽为的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①所示，然后用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，经测量得长方形的面积为182，正方形的边长为6，则______ 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵长方形的面积为182，正方形的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20． ▌对点练1-3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是_______ ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 题型 应用勾股定理解决简单的问题 解题贴士 运用勾股定理解决实际问题时，首先梳理题干中的垂直线段，抽象构建直角三角形模型，统一所有长度单位；存在未知边长则设未知数，结合线段间和差关系表示三边，区分直角边与斜边灵活选用勾股定理及其变形式列式计算，抓住各自固定线段等量关系，计算只取算术平方根，根式化为最简形式，最后将结果代入验证并结合题意完整作答. ▌例1如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？    【答案】米 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到：（米）， 答：为米．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度． ▌对点练1-1某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，． (1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）； (2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴△ABC为直角三角形，且． ∵， ∴E为AB的中点， ∴． （2）如图，过点C作交AB于点F． ∵，∴． ∵， ∴． 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得， 则． ▌对点练1-2消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 基础通关 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 2．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴． 3．如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为 A． B．7 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理，得到,结合这根木质立柱原本的总高度为求解即可； 【详解】解：根据勾股定理，得到， 故木质立柱原本的总高度为； 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 5．一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（   ） A．斜边长为625 B．三角形的周长为84 C．斜边长为25 D．三角形的面积为168 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算斜边长，再分别计算三角形的周长和面积，即可判断各选项的正误． 【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边长分别为和， ∴由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为 ， ∴该三角形的周长为， 该直角三角形的面积为， ∴四个选项中只有C选项中的说法正确，符合题意． 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ∵竹子原高一丈，一丈尺， ∴未折断部分高度为尺，折断部分的长度为尺， ∵抵地处到竹子底部的水平距离为尺，三者构成直角三角形，折断部分为斜边， ∴根据勾股定理可得． 7．在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 8．公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三角形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中，， ∴， 过C作，交于， ∴， ∴两棵树的高度差，两棵树的水平距离， 根据勾股定理可得， 即小鸟至少要飞． 9．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 10．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 11．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【答案】 【分析】连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，，结合勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 12．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 13．在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 【答案】(1)13 (2)20 【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出第三条边的长度． 【详解】（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 14．如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 【答案】(1)21 (2)9 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由求解； （2）利用勾股定理求出，再由求解． 【详解】（1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 15．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 【答案】该学生头顶到门铃的距离为 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，由题意，得 ， ， ， 在Rt中， 根据勾股定理，得 ， 故该学生头顶到门铃的距离为． 素养提升 1．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 2．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，利用勾股定理求出，再证明，即可求出，，再在中利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 4．已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的勾股定理有，结合完全平方公式化简，即可得到结果． 【详解】解：∵直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∵，， ∴ 5．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 6．《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 【答案】/ 【分析】设长方形田的宽为x步，对角线长为步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并转换为亩数即可． 【详解】解：设宽为x步，则对角线长为步， 由勾股定理得：， 解得， 面积平方步， 亩数． 7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】5 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 8．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 【答案】 4 【详解】勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正方形的面积公式进行求解即可. 【点睛】解：由题意，， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为. 9．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】如下 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 迁移创新 1．在中，，，高，则的周长是______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，分别为高在内部和高在外部，利用勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，即可计算出的周长． 【详解】解：分两种情况讨论：当高在的内部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 当高在的外部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 综上所述，的周长是或． 2．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； （2）解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； （3）解： ． 3．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的． 【经历体验】 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接、，设，． (1)①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； 【类比应用】 (2)根据上述的方法，构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①，；②5 (2) 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据两点之间线段最短得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，； ②连接，由①得， 根据两点之间线段最短，有（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作，交的延长线于H，如图， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解： 如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 根据两点之间线段最短，有（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $