1.2 一定是直角三角形吗 讲义- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形的判别条件（勾股定理逆定理）与勾股数核心知识点，承接勾股定理，通过“三边满足两短边平方和等于长边平方则为直角三角形”的定义及角度、边长两种判断方法，延伸到勾股数的正整数特性、整数倍性质及判断步骤，构建从定理到判别再到数论应用的学习支架。 该资料亮点在于题型设计系统且融合核心素养，如网格中判断直角三角形（例3）需观察图形计算边长平方和，培养几何直观；实际应用（例6四边形空地面积）用数学语言解决现实问题，发展应用意识；无刻度作图（例7数轴表示无理数）提升创新意识。例题与变式题分层，课中辅助差异化教学，课后助力学生巩固推理能力，查漏补缺。

1.2 一定是直角三角形吗（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型 2·勾股数】 2 【题型3·网格中判断直角三角形】 3 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 4 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 5 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 7 【题型7·利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 8 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 【例1】下列各组数中，不能成为直角三角形三条边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（     ） A．2，3，5 B．4，4，4 C．4，5，7 D．7，24，25 【变式1-3】有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型 2·勾股数】 【例2】下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 【变式2-3】仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【题型3·网格中判断直角三角形】 【例3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 【变式3-1】如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【变式3-2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【变式3-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 【例4】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【变式4-1】在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【变式4-2】如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为______________． 【变式4-3】如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，能构成___________  个直角三角形．    【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【变式5-1】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式5-2】如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【变式5-3】如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 【例6】如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【变式6-1】如图，东湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【变式是6-2】如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式6-3】不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【题型7·利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 【例7】（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【变式7-1】如图，是直角三角形，点在数轴上对应的数为，且，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则、两点间的距离为（    ） A．0.4 B． C． D． 【变式7-2】如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式7-3】下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                   但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 随堂检测 【随堂检测】 1．以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数中一定是勾股数的是（    ） A．2，4，5 B．5，12，13 C． D． 3．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 4．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 5．已知，，，，，连接，则的度数为______． 6．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 7．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 8．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 9．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 一定是直角三角形吗（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型 2·勾股数】 4 【题型3·网格中判断直角三角形】 6 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 10 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 12 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 15 【题型7·利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 19 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 【例1】下列各组数中，不能成为直角三角形三条边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】判断三个数能否成为直角三角形三边长，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可以构成，反之不能． 【详解】A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、三边长为，，，最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意． 【变式1-1】以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判断能否构成直角三角形，只需验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； B、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； C、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； D、最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，符合题意． 【变式1-2】以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（     ） A．2，3，5 B．4，4，4 C．4，5，7 D．7，24，25 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组数即可. 【详解】解：选项A. 本组数中最长边为，，，， 不能组成直角三角形，选项A不符合题意. 选项B. 本组数中最长边为， ，， ， 不能组成直角三角形，选项B不符合题意. 选项C. 本组数中最长边为，，，， 不能组成直角三角形，选项C不符合题意. 选项D. 本组数中最长边为，，， ，能组成直角三角形，选项D符合题意. 【变式1-3】有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若三角形三边中两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系定理逐一验证各组数即可统计得到结果． 【详解】①，，, ， 能组成直角三角形； ②，，， ， 能组成直角三角形； ③，，， ， 能组成直角三角形； ④，，， ，，， 不能组成直角三角形； ⑤，，， ，不满足三角形三边关系定理， 不能构成三角形，故不能组成直角三角形； 综上，能组成直角三角形的个数为，故选C． 【题型 2·勾股数】 【例2】下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义即可逐项判断，即可求解． 【详解】根据勾股数定义，需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方． A、，，，不是勾股数，不符合要求； B、，，且，，都是正整数，是勾股数，符合要求； C、不是正整数，不是勾股数，不符合要求； D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合要求． 【变式2-1】下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个正整数若满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为一组勾股数，据此验证各选项即可求解，掌握勾股数的定义是解题关键． 【详解】解：A选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； B选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； C选项：，三个数均为正整数， 是一组勾股数，该选项符合题意； D选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意． 【变式2-2】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入，求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴． 【变式2-3】仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 【题型3·网格中判断直角三角形】 【例3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理的逆定理，可以判断是等腰直角三角形，即可求得； （2）同理，可判断是等腰直角三角形，根据四边形的面积，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：连接， ，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形的面积 ． 【变式3-1】如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【详解】（1）， ， ． （2）是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 【变式3-2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)点A到边的距离为2 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 【变式3-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 【题型 4··图形上与己知两点构成直角三角形的点】 【例4】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 【变式4-1】在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 【变式4-2】如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为______________． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 【变式4-3】如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，能构成___________  个直角三角形．    【答案】3 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，而，从而可得答案． 【详解】解：如图，，，是直角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 而， ∴直角三角形一共有3个； 故答案为3． 【点睛】本题考查的是直角三角形的定义，勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键． 【题型 5·利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式5-1】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理逆定理求出是直角三角形，则，从而得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，、， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 【变式5-3】如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 【题型 6·勾股定理的逆定理实际应用】 【例6】如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1) (2)总共需投入元 【分析】（1）直接利用勾股定理求出，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可； （2）利用（1）中所求计算出所需费用即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ （2）解：元， ∴总共需投入元． 【变式6-1】如图，东湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【答案】(1)234平方米 (2)7020元 【分析】（1）连接，首先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解； （2）用（1）中求出的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得：（米）． 在中，， ． （平方米）． （2）解：购买草坪需要的总价为（元） 答：购买草坪需要花7020元． 【变式是6-2】如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 【变式6-3】不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 【题型7·利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 【例7】（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点D所表示的数为，点E所表示的数为 【分析】（1）可看作是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，再结合正方形的性质画图即可． （2）由题意可得，由数轴的定义可知点E所表示的数为． （3）由题意画出数轴，在数轴上取点A，使点A表示的数为2，作直角三角形，使，则，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交数轴于点D，E，则点D所表示的数为，点E所表示的数为． 本题考查了无理数与勾股定理，数轴与实数，勾股定理与网格，在数轴上表示实数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 【变式7-1】如图，是直角三角形，点在数轴上对应的数为，且，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则、两点间的距离为（    ） A．0.4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是直角三角形，且，，利用勾股定理得到，再根据基本尺规作图-画弧，确定，最后根据得到答案． 【详解】解： 是直角三角形，且，， 利用勾股定理得到， 根据基本尺规作图-画弧，得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及基本尺规作图，掌握勾股定理的运用，理解画弧得到线段相等是解决问题的关键． 【变式7-2】如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，再次利用两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【详解】解：如图所示：点表示的数为，点表示的数为，， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 故选：B． 【变式7-3】下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                   但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 【答案】(1)2； (2)，； (3)； (4)见解析 【分析】本题主要考查无理数，实数与数轴，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题． （1）根据无理数定义进行判断即可； （2）根据勾股定理进行计算即可； （3）根据勾股定理求出，再用的长减去1即可得出点表示的数； （4）根据3和1构造直角三角形，得斜边为，即在数轴上找出对应的点即可． 【详解】（1）解：是无理数； 无理数； 是整数，属于有理数， 所以，无理数有2个， 故答案为：2； （2）解：在中， ∵, ∴； 在中， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵ ∴, ∵点对应的数是， ∴点表示的数为； （4）解：如图，点表示的数是 随堂检测 【随堂检测】 1．以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形． 【详解】A．最长边为，∵，，∴，能组成直角三角形； B．最长边为，∵，，，∴不能组成直角三角形； C．最长边为，∵，，，∴不能组成直角三角形； D．最长边为，∵，，，∴不能组成直角三角形． 2．下列各组数中一定是勾股数的是（    ） A．2，4，5 B．5，12，13 C． D． 【答案】B 【分析】勾股数需满足两个条件：1 三个数均为正整数；2 两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据勾股数的定义逐项判断． 【详解】∵ 选项C中，不是正整数，选项D中三个数都不是正整数， ∴选项C、D不是勾股数； 选项A：将三个数从小到大排序为， ∵ ，，， ∴选项A不是勾股数； 选项B，满足，符合勾股数定义， ∴选项B是勾股数； 故选：B． 3．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 4．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 5．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 6．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 7．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 【答案】511 【分析】通过观察图形，分析每一代勾股树中正方形个数的构成，归纳出第代正方形个数的规律，代入利用有理数的乘方运算进行计算． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第n代勾股树中正方形有（个）， 第八代勾股树中正方形有（个）． 8．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 9．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $