暑期预习讲义（第1讲）——勾股定理与逆定理 - 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第1讲）——勾股定理与逆定理 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识回顾 2 直角三角形定义与边角关系 2 二.教材知识梳理 2 【知识点一】勾股定理 2 【知识点二】勾股定理逆定理 3 【知识点三】勾股数 3 三.经典题型精析 3 第一部分：基础题型 3 【题型 1】 直接用勾股定理求边长 3 【题型 2】 勾股逆定理判定直角三角形（给三边长判形状） 4 【题型 3】 勾股数 4 【题型 4】 逆定理证明垂直（几何简答） 5 第二部分：中档综合题型 6 【题型 5】 勾股定理的证明 6 【题型 6】 勾股定理与折叠问题 7 【题型 7】 勾股定理与最值问题 8 第三部分：勾股定理的应用 9 【题型 8】 勾股定理的应用——求旗杆高度与求小鸟飞行距离 9 【题型 9】 勾股定理的应用——求大树折断前的高度与求梯子滑落高度 10 【题型 10】 勾股定理的应用——解决水杯中筷子问题与河宽 11 四. 同步自测 13 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识回顾 直角三角形定义与边角关系 类型 基本图形 结论 直角三角形三边 在中， （1） 直角边、；斜边：； （2） ； 直角三角形两锐角关系 30°锐角所对直角边与斜边的关系 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系 在中，是斜边的中线，则有： （1） ； （2） . 二.教材知识梳理 【知识点一】勾股定理 定理内容 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学语言 【要点说明】（1）适用前提：只在直角三角形中才能成立；（2）由得到，。 【知识点二】勾股定理逆定理 定理内容 如果三角形三条边的长度满足，那么这个三角形是直角三角形。 数学语言 在中，若，则有：。 【要点说明】（1）勾股定理：由直角三角形得到三边平方关系：知形算边；（2）逆定理：三边平方关系得到直角三角形：知边判形，二者互为互逆定理；（3）若则三角形为锐角三角形；若则三角形为钝角三角形。 【知识点三】勾股数 在中，若满足，的三个正整数，称为勾股数。 【要点说明】（1）常见的勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；8，15，17；9，40，41。（2）若为奇数，则另两边为，；设短直角边为为奇数，则另两边为，。 三.经典题型精析 第一部分：基础题型 【题型 1】 直接用勾股定理求边长 【例题1】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． （1）若，，求c； （2）若，，求b． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，于，，，则为___． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． （1）已知，求； （2）已知，求（用含的式子表示）． 【题型 2】 勾股逆定理判定直角三角形（给三边长判形状） 【例题2】（25-26八年级下·江西宜春·期中）已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）将下列长度的线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．3，4，5 C．3，4，7 D．4，5，6 【变式2】（2026·福建莆田·二模）在中，，，，若，则的度数是__________． 【变式3】（25-26八年级下·广西梧州·期中）在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【题型 3】 勾股数 【例题3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． （1）60，_____，_____； （2）60，_____，_____； （3）60，_____，_____． 【变式1】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列几组数中，为勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，12 C．8，10，12 D．5，12，17 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元测试）判断下列各组数是不是勾股数． （1）3，4，7； （2）5，12，13； （3）； 【题型 4】 逆定理证明垂直（几何简答） 【例题4】（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，在中．于点，，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列各组边长数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【变式3】（25-26八年级下·广西崇左·阶段检测）若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 第二部分：中档综合题型 【题型 5】 勾股定理的证明 【例题5】（25-26八年级下·全国·单元测试）“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，通过对图形的拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它代表了我国古人对数学的钻研精神和聪明智慧．如图是“赵爽弦图”的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为． （1）小正方形的面积是多少？（用含有，的代数式表示） （2）请你运用此图形证明勾股定理：． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【变式3】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． （1）请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； （2）请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【题型 6】 勾股定理与折叠问题 【例题6】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．25 B． C． D． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． （1）求证：． （2）若，，则的面积为__________． 【题型 7】 勾股定理与最值问题 【例题7】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是__________． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【变式2】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是______． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 第三部分：勾股定理的应用 【题型 8】 勾股定理的应用——求旗杆高度与求小鸟飞行距离 【例题8】（25-26八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】该数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量绳子比旗杆多出部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量点C与旗杆底部点B 之间的距离，测得距离为米． 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题意知 米，用含有x的式子表示的长为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期中）在一条笔直的道路旁，有一根灯杆．为方便顶部安装路灯，在灯杆顶部挂了一条绳子（如图）．已知绳子的长度比灯杆高度多2米，若将绳子的下端拉到距离灯杆底部6米的地面点，绳子恰好触及地面，则灯杆的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【变式2】（2026九年级·吉林·专题练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【变式3】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【题型 9】 勾股定理的应用——求大树折断前的高度与求梯子滑落高度 【例题9】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____． 【变式3】（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． （1）求这架云梯顶端A处的高度； （2）当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【题型 10】 勾股定理的应用——解决水杯中筷子问题与河宽 【例题10】（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【变式3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段检测）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 4. 同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 6．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 8．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 10．（22-23八年级上·陕西·期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 12．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 13．（25-26七年级下·广东深圳·期中）赵爽弦图中，一个大正方形是由四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内），飞镖落在小正方形内的概率是_____． 14．（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 15．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）中，若，则______． 16．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 17．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 18．（25-26八年级下·福建·期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——勾股定理与逆定理 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识回顾 2 直角三角形定义与边角关系 2 二.教材知识梳理 2 【知识点一】勾股定理 2 【知识点二】勾股定理逆定理 3 【知识点三】勾股数 3 三.经典题型精析 3 第一部分：基础题型 3 【题型 1】 直接用勾股定理求边长 3 【题型 2】 勾股逆定理判定直角三角形（给三边长判形状） 5 【题型 3】 勾股数 7 【题型 4】 逆定理证明垂直（几何简答） 9 第二部分：中档综合题型 11 【题型 5】 勾股定理的证明 11 【题型 6】 勾股定理与折叠问题 14 【题型 7】 勾股定理与最值问题 17 第三部分：勾股定理的应用 21 【题型 8】 勾股定理的应用——求旗杆高度与求小鸟飞行距离 21 【题型 9】 勾股定理的应用——求大树折断前的高度与求梯子滑落高度 24 【题型 10】 勾股定理的应用——解决水杯中筷子问题与河宽 27 四. 同步自测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.知识回顾 直角三角形定义与边角关系 类型 基本图形 结论 直角三角形三边 在中， （1） 直角边、；斜边：； （2） ； 直角三角形两锐角关系 30°锐角所对直角边与斜边的关系 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系 在中，是斜边的中线，则有： （1） ； （2） . 二.教材知识梳理 【知识点一】勾股定理 定理内容 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学语言 【要点说明】（1）适用前提：只在直角三角形中才能成立；（2）由得到，。 【知识点二】勾股定理逆定理 定理内容 如果三角形三条边的长度满足，那么这个三角形是直角三角形。 数学语言 在中，若，则有：。 【要点说明】（1）勾股定理：由直角三角形得到三边平方关系：知形算边；（2）逆定理：三边平方关系得到直角三角形：知边判形，二者互为互逆定理；（3）若则三角形为锐角三角形；若则三角形为钝角三角形。 【知识点三】勾股数 在中，若满足，的三个正整数，称为勾股数。 【要点说明】（1）常见的勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；8，15，17；9，40，41。（2）若为奇数，则另两边为，；设短直角边为为奇数，则另两边为，。 三.经典题型精析 第一部分：基础题型 【题型 1】 直接用勾股定理求边长 【例题1】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． （1）若，，求c； （2）若，，求b． 【答案】（1）13；（2）20 【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出第三条边的长度． 解：（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； ∴； （2）解：在中，，， ， ∴ 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可． 解：∵在中，，且为斜边， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，于，，，则为___． 【答案】6 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． （1）已知，求； （2）已知，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）13；（2） 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 解：（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； ∴（负值不符合题意，舍去）． （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 ∴（负值不符合题意，舍去）． 【题型 2】 勾股逆定理判定直角三角形（给三边长判形状） 【例题2】（25-26八年级下·江西宜春·期中）已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【答案】是直角三角形 【分析】根据绝对值的非负性可求出的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 解：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）将下列长度的线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．3，4，5 C．3，4，7 D．4，5，6 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，先确定三边中的最长边，计算最长边的平方，再计算两短边的平方和，比较二者是否相等，若相等则能组成直角三角形，逐一验证选项即可． 解：A、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形； B、∵，， ∴， ∴能组成直角三角形； C、由于，不满足三角形的三边关系，故不能组成三角形，更不能组成直角三角形； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形． 【变式2】（2026·福建莆田·二模）在中，，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． 【变式3】（25-26八年级下·广西梧州·期中）在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【答案】36 【分析】根据勾股定理得到，证明是直角三角形，求出和的面积，相加即可． 解：，即， ∴在中，， 在中，， 是直角三角形，且， 的面积为：，的面积为：， ∴四边形的面积为． 【题型 3】 勾股数 【例题3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数． （1）60，_____，_____； （2）60，_____，_____； （3）60，_____，_____． 【答案】（1）80，100；（2）45，75；（3）36，48 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键． （1）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可． 解：（1）解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100； 故答案为：80，100； （2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75； 故答案为：45，75； （3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60； 故答案为：36，48． 【变式1】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列几组数中，为勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，12 C．8，10，12 D．5，12，17 【答案】A 解：∵勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方， 对选项A：，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项B：，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项C：，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项D：，，，不是勾股数，不符合题意. 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查勾股数，判断各组数是否为正整数，并验证是否满足勾股定理即可． 解：（1）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （2）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （3）三个数均为正整数，但，该组数不是勾股数； （4）三个数不是正整数，该组数不是勾股数． 故答案为：（1）（2）． 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元测试）判断下列各组数是不是勾股数． （1）3，4，7； （2）5，12，13； （3）； 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．）及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断． 解：（1）解：因为， 所以3，4，7不是勾股数； （2）解：因为， 所以5，12，13是勾股数； （3）解：因为勾股数不能为分数， 所以不是勾股数． 【题型 4】 逆定理证明垂直（几何简答） 【例题4】（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，在中．于点，，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）25；（2）是直角三角形，见分析 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求解即可． 解：（1）解：，，，， ∴， ， ∴， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ∴， ， ∵，， ， 是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列各组边长数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 解： A．∵，，，∴A不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵，，∴，∴B能构成直角三角形，符合题意； C．∵，，，∴C不能构成直角三角形，不符合题意； D．最大边为，∵，，，∴D不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 【变式3】（25-26八年级下·广西崇左·阶段检测）若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 【答案】84 【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后计算直角三角形的面积即可． 解：∵，且， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为和， ∴的面积． 第二部分：中档综合题型 【题型 5】 勾股定理的证明 【例题5】（25-26八年级下·全国·单元测试）“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，通过对图形的拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它代表了我国古人对数学的钻研精神和聪明智慧．如图是“赵爽弦图”的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为． （1）小正方形的面积是多少？（用含有，的代数式表示） （2）请你运用此图形证明勾股定理：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）先求出小正方形的边长，再根据正方形的面积公式即可解答； （2）根据中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积结合（1）中结论列出等式，利用完全平方公式变形即可证明． 解：（1）解：由图知小正方形的边长为， 即小正方形的面积是； （2）解：由图知小正方形的面积可以用表示，也可以用表示， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． （1）请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； （2）请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【答案】（1）直角梯形，见分析；（2）见分析 【分析】（1）由图中给出的三个三角形组成一个直角梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，列出等式即可求出勾股定理； （2）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 解：（1）解：是直角梯形； 由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． （2）解：将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： 【题型 6】 勾股定理与折叠问题 【例题6】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题． 设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 解：设， ， 由折叠可知， ∵四边形是长方形，， ， ， 解得：， 的长为10． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 解：设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．25 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． （1）求证：． （2）若，，则的面积为__________． 【答案】（1）见分析；（2）78 【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定； （2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可． 解：（1）解：四边形是长方形， ，， ． 由折叠的性质，得，，， ，，， ． 在和中， ． （2）解：由折叠的性质，得． 设，则． 在中，， ，解得． ， ， ． 【点拨】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题的关键． 【题型 7】 勾股定理与最值问题 【例题7】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 解：如图，根据题意，得， 设，则， 根据题意，得， ∴ 当取最大值，有最小值， 当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值， 解得：，即CE的长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题；连接．利用勾股定理求出，根据，由此可得结论． 解：连接． ∵将沿折叠，使点落在，连接， ∴ ∵ ∵正方形的边长是6，点是上一点，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，可得结论．确定的最小值为是解题的关键． 解：如图，连接， ∴，即， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 第三部分：勾股定理的应用 【题型 8】 勾股定理的应用——求旗杆高度与求小鸟飞行距离 【例题8】（25-26八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】该数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量绳子比旗杆多出部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量点C与旗杆底部点B 之间的距离，测得距离为米． 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题意知 米，用含有x的式子表示的长为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1），；（2）米 【分析】（1）直接根据题意即可解答； （2）利用勾股定理列关于x的方程求解即可． 解：（1）解：由题意可得：米，的长为米． （2）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意可得：，即， 解得：米． 答：旗杆的高度为米． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期中）在一条笔直的道路旁，有一根灯杆．为方便顶部安装路灯，在灯杆顶部挂了一条绳子（如图）．已知绳子的长度比灯杆高度多2米，若将绳子的下端拉到距离灯杆底部6米的地面点，绳子恰好触及地面，则灯杆的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】B 【分析】设灯杆为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长． 解：如图： 设灯杆为x米，则绳子的长为米， 在直角中，米，， ∴， 解得， ∴灯杆为8米． 【变式2】（2026九年级·吉林·专题练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】（1）米；（2）小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 解：（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【题型 9】 勾股定理的应用——求大树折断前的高度与求梯子滑落高度 【例题9】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理即可列出方程． 解：设折断处离地面的高度为尺， ∵竹子原高一丈，一丈尺， ∴未折断部分高度为尺，折断部分的长度为尺， ∵抵地处到竹子底部的水平距离为尺，三者构成直角三角形，折断部分为斜边， ∴根据勾股定理可得． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解． 解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． （1）求这架云梯顶端A处的高度； （2）当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】（1）；（2）底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 解：（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 【题型 10】 勾股定理的应用——解决水杯中筷子问题与河宽 【例题10】（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， （尺）； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 【变式3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段检测）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 4. 同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由勾股定理得， ， ，选项符合题意． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可． 解：设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺， 将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺， 门宽尺；竖着放，门高尺， 则由勾股定理可得． 5．（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 6．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 7．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案． 解：选项A中， ， ，，故A不符合题意． 选项B中， ，，，故B不符合题意． 选项C中，，，即，且三个数均为正整数，故C符合题意． 选项D中， ，，，故D不符合题意． 8．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 10．（22-23八年级上·陕西·期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 12．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 解：在中和中，，， 故答案为：40． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 13．（25-26七年级下·广东深圳·期中）赵爽弦图中，一个大正方形是由四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内），飞镖落在小正方形内的概率是_____． 【答案】 解：正方形的面积为， 正方形的面积为， ∴飞镖落在小正方形内的概率是． 14．（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）中，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得为直角三角形，． 解：中， ， 为直角三角形， ， 如图： 故答案为：． 16．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，米，米，，由勾股定理得：，解方程即可求出所求． 解：由题意得：米，米，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则旗杆的长为米． 故答案为：． 18．（25-26八年级下·福建·期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 【答案】 【分析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，然后通过勾股定理即可求解． 解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用． （1）根据题意，，由此即可求解； （2）设，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 解：（1）解：由题意可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：设，依题意得：， ∵， ∴，即， 解得：， 答：钟摆的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理逆定理，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 解：（1）证明：，， ， ， 即． （2）解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 【答案】24 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出是直角三角形．根据三角形面积求出，推出、的平方和等于的平方，求出，根据三角形面积公式求出即可． 解：的面积为， 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得， 答：绳索的长是． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）小凳子顶点与墙面的距离为；（2）小凳子宽的长度为，木杆的长度为 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； （2）如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，      ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $