重庆市第十八中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 以脑机接口产业、乡村振兴投篮比赛为情境，通过函数切线、概率统计、导数应用等核心模块，分层考查数学眼光（创新意识）、思维（逻辑推理）与语言（数据观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数切线、排列组合、正态分布|基础题（如1题函数切线）与多选题（如9题统计概念辨析）结合，考查抽象能力| |填空题|3题/15分|函数零点、涂色问题|13题函数零点考查几何直观，14题涂色问题体现空间观念| |解答题|5题/77分|分布列、导数极值、回归分析、新定义|17题脑机接口回归分析（数据观念），19题极值可差比函数（创新意识），综合考查模型意识与推理能力|

2025-2026 学年(下)期末考试 高 2027 届数学试题 考试说明: 1、考试时间 120 分钟 2. 试题总分 150 分 3. 试卷页数 4 页 一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数 在点 处的切线方程是 ,则 ( ) A、 2 B. 4 C. 8 D. 12 2. 某班有 5 名男生和 2 名女生，现从中选出 3 人参加校运动会志愿者服务，要求选出的 3 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A. 20 种 B. 25 种 C. 30 种 D. 35 种 3. 随机变量 服从标准正态分布 ,已知 ,则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 随机变量 的分布列如下表所示: 1 2 3 4 0.3 m 0.1 2m 则 ( ) A. 2 B. 2.4 C. 2.6 D. 2.8 5. 设函数 ，已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 现有 5 张完全相同的卡片, 其中 2 张写有数字 7 , 另外 3 张分别写有数字 2、3、5 , 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出 4 张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为( ) A. 48 B. 60 C. 72 D. 84 7. 已知定义在 上的函数 ,满足 ,其中 是 的导函数，若 ，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 8. 已知某工厂有两条生产线生产同一种零件，第一条生产线的产量占总产量的 60%，第二条生产线的产量占总产量的 40%. 若零件来自第一条生产线，则其为次品的概率为 0.1 ； 若零件来自第二条生产线，则其为次品的概率为 0.2 . 则从该厂生产的所有零件中随机抽取一个，该零件为正品的概率为( ) A. 0.80 B. 0.82 C. 0.84 D. 0.86 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列关于随机变量与统计的说法正确的是( ) A. 由独立性检验推断有 95%的把握认为 “吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有 95%的可能性患有肺病 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.92 和 0.88 ，则甲组数据的相关性更强 C. 对任意随机变量 ,若 ,则 D. 已知随机事件 相互独立,且 ,则 10. 若 的二项展开式共有 8 项，则该二项展开式中( ) A. 各项二项式系数和为 128 B. 有理项共有 5 项 C. 展开式中 的系数为 21 D. 展开式中第 5 项的系数最大 11. 已知 时,函数 恒成立,则下列判断正确的是 ( ) A. 方程 有且仅有两个不同的实数解 B. C. D. 的最大值为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 若 ，则 _____. 13. 已知函数 ,若函数 有四个不同的零点,则 的取值范围是_____. 14. 给图中 五个区域涂色,规定每个区域只涂 1 种颜色, 且相邻区域的颜色不能相同, 若有 6 种不同的颜色可供选择, 则不同的涂色方法种数为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15. (13 分) 已知袋中装有 4 个白球和 2 个黑球, 所有球除颜色外完全相同. (1)若从袋中随机不放回地连续抽取 3 次，每次抽取 1 个球，设取到白球的个数为 ，求 的分布列: (2)若从袋中随机有放回地连续抽取 3 次，每次抽取 1 个球，规定摸到黑球得 3 分，摸到白球得 1 分,设 3 次抽取的总得分为 ,求 的数学期望. 16. (15 分) 已知函数 、 (1)当 ， 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 有根小值，且极小值小于 0，求 的取值范围. 17. (15 分) 脑机接口, 即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接, 实现脑与设备的信息交换、埃隆、马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑、未来 10 到 20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值、为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期,某科技公司决定增加一定数量的研发人员,经过调研,得到年收益增量 (单位: 亿元)与研发人员增量 (单位: 人)的 10 组数据,现用模型 ① ， ② 分别进行拟合, 由此得到相应的经验回归方程, 并进行残差分析, 得到如图所示的残差图、 根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据(1)中所选模型， (i)求出 关于 的经验回归方程； (ii) 预测要使年收益增量超过 8 亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ,其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 18、为响应全国乡村文化振兴活动，某村举办了“潮艺焕彩一全民参与”为主题的投篮比赛， 设置了个人挑战赛与双人对抗赛两个环节，所有比赛结果相互独立， (1)个人挑战赛环节，由本村篮球高手 A 分别与甲、乙、丙三名挑战者各进行一局投篮比赛， 已知高手 与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 . (i)求比赛后高手 三局全胜的概率； (ii)若高手 A 与甲、乙、丙以不同顺序进行比赛，记高手 A “输第一局、而后连胜两局” 的概率为 ,试判断高手 先与甲、乙、丙三人中的哪个人比赛 最大,并写出判断过程; (2)双人对抗赛环节，由甲和乙进行投篮比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局, 比赛进行到一方比另一方多 2 分为止, 多得 2 分的一方赢得比赛. 已知每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛结果相互独立、若比赛最多进行 5 局,求比赛结束时比赛局数 的分布列及期望 的最大值. 19、定义:如果函数 在定义域内既有极大值点 ，也有极小值点 ，且 ,则称函数 为极值可差比函数,常数 称为该函数的极值差比系数. 已知函数 , (1)当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由: (2)是否存在实数 ，使 的极值差比系数为 ，若存在，求出 的值，若不存在, 请说明理由; (3)若 ，求 的极值差比系数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $