重庆市主城区七校联考2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024-2025 学年度(下)期末考试 高 2026 届 数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中二项式系数和为( ) A. 2 B. 16 C. 32 D. 64 2. 设随机变量 ,则 ( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 设函数 可导, 的图象如图所示,则导函数 可能为( ) A.B. C.D. 4. 已知 是函数 的导函数,且 ,则 ( ) A. -1 B. 6 C. D. -6 5. 设 . 随机变量 的分布列如下表所示,则随着 的增大,( ) 0 2 A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 6. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,定理内容如下: 如果函数 在闭区间 上的图象连续不间断,在开区间(a, b)内的导数为 ,那么在区间(a, b)内至少存在一点 , 使得 成立,其中 叫做 在 上的 “拉格朗日中值点”. 根据这个定理,可得函数 在 上的 “拉格朗日中值点” 的个数为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知变量 线性相关,其一组样本数据 ,满足 ,用最小二乘法得到的经验回归方程为 . 若增加一个数据(-6,1)后,得到修正后的回归直线的斜率为 2.1 , 则数据 (5,10) 相对于修正后的回归直线的残差为 ( ) A. -0.3 B. 0.2 C. 0.3 D. -0.2 8. 已知函数 对于任意的 满足 (其中 是函数 的导函数),则下列不等式不成立的是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部份分, 有选错得 0 分. 9. 下列结论正确的是( ) A. 若 ,则 与 相互独立 B. 若随机变量 的期望 ,则 C. 若随机变量 的方差 ,则 D. 若随机变量 服从二项分布 ,则 10. 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 11. 函数 ,若存在 ,使 成立, 则下列结论正确的是 ( ) A. B. D. 的最小值为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 若 的展开式中的常数项为32,则 _____. 13. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则 _____. 14. 为了提升数学素养,甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学打算选修学校开设的数学拓展课程, 现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修,每名同学均需选修且只能选修其中一门课程,每门课程至少有一名同学选修,甲不选修几何画板,且数独只能由乙和丙中的一人或两人选修,则不同的选修方法数共有_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数 . ( 1 )求函数 的单调区间和极值； ( 2 )求函数 在 上的最值. 16. (15 分)在2025年春节档电影中,由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评,票房一路飙升到国内第一,也是国内首部百亿票房,目前暂居全球票房第五. 其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解. 某同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关,他对全班40人进行了问卷调查,得到如下 列联表: 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 8 男生 4 总计 40 已知从全班40人中随机抽取1人,抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.7. (1)请将上面的 列联表补充完整,根据小概率值 的独立性检验,试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关; (2)从全班学生中随机选取 2 人,已知选出的两学生中一人喜欢哪吒角色一人不喜欢哪吒角色, 求选出的两学生性别不相同的概率. 附: . 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17.(15分)已知函数 (1)若 ,求 的图象在 处的切线方程； (2)若 在定义域上是单调函数,求 的取值范围； (3)若 存在两个极值点 ,试比较 与 的大小. 18.(17分)某人有两只盒子,盒子 A 装有 1 个白球和 4 个黑球,盒子 B 装有 4 个白球和 1 个黑球, 且两个盒子里球的大小材质均相同. 他通过掷一个均匀的六面骰子来选择盒子: 若骰子点数大于 2 ,则选择盒子 A；否则选择盒子 B . 然后他从选中的盒子中随机取出两球. (1)设随机变量 表示取出的两球中黑球数量. 求 的分布列及数学期望； (2)若在原取球规则基础上,从选择的盒子中第一次取球,将取出的球颜色记录下来并放回原盒子, 然后掷一枚均匀硬币,若正面朝上,则对第一次摸球的盒子中的球进行如下操作: 将白球和黑球数量互换; 若反面朝上,则球的情况不变; 之后再对这个盒子进行第二次取球,设两次取球取出黑球总数为 ,求 的数学期望. 19.(17分)已知函数 . (1)若 是 的极值点,求 的值, (2)在(1)的条件下,求 的单调性； (3)当 时,证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $$2024一2025学年度（下）期末考试高2026届数学参考答案及评分标准 一、选择题： 题号 2 3 4 5 8 9 10 11 答案 C B D D ABD ABD BCD 二、填空题： 12.2 13.n2 14.52 三、解答题： 15.解：函数f(x)=xnx-2x+1的定义域是(0，+∞) 又f(x)=nx-l,…2分 令f'(x)>0,得x>e,令f'(x)<0,得，0<x<e…4分 故函数f(x)的单调递减区间为(0，©)，单调递增区间为(e,十n),…5分 所以函数f(x)的极小值为f()=1-e,无极大值。…7分 (2)由(1)可知，f(x)在[l,e]上单调递减，在(e,e2上单调递增，…8分 所以f(x)在[，e]上的最大值为max{f(O),f(e} 因为f(1)=-l,f(e2)=1,f(e)=1-e …11分 所以f(x)mm=f(e2）=1,f(x)m=f(e）=1-e…13分 16.解：(1)因为从全班40人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.7， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为40×0.7=28，其中女生8人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为40-28=12，其中男生4人，则女生8人. 列联表补充如下， 第1页，共6页 喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色 总计 女生 8 8 16 男生 20 4 24 总计 28 12 40 …3分 零假设为H。:学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得 X2=4020X88x92=20≈5.08<6.635=X001,6分 28X12×24×16 63 根据小概率值《=0.01的独立性检验，我们没有足够证据证明学生喜欢哪吒角色与性别之间 存在显著关联，从而认为假设成立，即学生喜欢哪吒角色与性别无关联.…8分 (2)记选出的两生：“一人喜欢哪吒角色一人不喜欢哪吒角色”为事件M:“两生性别不相 同”为事件N,则P)= …10分 PAN)-CiCi+CiC …12分 PWM0=PM=C8C4tC2oC8=4…l5分 P(M) CiCk 7 17.解：(1)a=1,f(x)=x2-2x+2x,即f)=-1,即切点坐标为(1，-1) f)=2x-2+2.k=f1)=2,…3分 故切线方程为2x一y-3=0;…4分 （2)f)=2x-2+20-2x2-2x+206>0) f(x)在定义域上是单调函数且易知f'(x)≤0在(0，+∞)上不可能恒成立， 故∫'(x)20恒成立，即a≥-x2+x在(0，+0）上恒成立…7分 当x方时，一+取得最大值好故 …9分 4 (3)已知f)=2x-2+22,且f)存在两个极值点x1,x, 第2页，共6页 令f()=0即x2-x+a=0在(0，+∞)上有两个正根， [△>0 需满足+，=1>0，解得0<a< ……11分 2=a>0 f(x)+f(x2)=x-2x+2al1+x3-2x2+2lx =(+x2)2-2(3+x)-2x2+2al(x2) =1-2-2a+2ad =-1-2a+2ala …13分 ha)=-1-2a+2alnd0<a<) h@=2ha<0,ha在(o,子上单调递减，所以a>白=- 3+22 A 2 ·f)+f6,)>- 3+2ln2 …15分 2 18解：(1)选择A盒的概率为二， 选择B盒的概率为 …1分 3 3 如果在A盒子中取球： 2 3 为1白球1黑球的概率为 为2黑球的概率为 ci 不可能是两白球 如果在B盒子中取球： 为1白球1黑球的概率为 ic=2 为2白球的概率为 5 不可能是两黑球 5 X可取的值为0,1,2 131 PX=0)=3× 12 2 2. P(X=1)=×+× 3535 5 …6分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 5 2-5 2-5 第3页，共6页 …7分 12.26 E(0=0×5+1×亏+2× 55 …8分 (2)两次取球取出黑球总数Y可取的值为0,1,2,3,4…9分 由(1)易知，如果盒子中为1个白球和4个黑球，从中随机取出两球，则： 为1白球1黑球的概率为 c'cl_2 为2黑球的概率为 C_3 5 5 如果盒子中为4个白球和1个黑球，从中随机取出两球，则： 为1白球1黑球的概率 cia-2 为2白球的概率 3 C:5 C 5 131393 P(Y=0)=5×2×5× 35^25-15050 2x2xIx3+lx2x1x3+lx3xIx2+lx3xIx2-30=1 P(Y=1)=三× 一X一X一X 35253525352535251505 2212,2212,2313,1212,1212 PY=2)=2x X-X + -X ×一X 35253525352535253525 13135117 -X 352515050 22132312.2312.1213427 P=3)=×亏*2×写+*25+3*5*2*5*5*2515025 ×1 2313183 PW=4)=3×5*2X5=150 25 …15分 Y 0 1 2 3 4 P 3 1-5 17 7 3 50 50 25 25 E()=0× 3+1×+2x+3x7+4 311 …17分 505 5025 255 19. 解：(1)f(x)=2e24- …1分 x+m x=0是f()的极值点，f(0)=2- =0，解得m=1. 经检验m=1时，x=0是f(x)的极值点，故m=1…3分 第4页，共6页 (2)函数fx)=e2x-2m(x+1),其定义域为(-1，+m). f"(x)=2e2x-2 …4分 x+1 f"()=4e2+ Gx+D>0(>-所以)在(L+回)上为增函数，6分 2 又f(0)=0,…7分 所以当-1<x<0时，"()<0，当x>0时，f()>0. 所以f(x)在(-1,0)上为减函数：在(0，+∞)上为增函数：…9分 (3)证明：当mK2时，hmx+m<h(x+2),故只需证e“-2+2》>- 13 令h(x)=e2-2i(x+2)… …10分 十2，易知)在定义域(-2+网)上为增函数， 函数h(6x)=2e2-2 8）,H(0=1>0. e4 e4 8 故()=0在(-2+网上有唯一实数根，且∈(g0). …13分 当xe(-2,x)时，H()<0,当x∈(，+n)时，h'(x)>0, h(x)在(-2，x)上单调递减，在(x。,+n)上单调递增 从而当x=x,时，h(闭取得最小值。…14分 由)=0，得e=十2h+到=-2 ……15分 故h(x)≥h(x,)=e2-2n(x。+2). =、1 +4x。 。+2 s、1 +4x。+2)-8 x。+2 令t=+2e(安2》，即)=0-8， 第5页，共6页 p0=4-1-4t-1 t3 t2 >0 以D+4-8在（总，2）上单调递增，即以0>以号)= 23.2412 8 8 26 2613 即f)>-12 13 综上，当mK2时，fm> …17分 13 第6页，共6页