第09讲 随机现象与样本空间（5大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第09讲 随机现象与样本空间 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 随机现象 题型2 判断事件是否为随机事件 题型3 确定事件与随机事件的概率 题型4 判断事件是否为基本事件 题型5 写出样本空间 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 随机现象 1.区分确定性现象与随机现象掌握两类现象的判定标准 2.理解随机现象定义相同条件下重复试验结果不唯一事前无法预知单次结果 3.能举例辨析生活中的随机现象与必然/不可能现象 判断事件是否是随机事件 1.分清必然事件不可能事件随机事件三类概念 2.掌握判定逻辑试验结果不唯一且事前无法确定为随机事件 3.能快速辨析语句所属事件类型排除确定性事件干扰 确定性事件与随机事件的概率 1.熟记概率定值必然事件概率不可能事件概率 2.随机事件概率取值范围 3.能根据事件类型直接写出对应概率取值区间 判断事件是否为基本事件 1.掌握基本事件两大特征单次试验能发生互斥不可再拆分 2.区分基本事件与复合事件复合事件由多个基本事件组合而成 3.能拆解试验结果判断单个结果是否为基本事件 写出样本空间 1.理解样本点与样本空间定义全部样本点构成集合为样本空间 2.会用列举法书写有限试验的样本空间规范集合书写格式 3.分步拆解有序/无序试验不重不漏列出全部样本点 学习重点： 1.随机现象随机事件必然事件不可能事件的概念区分 2.基本事件的判定标准 3.规范书写各类试验的样本空间 4.三类事件对应的概率取值范围 学习难点： 1.有序试验与无序试验书写样本空间时区分样本点避免重复或遗漏 2.区分基本事件与复合事件容易把多个样本点组成的复合事件误判为基本事件 3.混淆确定性现象与随机现象的判定边界 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 随机现象 （1）确定性现象：在一定条件下__必然出现______的现象． （2）随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现_不同_______的结果，而且每次试验之前都_____无法预测___会出现哪一种结果的现象． 【易错提醒】 1.混淆随机现象与确定性现象误把条件固定结果唯一的必然现象当作随机现象 2.忽略“相同试验条件”前提条件发生改变时结果规律会同步变化 3.认为随机现象无任何规律大量重复试验下随机现象存在稳定概率规律 4.分不清不可能现象与随机现象不可能现象完全不会出现随机事件有发生可能 5.单次试验结果无法预判不等于没有范围限制随机现象结果存在固定取值集合 即时即练 1.（25-26高二上·上海普陀·期末）以下论述，描述正确的为__________.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的： ②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小： ③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的. 2.（24-25高二·上海·课堂例题）现实世界可以预见确切结果的现象称为________，具不确定性的现象称为________． 知识点02 随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的___子集_____称为的随机事件，简称___事件_____，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的__子集______，因此也是一个__事件______；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都__必然发生______，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个___事件_____；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都___不会发生_____，故称为不可能事件． 【易错提醒】 1.把必然事件不可能事件归为随机事件二者属于确定性事件不属于随机事件 2.认为概率等于0的事件都是不可能事件几何概型中存在概率为0的随机事件 3.认为概率等于1的事件都是必然事件几何概型中存在概率为1的随机事件 4.混淆随机事件与基本事件随机事件可由多个基本事件组合而成基本事件不可拆分 5.描述事件时缺少固定试验背景脱离试验无法判定事件是否为随机事件 即时即练 1.在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 2.（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 知识点03 样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的___结果______称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的__样本空间_______，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【易错提醒】 1.有序试验与无序试验样本点书写混淆造成样本点重复或遗漏 2.书写样本空间不使用集合大括号格式不规范 3.混淆样本点与样本空间样本点是单个试验结果样本空间是全部样本点的集合 4.拆分试验时漏写边界结果有限样本空间无法覆盖所有可能情况 5.重复书写等价样本点违背集合互异性错误扩大样本空间元素数量 6.误将复合事件当作单个样本点样本点必须是不可再拆分的单一结果 即时即练 1.掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点：__________，事件所包含的样本点：__________． 2.先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（   ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 题型1 随机现象 【例1】（24-25高二·上海·随堂练习）种下一粒种子发芽________随机事件（选用“是”；“否”填空）． 【例2】（24-25高二·上海·随堂练习）小明在校学生会主席竞选中获胜是否为随机事件，________．（选用“是”或“否”填空） 【技巧归纳】 1.先锁定试验的固定条件观察试验结果是否存在多种可能 2.能提前确定唯一结果为确定性现象结果不唯一且单次无法预判为随机现象 3.区分两类特例一定发生是必然现象一定不发生是不可能现象 4.遇到文字举例题抓住“重复试验、结果不唯一”两个核心特征快速判定 5.多组实例对比记忆固定条件下结果可变则归为随机现象 【变式1-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）如果，那么； （2）掷一枚硬币，出现反面； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 题型2 判断事件是否为随机事件 【例1】下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【例2】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【技巧归纳】 1.分三层排查先判断是否一定发生（必然事件）再判断是否一定不发生（不可能事件）其余为随机事件 2.核心判定标准相同条件下事件有可能发生也有可能不发生 3.结合试验背景分析脱离对应试验无法判定事件类型 4.举反例辅助验证找到一次不发生或一次发生即可排除确定性事件 5.牢记分类边界必然、不可能事件都不属于随机事件 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为________． 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型3 确定事件与随机事件的概率 【例1】对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【例2】通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【技巧归纳】 1.直接对应定值必然事件概率恒为1不可能事件概率恒为0 2.随机事件概率严格介于0到1之间满足 3.看到概率数值反向推导事件类型对应必然对应不可能 4.区分古典概型与几何概型几何概型中或也可能是随机事件 5.区间书写严格区分边界随机事件不能写成 【变式3-1】从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 【变式3-2】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ） A． B． C． D． 题型4 判断事件是否为基本事件 【例1】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是___的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的 ___． 【例2】连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一样本点. （ ） 【技巧归纳】 1.满足三条标准不可再拆分、单次试验可单独发生、任意两个事件互斥 2.拆分试验全部结果能拆分成更小结果的属于复合事件 3.检验互斥性两个事件无法同时出现才是独立基本事件 4.对比样本点定义单个样本点对应的事件才是基本事件 5.含有多种结果的组合事件直接判定不是基本事件 【变式4-1】事件与基本事件的概念相同吗？ 【变式4-2】定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的___事件称为该次试验的_____. 题型5 写出样本空间 【例1】连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【例2】一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 【技巧归纳】 1.先区分有序试验和无序试验有序需区分先后顺序无序合并相同组合避免重复 2.按顺序列举全部可能结果做到不重不漏覆盖所有边界情况 3.统一使用集合大括号书写单个结果为样本点全部样本点构成样本空间 4.分步拆解多步骤试验分阶段罗列再整合全部样本点 5.写完后对照试验条件复查剔除重复等价样本点补齐遗漏结果 【变式5-1】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【变式5-2】先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25高二·上海·课堂例题）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 3．（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 二、概念填空 5．（24-25高二·上海·随堂练习）新生婴儿是男孩是否随机现象？________． 三、填空题 6．（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中，________是不确定事件，________是必然事件，________是不可能事件．（填写序号） 7．（24-25高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有________． 8．（24-25高二·上海·课堂例题）从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 9．（24-25高二·上海·课堂例题）一个家庭中两个孩子性别的样本空间________（年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）． 10．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 11．（24-25高二·上海·随堂练习）三角形内角和为180°________随机事件．（选用“是”或“否”填空） 四、解答题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）写出下列试验的样本空间： (1)从班上抽出一人，观察其生日月份； (2)从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数； (3)袋中有编号为1~5的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 14．（24-25高二·上海·随堂练习）请列举生活中你见到的随机性现象的例子． 15．（24-25高二·上海·随堂练习）下面一句话含有怎样的随机性：向上抛掷一枚硬币． 16．（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 17．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 18．（24-25高二上·上海·课后作业）写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 随机现象与样本空间 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 随机现象 题型2 判断事件是否为随机事件 题型3 确定事件与随机事件的概率 题型4 判断事件是否为基本事件 题型5 写出样本空间 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 随机现象 1.区分确定性现象与随机现象掌握两类现象的判定标准 2.理解随机现象定义相同条件下重复试验结果不唯一事前无法预知单次结果 3.能举例辨析生活中的随机现象与必然/不可能现象 判断事件是否是随机事件 1.分清必然事件不可能事件随机事件三类概念 2.掌握判定逻辑试验结果不唯一且事前无法确定为随机事件 3.能快速辨析语句所属事件类型排除确定性事件干扰 确定性事件与随机事件的概率 1.熟记概率定值必然事件概率不可能事件概率 2.随机事件概率取值范围 3.能根据事件类型直接写出对应概率取值区间 判断事件是否为基本事件 1.掌握基本事件两大特征单次试验能发生互斥不可再拆分 2.区分基本事件与复合事件复合事件由多个基本事件组合而成 3.能拆解试验结果判断单个结果是否为基本事件 写出样本空间 1.理解样本点与样本空间定义全部样本点构成集合为样本空间 2.会用列举法书写有限试验的样本空间规范集合书写格式 3.分步拆解有序/无序试验不重不漏列出全部样本点 学习重点： 1.随机现象随机事件必然事件不可能事件的概念区分 2.基本事件的判定标准 3.规范书写各类试验的样本空间 4.三类事件对应的概率取值范围 学习难点： 1.有序试验与无序试验书写样本空间时区分样本点避免重复或遗漏 2.区分基本事件与复合事件容易把多个样本点组成的复合事件误判为基本事件 3.混淆确定性现象与随机现象的判定边界 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 随机现象 （1）确定性现象：在一定条件下__必然出现______的现象． （2）随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现_不同_______的结果，而且每次试验之前都_____无法预测___会出现哪一种结果的现象． 【易错提醒】 1.混淆随机现象与确定性现象误把条件固定结果唯一的必然现象当作随机现象 2.忽略“相同试验条件”前提条件发生改变时结果规律会同步变化 3.认为随机现象无任何规律大量重复试验下随机现象存在稳定概率规律 4.分不清不可能现象与随机现象不可能现象完全不会出现随机事件有发生可能 5.单次试验结果无法预判不等于没有范围限制随机现象结果存在固定取值集合 即时即练 1.（25-26高二上·上海普陀·期末）以下论述，描述正确的为__________.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的： ②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小： ③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的. 【答案】② 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【详解】对于①：随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故①错误； 对于②：概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，故②正确； 对于③：比如抛一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故③错误. 故答案为：② 2.（24-25高二·上海·课堂例题）现实世界可以预见确切结果的现象称为________，具不确定性的现象称为________． 【答案】 确定性现象 随机现象 知识点02 随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的___子集_____称为的随机事件，简称___事件_____，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的__子集______，因此也是一个__事件______；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都__必然发生______，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个___事件_____；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都___不会发生_____，故称为不可能事件． 【易错提醒】 1.把必然事件不可能事件归为随机事件二者属于确定性事件不属于随机事件 2.认为概率等于0的事件都是不可能事件几何概型中存在概率为0的随机事件 3.认为概率等于1的事件都是必然事件几何概型中存在概率为1的随机事件 4.混淆随机事件与基本事件随机事件可由多个基本事件组合而成基本事件不可拆分 5.描述事件时缺少固定试验背景脱离试验无法判定事件是否为随机事件 即时即练 1.在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 2.（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 知识点03 样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的___结果______称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的__样本空间_______，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【易错提醒】 1.有序试验与无序试验样本点书写混淆造成样本点重复或遗漏 2.书写样本空间不使用集合大括号格式不规范 3.混淆样本点与样本空间样本点是单个试验结果样本空间是全部样本点的集合 4.拆分试验时漏写边界结果有限样本空间无法覆盖所有可能情况 5.重复书写等价样本点违背集合互异性错误扩大样本空间元素数量 6.误将复合事件当作单个样本点样本点必须是不可再拆分的单一结果 即时即练 1.掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点：__________，事件所包含的样本点：__________． 【答案】 【分析】先求出各个事件的样本点，再利用交事件和并事件的性质求解即可. 【详解】由题得，，， 则，． 故答案为：； 2.先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（   ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 【答案】A 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可； 【详解】先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，共有4个样本点： 五角向上，一元向上；五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，一元向下； “至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”五角、一元都向上”三个样本点，正确； “只有一枚硬币正面向上”包括五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；两个样本点，错误； “两枚硬币都是正面向上”包括一个样本点；错误； “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包括一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，两个样本点，错误； 故选：A 题型1 随机现象 【例1】（24-25高二·上海·随堂练习）种下一粒种子发芽________随机事件（选用“是”；“否”填空）． 【答案】是 【分析】由随机事件的定义判断． 【详解】种下一粒种子可能发芽，也可能不发芽，故它是随机事件， 【例2】（24-25高二·上海·随堂练习）小明在校学生会主席竞选中获胜是否为随机事件，________．（选用“是”或“否”填空） 【答案】是 【分析】根据随机事件定义判定. 【详解】因为事件小明在校学生会主席竞选中获胜可能发生，有可能不发生， 故答案为：是. 【技巧归纳】 1.先锁定试验的固定条件观察试验结果是否存在多种可能 2.能提前确定唯一结果为确定性现象结果不唯一且单次无法预判为随机现象 3.区分两类特例一定发生是必然现象一定不发生是不可能现象 4.遇到文字举例题抓住“重复试验、结果不唯一”两个核心特征快速判定 5.多组实例对比记忆固定条件下结果可变则归为随机现象 【变式1-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）如果，那么； （2）掷一枚硬币，出现反面； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 【答案】（1）是确定性现象；（2）是随机现象；（3）是随机现象． 【分析】（1）（2）（3）根据确定性现象与随机现象的定义判断即可； 【详解】（1）如果，那么，是确定性现象； （2）掷一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面，故出现反面，是随机现象； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫，是随机现象. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象． 【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生，即可判断是哪种现象. 【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象； 对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象； 对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象； 对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象. 题型2 判断事件是否为随机事件 【例1】下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】A 【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答. 【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 【例2】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析. 【分析】利用随机现象、确定性现象的意义直接判断即可. 【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象； （2）明天上海局部地区下雨是随机现象； （3）明年小明又大一岁是确定性现象. （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象. 如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象； 掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象. 【技巧归纳】 1.分三层排查先判断是否一定发生（必然事件）再判断是否一定不发生（不可能事件）其余为随机事件 2.核心判定标准相同条件下事件有可能发生也有可能不发生 3.结合试验背景分析脱离对应试验无法判定事件类型 4.举反例辅助验证找到一次不发生或一次发生即可排除确定性事件 5.牢记分类边界必然、不可能事件都不属于随机事件 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为________． 【答案】④⑦ 【分析】根据不确定事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，四边形的内角和为， 所以度量四边形的内角和为为不可能事件； 对于②，抛掷一块石子，下落，是必然事件； 对于③，由题意，随机摸出一个球是红球是不可能事件； 对于④，抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，为不确定事件； 对于⑤，若为实数，则为必然事件； 对于⑥，若，则是不可能事件； 对于⑦，从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签为不确定事件. 故答案为：④⑦. 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据随机事件，基本事件，样本空间的定义进行判断，得到答案. 【详解】①因为随机事件是样本空间中满足一定条件的部分元素组成的集合， 所以在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集，①正确； ②基本事件是样本空间中不可再分的最简单的事件，而随机事件是由基本事件组合而成的，②错误； ③由基本事件的定义可知，样本空间中的两个基本事件不会同时发生，③错误； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，会导致对样本空间的划分不同，样本空间也不同；④正确； ⑤通过将随机事件对应到样本空间的子集，实现了从文字叙述到数学表达的转化，⑤正确． 故选：D 题型3 确定事件与随机事件的概率 【例1】对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【答案】D 【分析】根据随机事件概率的意义，即可判断选项. 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 【例2】通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【详解】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 【技巧归纳】 1.直接对应定值必然事件概率恒为1不可能事件概率恒为0 2.随机事件概率严格介于0到1之间满足 3.看到概率数值反向推导事件类型对应必然对应不可能 4.区分古典概型与几何概型几何概型中或也可能是随机事件 5.区间书写严格区分边界随机事件不能写成 【变式3-1】从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形可得答案． 【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形， 所以事件是必然事件． 故选：D．    【变式3-2】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机事件每次发生的概率是相等的，即可得出第99次抛掷出现反面的概率. 【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的， ∴无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为. ∴第99次抛掷出现反面的概率是. 故选：D. 题型4 判断事件是否为基本事件 【例1】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是___的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的 ___． 【答案】 互斥 和 【分析】根据基本事件的特点即可得到答案． 【详解】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 故答案为：互斥；和． 【例2】连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一样本点. （ ） 【答案】错误 【分析】根据随机事件的关系判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币次，“(正面，反面)，(反面，正面)”不是同一样本点，故错误； 故答案为：错误 【技巧归纳】 1.满足三条标准不可再拆分、单次试验可单独发生、任意两个事件互斥 2.拆分试验全部结果能拆分成更小结果的属于复合事件 3.检验互斥性两个事件无法同时出现才是独立基本事件 4.对比样本点定义单个样本点对应的事件才是基本事件 5.含有多种结果的组合事件直接判定不是基本事件 【变式4-1】事件与基本事件的概念相同吗？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】（1）必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理， 将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形． 这样，每个事件都是样本空间的一个子集． （2）基本事件的概念可类比集合中元素的概念， 试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件， 基本事件不能分解，不能同时发生（相当于集合中元素的互异性）． （3）事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件， 只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． 【变式4-2】定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的___事件称为该次试验的_____. 【答案】 随机 基本事件 题型5 写出样本空间 【例1】连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【答案】 【详解】样本空间. 【例2】一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 【答案】C 【详解】每枚骰子都有6种可能，所以全部的基本事件数为种． 【技巧归纳】 1.先区分有序试验和无序试验有序需区分先后顺序无序合并相同组合避免重复 2.按顺序列举全部可能结果做到不重不漏覆盖所有边界情况 3.统一使用集合大括号书写单个结果为样本点全部样本点构成样本空间 4.分步拆解多步骤试验分阶段罗列再整合全部样本点 5.写完后对照试验条件复查剔除重复等价样本点补齐遗漏结果 【变式5-1】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【答案】 【详解】根据题意得：两个骰子点数之和为10的样本点为：， 所以事件. 【变式5-2】先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 【答案】(1)（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） (2)2 【分析】（1）根据两枚硬币的可能情况，即可写出样本空间； （2）根据（1）样本空间中情况，即可写出答案. 【详解】（1）一共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种不同的结果， 其样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） （2）因为“一枚正面，一枚反面”，包括（正，反），（反，正）． 所以出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 2．（24-25高二·上海·课堂例题）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 【答案】D 【分析】根据确定事件、不确定事件的定义可得答案. 【详解】事件A：一年最多有366天，所以367人中至少有2人生日相同，是确定事件； 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况， 点数为偶数是不确定事件. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件的意义逐项分析即可求解. 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【分析】根据各选项中的随机试验，分析其样本空间的基本事件组成即可判断. 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 二、概念填空 5．（24-25高二·上海·随堂练习）新生婴儿是男孩是否随机现象？________． 【答案】否 【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生即可判断. 【详解】新生婴儿是男孩不是随机现象，是确定性现象. 故答案为：否. 三、填空题 6．（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中，________是不确定事件，________是必然事件，________是不可能事件．（填写序号） 【答案】 ①③⑤ ②⑥ ④ 【分析】根据随机事件、必然事件与不可能事件发生的概率逐个辨析即可. 【详解】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件； ②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件； ③是随机事件； ④当时，函数在定义域内为减函数，故④为不可能事件； ⑤是随机事件． 故答案为：①③⑤；②；④ 7．（24-25高二·上海·课堂例题）观察下列现象： ①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； ②导体通电，发热； ③异性电荷，相互排斥； ④实心铁块丢入水中，铁块浮起； ⑤买一张福利彩票，中奖； ⑥掷一枚硬币，反面朝上； 其中是随机现象的有________． 【答案】⑤⑥ 【分析】根据随机现象的定义逐个分析判断 【详解】对于①，在标准大气压下水加热到100℃，沸腾，是必然现象， 对于②，导体通电，发热，是必然现象， 对于③，异性电荷，相互排斥，是不可能现象， 对于④，实心铁块丢入水中，铁块浮起，是不可能现象， 对于⑤，买一张福利彩票，中奖，是随机现象， 对于⑥掷一枚硬币，反面朝上，是随机现象， 故答案为：⑤⑥ 8．（24-25高二·上海·课堂例题）从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 【答案】 【分析】根据题意直接列举即可. 【详解】若取出的两个球标号为1，2，则标号和为3， 若取出的两个球标号为1，3，则标号和为4， 若取出的两个球标号为2，3，则标号和为5， 所以此随机现象的样本空间是. 故答案为： 9．（24-25高二·上海·课堂例题）一个家庭中两个孩子性别的样本空间________（年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）． 【答案】{男男，男女，女男，女女} 【分析】利用样本空间的定义求解即可. 【详解】依据题意，共有男男，男女，女男，女女4种基本事件，构成全部样本空间. 故答案为：{男男，男女，女男，女女} 10．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 11．（24-25高二·上海·随堂练习）三角形内角和为180°________随机事件．（选用“是”或“否”填空） 【答案】否 【分析】由事件的定义判断． 【详解】这是个必然事件，故不是随机事件， 故答案为：否 四、解答题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）写出下列试验的样本空间： (1)从班上抽出一人，观察其生日月份； (2)从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数； (3)袋中有编号为1~5的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）（2）（3）根据样本空间的定义一一列举即可. 【详解】（1）从班上抽出一人，观察其生日月份， 则样本空间； （2）从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数， 则样本空间； （3）袋中有编号为的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和， 则样本空间. 13．（24-25高二上·上海·课后作业）同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 (4)， 【分析】（1）利用列举法可得样本空间； （2）根据样本空间即可得样本点个数； （3）根据样本空间可得答案； （4）根据样本空间可得答案. 【详解】（1）这个试验的样本空间为 （2）由（1）可知，这个试验的样本点的个数为； （3）“”包含的样本点为，，，， “且”包含的样本点为，，，，，； （4）由（1）可知，． 14．（24-25高二·上海·随堂练习）请列举生活中你见到的随机性现象的例子． 【答案】如走到十字路口，遇到红灯等（答案不唯一） 【分析】列举生活中见到的随机性现象的例子即可. 【详解】如走到十字路口，遇到红灯等（答案不唯一）. 15．（24-25高二·上海·随堂练习）下面一句话含有怎样的随机性：向上抛掷一枚硬币． 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】能够确定的是，因为重力作用，它必定会落在地面上．但究竟哪一面朝上，确是无法预知的． 16．（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）} (2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）} 【分析】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，然后利用列举法求解即可； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果， 则试验的样本空间为：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反）， （反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}； （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 {（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}. 17．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 【答案】(1)样本空间 (2)①；②；③ 【分析】（1）电路中有3个元器件，每个元器件都有正常或失效两种可能，并用1和0分别表示 ，由此得到样本空间. （2）由（1）的信息求出恰好两个元件正常，电路是通路，电路是断路的集合. 【详解】（1）分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示， 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，得集合. “电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，得集合. “电路是断路”等价于，，或，得集合. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）写出满足条件的样本点即可； （2）写出满足条件的样本点即可； 【详解】（1）记投掷两次骰子所得结果为，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果，事件：“数字之和大于8”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为； （2）抛掷枚硬币，若正面朝上，则记为，反之，则记为，所得结果表示为，事件：“抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $