第04讲 平面与平面间的位置关系（11大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第04讲 平面与平面间的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 面面平行的有关概念辨析 题型7 面面垂直的性质 题型2 证明面面平行 题型8 补全面面垂直的条件 题型3 面面平行的性质 题型9 求二面角的大小 题型4 面面平行的存在性 题型10 已知二面角求其他量 题型5 面面垂直的有关概念辨析 题型11 二面角的最值与范围 题型6 证明面面垂直 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 面面平行判定、面面平行图形判断 1.掌握面面平行定义，能直观区分两平面平行/相交 2.能依据图形条件快速判断两个平面是否平行 面面平行证明、相交直线、判定定理 1.熟记面面平行判定定理，规范书写完整证明过程 2.会在平面内找两条相交平行线完成面面平行推导 面面平行条件补全、定理要素 1.明确面面平行判定全部必备条件，不遗漏“相交直线” 2.能补齐命题中缺失的关键条件，辨析充分必要条件 面面平行性质、线线平行、交线平行 1.理解面面平行性质：两平行平面与第三个平面相交，交线互相平行 2.利用面面平行推导空间两条直线平行 面面平行、线面平行推导 1.牢记推论：两平面平行，一个平面内任意直线都平行于另一平面 2.借助面面平行直接证明线面平行 空间平行转化、线线/线面/面面平行互推 1.梳理三类平行的转化逻辑链：线线⇌线面⇌面面 2.根据题型灵活选择转化方向简化证明 传递性、面面平行推面面平行 1.掌握平行传递：若，则 2.利用中间平面搭桥证明两组平面平行 二面角定义、平面角、范围 1.理解二面角平面角构造要求：棱上一点，两面内垂直棱的射线 2.辨析易混概念，区分二面角、线线角、线面角范围 求二面角、定义法、垂线法、余弦定理 1.掌握找二面角平面角的三种基础方法 2.构造直角/斜三角形，用三角函数计算二面角度数 二面角、线段长、距离计算 1.借助二面角三角函数建立边长等量关系 2.由二面角大小求解点面距离、棱线段长度 二面角、线线角、线面角综合转化 1.理清二面角与线线角、线面角的换算关系 2.已知二面角求解空间线线、线面夹角大小 面面垂直判断、二面角为 1.面面垂直等价于二面角是直二面角 2.能根据几何体直观判定两平面垂直关系 面面垂直证明、面面垂直判定定理 1.熟记判定定理：一个平面过另一平面的一条垂线，则两面垂直 2.规范书写面面垂直完整证明步骤 面面垂直条件补全、垂线在面内 1.补齐面面垂直判定核心条件：直线垂直平面且直线在另一平面内 2.区分易混淆缺失条件，辨别假命题 面面垂直性质、面面垂直证线面垂直 1.掌握性质定理：两面垂直，在一个面内垂直交线的直线垂直另一平面 2.依托面面垂直推导线面垂直关系 空间垂直转化、线线/线面/面面垂直互推 1.梳理垂直转化链条：线线⊥⇌线面⊥⇌面面⊥ 2.综合证明题灵活切换垂直转化路径 学习重点： 1.面面平行判定定理、性质定理，三类平行互相转化 2.二面角平面角构造方法与角度计算 3.面面垂直判定定理、性质定理，面面垂直推导线面垂直 4.空间平行、垂直完整转化逻辑链 学习难点： 1.面面平行判定易忽略“两条相交直线”关键条件 2.复杂几何体中精准作出二面角的平面角 3.平行、垂直多条件综合证明，灵活选择转化路径 4.二面角与线线角、线面角的综合换算计算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面与平面之间的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 两平面相交 ____________ 有一条公共直线 两平面平行 ____________ 没有公共点 【易错提醒】 1.误判两平面位置：认为“无公共直线就是面面平行”，忽略两平面相交仅有一条公共直线 2.混淆空间平面传递性：垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交 3.命题判断遗漏前提：平面内多条直线平行另一平面，不能直接推出面面平行 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）已知l、m是两条互异的直线，、是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】B 【详解】选项A，仅当垂直于与交线时，错误. 选项B，根据面面平行的性质，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个，因此若且，则，正确. 选项C，若且，则或，错误. 选项D，若且，则或，错误. 2.（25-26高一下·上海·期末）已知、是两个不同的平面，、、是三条不同的直线，则下列选项正确的是（     ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，，，则或异面 【答案】D 【分析】A选项，根据线面平行的性质判断；B选项，根据线面平行的判定定理进行判断；C选项，根据线面垂直的性质判断；D选项，根据面面平行的性质进行判断． 【详解】A选项，平行于同一平面的两条直线可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误； B选项，若，且，则或，故B错误； C选项，若，则与可以相交或平行，若，则与可以异面或平行，故C错误； D选项，两平面平行，则平面内的直线没有公共点，可能异面也可能平行，故D正确． 知识点02 面面平行判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条_相交直线_____与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ,， ,______ 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线__平行____于另一个平面 ,______ 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_相交_____，那么两条_交线_____平行 ,,______ 【易错提醒】 判定定理易错 1.遗漏核心条件，只用平面内两条平行直线判定面面平行，必须是两条相交直线 2.忽略直线都在同一个平面内，分属两个平面的平行线无法证面面平行 性质定理易错 1.乱用性质：面面平行直接推出任意直线平行，只有第三个平面截得的交线才互相平行 2.混淆因果逻辑：判定是线线平行→面面平行；性质是面面平行→线线平行，证明时颠倒推导方向 3.遗漏推论前提：一个平面内直线平行另一平面，前提是两平面平行 即时即练 1.（24-25高三·全国·一轮复习）如图，空间六面体中，，，平面 平面为正方形，平面平面.求证： ； 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得平面 平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】 平面平面， 平面. 四边形为正方形， ， 平面，平面， 可得 平面. 平面平面， 平面 平面. 平面平面平面平面， . 2.（24-25高二·上海·课堂例题）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的判定与性质先证线线平行，再证线面平行，最后可证面面平行. 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且， 所以平面平面β. 知识点03 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的__垂线____，则这两个平面垂直    ______、____________ 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线_____的直线与另一个平面垂直    ______、______、______、______⇒______ 【易错提醒】 判定定理易错 1.只证线线垂直就判定面面垂直，缺少“直线在其中一个平面内”关键条件 2.异面垂直直线不能用来证明面面垂直，必须是直线垂直完整平面 性质定理易错 1.面面垂直直接得出平面内所有直线垂直另一平面，只有垂直交线的直线才满足线面垂直 2.找不到交线就随意作垂线，使用性质定理必须先确定两平面交线 即时即练 1.（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得 ，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故 ， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 2.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，   分别是的中点， ，且， 又，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面 (2)证明： 底面，平面，， ，，， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 知识点04 二面角的平面角 概念 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于__棱____的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫作二面角的平面角 图示 符号 ，，，，，是二面角的平面角 范围 规定 二面角的大小可以用它的__平面角____来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是__直角____的二面角叫作直二面角 【易错提醒】 1.构造平面角出错：两条射线不垂直棱、顶点不在棱上，构不成标准二面角平面角 2.记错取值范围：二面角范围是，容易和线面角混淆 3.计算钝角二面角时直接取锐角，二面角保留原始钝角，无需取补角 4.误将异面直线夹角当作二面角，二者定义、取值范围完全不同 5.直二面角判定混淆：仅局部线垂直不能判定，必须平面角等于 即时即练 1.（2026·上海宝山·三模）如图，在三棱锥中，，点O是AC的中点，且底面与底面ABC所成角的大小为．    (1)求证：； (2)求二面角P－BC－A的大小. 【答案】(1)连接OB，因为，O为AC中点，故； 又平面ABC，平面ABC，则． 因平面，，则平面． 因平面，则 ； (2) 【分析】（1）连接OB，通过证明平面可完成证明； （2）取BC中点为D，连接OD，PD，由题可得为二面角的平面角，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）取BC中点为D，连接OD，PD，因，， 则，又平面ABC，平面ABC，则． 因平面，，则平面， 又平面，则，从而为二面角的平面角． 由题可得为与底面ABC所成角,大小为，又，， 则，又， （因平面ABC，平面ABC），则， 则二面角的平面角大小为．    2.（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证； （2）过作，垂足为，求证平面，即可得出点到平面的距离，再求出点到直线的距离，即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，所以，所以， 因为平面，所以平面. （2）过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为， 所以，则， 所以点到直线的距离为， 所以二面角的平面角的正弦值为， 由于二面角的平面角为钝角，则其正切值为， 故二面角的大小为. 题型1 面面平行的有关概念辨析 【例1】（2025高二上·上海松江·专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理及空间想象逐一判断即可. 【详解】A：若，，则或，错， B：若，，则平行、异面、相交均可能，错， C：假设，因，则，又，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，对， D：平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，（如：三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧），错. 故选：C 【例2】（25-26高二上·上海·期中）下列命题中的假命题为（   ） A．没有公共点的两平面平行 B．已知平面，，直线，若，且，则 C．已知平面，，直线，，若，，且与不平行，，则与异面 D．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交 【答案】B 【分析】由平面平行的概念、判定定理、性质定理逐个判断即可. 【详解】对于A，由面面平行概念可知没有公共点的两平面平行，该命题为真命题； 对于B，若直线，且 ，平面､可能相交或平行，该命题为假命题； 对于C，由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又与不平行，故与异面，该命题为真命题； 对于D，若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，若这三个点分布在另一个平面的两侧，此时两平面相交，若这三个点分布在另一个平面的同侧且不共线，此时两平面平行，该命题为真命题； 故选：B 【技巧归纳】 公式结论 两平面位置：（无公共点）、（一条公共直线）； 面面平行判定：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面面面平行 方法技巧 1.举长方体反例快速否定错误命题 2.抓住核心限定词：相交直线、同一平面内，缺一则命题错误 【变式1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）下列命题中的假命题为__________. （1）没有公共点的两平面平行； （2）已知平面､，直线，若，且 ，则 ； （3）已知平面､，直线､，若，，且与不平行， ，则与异面； （4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. 【答案】（2）（4） 【分析】由平面平行的概念、判定定理、性质定理逐个判断即可. 【详解】由面面平行概念可知（1）为真命题； 若直线，且 ，平面､可能相交或平行，即（2）为假命题； 由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又与不平行，故与异面，（3）真命题； 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，这三个点可以分布在另一个平面的两侧，此时两平面相交，（4）假命题； 故答案为：（2），（4） 【变式1-2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 题型2 证明面面平行 【例1】（2025高二上·上海松江·专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案． 【详解】（1）连接，因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面； （2）因为，， ，可得是等边三角形， 所以， ， 设点A到平面的距离为， 由得，， 解得，所以点A到平面的距离为.    【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.中位线、平行四边形构造两组相交平行线 2.书写三步：找相交线→证分别平行另一平面→得出面面平行 【变式2-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）由线段的比例关系先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理得到平面和平面，然后由面面平行的判定定理可得； （2）由线面平行的性质定理得到，再由比例关系可得. 【详解】（1）    连接， 在中，因为， 所以，且， 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又犹豫，且平面， 所以平面平面ACP. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面 平面， 所以，又因为，所以， 所以. 【变式2-2】（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为正方形，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. 题型3 面面平行的性质 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________． 【答案】 【分析】由面面平行的判定定理和性质定理确定F的位置，由此可求EF长度的范围. 【详解】过作，交于点，交于，则易知底面， ∵平面，又易得平面，，且平面， 平面平面，又平面，平面， 又平面平面，平面 ∴ ∵为中点,为中点，则为中点, 即在线段上, ，， ，， 则线段长度的取值范围为：， 故答案为：. 【例2】（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 1.交线平行： 2.线面平行推论： 3.平行传递： 方法技巧 1.需作第三个辅助平面才能得到平行线 2.区分判定（线线→面面）、性质（面面→线线/线面）逻辑 【变式3-1】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是________. 【答案】 【分析】根据面面平行的性质定理可得答案. 【详解】由题意知，且， 根据面面平行的性质定理可得， 故答案为： 【变式3-2】（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为________． 【答案】 【分析】利用面面平行的性质确定动点P的运动轨迹即可. 【详解】是对角线的中点,故是正四棱柱的中心， 所以点均在平面上， 平面，即平面， ， 取的中点分别为, 且是棱的中点 ,, 且平面，平面， 平面，平面, 且平面，, 所以平面平面， 所以当平面时，平面， 此时平面，即平面. 且是正四棱柱的面上的动点， 故围成的图形即四边形, 四边形的周长为: . 故答案为： 题型4 面面平行的存在性 【例1】如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可； （2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可. 【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以. 又平面，PQ不在平面内， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即，故，所以. 又平面，PR不在平面内， 所以平面，又，平面. 所以平面平面. 【技巧归纳】 公式结论 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行 方法技巧 1.在定点平面内作两组相交平行线确定目标平面 2.假设存在反证，判断是否满足判定定理全部条件 【变式4-1】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明： ； (2)求证： 平面； (3)直线上是否存在点，使得平面 平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为 平面平面， 所以 平面， 又平面平面平面，所以 . (2)取中点，连接， 则在中， ， 又在中， ， 则 ， 即四边形为平行四边形，所以 ， 又平面平面，所以 平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面 平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中， ， 又平面平面，则 平面， 同理可证， 平面， 又平面 ， 所以平面 平面. 【变式4-2】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 题型5 面面垂直的有关概念辨析 【例1】（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 【例2】已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，，，则； ③若，，m，n是异面直线，那么n与相交； ④若，，则且． 其中错误的命题为______． 【答案】②③④ 【分析】由面面垂直的判定定理、线面平行的定理判断①④，由面面平行的判定定理判断②，由直线与平面的位置关系判断③． 【详解】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确； ②中，由面面平行的判定定理可知，当不相交时，不一定成立，所以②错误； ③中，若，，m，n是异面直线，那么n与相交或，所以③错误； ④中，若，，则且， 或，所以④错误． 故答案为：②③④ 【技巧归纳】 公式结论 面面垂直二面角为直二面角（平面角） 方法技巧 1.仅线线垂直不能推出面面垂直，必须有线面垂直作为桥梁 2.区分：垂直同一平面的两平面可相交，不一定平行 【变式5-1】（23-24高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线，平面给出下列命题： ①若，且，则； ②若 ，且 ，则 ； ③若 ，且，则； ④若 ，且 ，则 . 其中正确的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据面面垂直、面面平行的判定定理，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】命题①：若，，则，或， 又，所以，①正确； 命题②：若， ，则，或， 又，此时与可能平行，也可能相交，②错误； 命题③：若，，则，或， 又，此时与可能平行，也可能相交，③错误； 命题④：若，，则， 又，所以，④错误； 所以正确的命题个数是1. 故选：A 【变式5-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】对于，如图所示，当为平面和平面的交线时，推不出，故A错误； 对于，如图所示，，，，但推不出，故B错误； 对于C，因为，，所以可得，又，所以，故C错误； 对于，因为，，所以可得，又因为，所以，故D正确. 故选：D. 题型6 证明面面垂直 【例1】（25-26高三下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形得，由底面得，故平面，从而平面平面； （2）设，由体积公式及已知体积解得；利用中位线得 且 ，，由 平面知线面角为，计算得角的大小. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以， 又因为底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）设，底面为菱形，， 因此菱形面积，四棱锥体积​， 由题可知​​，得，即. 由于，则为中点，故. 连接，又由于是的中点，则 ，， 从而底面，即， 又，从而平面，可知与平面所成角为. ，由于 ， 故与平面所成角的大小为. 【例2】（25-26高三·上海·二轮复习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.先证一条直线垂直目标平面，再证该直线在另一平面内 2.勾股定理、线面垂直判定证垂线 【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明，结合面面垂直性质定理证明平面，由此可得，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论. 【详解】由题可知，和都是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，为中点，，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得 ，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故 ， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 题型7 面面垂直的性质 【例1】如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出； （2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出. 【详解】（1）取的中点，连接． 在中，分别为的中点，所以，且． 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2）在矩形中，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． 在直角梯形中，，，可得． 在中，，， 因为，所以． 因为，平面， 所以平面． 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 【技巧归纳】 公式结论 性质定理： 方法技巧 1.解题第一步先找出两平面交线 2.在平面内作交线垂线，即可得到线面垂直 【变式7-1】（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明如下： 因为、分别为线段、上的点，且， 所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)证明如下： 因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，再得面面垂直即可证明； （2）证明平面，得出二面角的平面角，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在矩形 中，，平面， 又平面 平面 ，平面 平面， 平面， 平面 ， 平面 平面 . （2）取中点， CD中点F，连接, 是等边三角形， ， 又，平面， 所以平面，因为， 所以平面，平面， 所以, 为平面 与平面 所成的角， 又， 在中，， 所以. 题型8 补全面面垂直的条件 【例1】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 【例2】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 【技巧归纳】 公式结论 缺一不可：①直线垂直一个平面②直线包含在另一个平面内 方法技巧 1.优先补充“直线在平面内”“直线垂直另一平面”两类关键条件 2.排除仅有异面垂直、仅有交线垂直的残缺条件 【变式8-1】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，所以只需要再垂直于平面内的一条和相交的直线即可满足条件. 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 【变式8-2】已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为，，由面面垂直的判定定理可得．选项D正确. 题型9 求二面角的大小 【例1】（2026·上海·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 【答案】(1)∵圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分． ∴母线与母线的延长线必交于一点， ，，，四点共面， ∵圆面圆面，且平面圆面，平面圆面． ． (2) 【分析】（1）根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行. （2）先取线段、的中点分别记作点、，连接，，，根据二面角的平面角的定义证得即为所求的二面角的平面角，再求得的值，进而表示. 【详解】（1）略 （2）取线段、的中点分别记作点、，连接，，， 过点作平行线，交于点，连接， 又，故， 四边形是等腰梯形，故， 于是，即为所求的二面角的平面角， 又，，， 故，，则， ， 故． 故二面角的大小为． 【例2】（2026·上海宝山·三模）如图，在三棱锥中，，点O是AC的中点，且底面与底面ABC所成角的大小为．    (1)求证：； (2)求二面角P－BC－A的大小. 【答案】(1)连接OB，因为，O为AC中点，故； 又平面ABC，平面ABC，则． 因平面，，则平面． 因平面，则 ； (2) 【分析】（1）连接OB，通过证明平面可完成证明； （2）取BC中点为D，连接OD，PD，由题可得为二面角的平面角，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）取BC中点为D，连接OD，PD，因，， 则，又平面ABC，平面ABC，则． 因平面，，则平面， 又平面，则，从而为二面角的平面角． 由题可得为与底面ABC所成角,大小为，又，， 则，又， （因平面ABC，平面ABC），则， 则二面角的平面角大小为．    【技巧归纳】 公式结论 1.二面角范围： 2.余弦定理： 方法技巧 1.标准找角三步：棱上定点→两面作棱垂线→确定平面角 2.常用方法：定义垂线法、三垂线法构造直角三角形计算 【变式9-1】（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证； （2）过作，垂足为，求证平面，即可得出点到平面的距离，再求出点到直线的距离，即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，所以，所以， 因为平面，所以平面. （2）过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为， 所以，则， 所以点到直线的距离为， 所以二面角的平面角的正弦值为， 由于二面角的平面角为钝角，则其正切值为， 故二面角的大小为. 【变式9-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线构建平行关系，在平面找到一条线和平行，结合线面平行的判定证明； （2）过作，交的延长线于，连接，可得二面角的平面角，进而得解. 【详解】（1）连接，令，连接，则是、的中点， 在中是线段中点，是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； （2）如图，作出符合题意的图形， 过作，交的延长线于，连接， 由题知，，则，则， 显然平面，平面，则， 又，平面，，则平面， 由平面，则， 结合可知，二面角的平面角为， 而，，在直角三角形中，， 则，故二面角的大小是. 题型10 已知二面角求其他量 【例1】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）应用面面垂直性质定理结合，即可得出线面垂直； （2）应用二面角定义得出二面角的平面角为，再应用边长计算求值. 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质，进而可得平面； （2）在（ii）图中过点作，垂足为，进而得到二面角的平面角为，设，再由二面角的平面角的余弦值为，求出即可求解； （3）利用定义法将所求角的余弦值表示为一元函数，再利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ii）图中过点作，垂足为， 交于点，连接．由翻折知 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得； （3）如图所示，由（2）知， 所以平面平面，所以． 由（1）问，知平面且，所以平面， 又平面，所以，又， 且平面，所以平面， 又平面，所以． 在（ii）图中过点作交于点， 过点作，连接． 由（2）知平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 所以在平面的射影为，所以为直线与平面所成角． 注意到，即， 解得． 又， ，所以， 即，所以， 由（2）知，所以 （当且仅当时等号成立）． 【技巧归纳】 1.以二面角为等量桥梁，反推棱长、点面距离 2.结合勾股、体积公式求解线段、面积、体积 【变式10-1】（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 【变式10-2】如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. （2）连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：本题第3小题的解决关键是，利用三线合一分析得为二面角的平面角，从而得解. 题型11 二面角的最值与范围 【例1】已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 【例2】如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 【技巧归纳】 公式结论 二面角最小值趋近，最大值，直二面角为 方法技巧 1.分析动点运动时垂线、射影长度变化，判断余弦增减 2.单独计算边界位置角度，锁定完整取值区间 【变式11-1】（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【分析】（1）利用圆柱的特征及线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）利用二面角的定义先确定其一个平面角，再根据勾股定理及余弦定理计算夹角，得出参数范围，将二面角的平面角化为其补角的正切，利用正切的和角公式及基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知底面， 又底面，所以， 因为平面， 所以平面； （2）连接，易知M为的中点，平面， 由上可知， 则即二面角的一个平面角，显然， 设，易知， 由余弦定理可知， 即，解不等式可得， 易知， 当二面角为钝二面角时，， 所以 ， 当且仅当，即时取得等号， 则，所以. 【变式11-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设先证明和，由线线垂直推出平面，再由线面垂直的性质即可得证； （2）由（1）易得即为二面角的平面角，先证明平面，得到，在中，利用三角函数的定义和反三角函数即可求得； （3）根据（1）、（2）两题结论，易得，设，有，可得.过点作的垂线，垂足为，证明平面得到，借助于直角三角形求出，将上述结论代入中，整理成关于的正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1） 如图，因为，所以，连接， 因，，则为等边三角形 又点为棱的中点，故，因平面， 故平面，因面，故. （2）由（1）得：，， 则即为二面角的平面角 因为边长为2的等边三角形，则， 由，可得， 又，平面，故平面， 因平面，则 在中，因， 则. 所以二面角的大小为. （3）由（1）、（2）得：，因平面， 则得平面，又平面 则可得，且，设，则， 过点作的垂线，垂足为，因平面 平面则 因平面，故平面，所以， 在中，，在中，， 在中，，在中，， 所以 （其中是锐角，满足） 由题意，是线段上的一动点，且， 在中，，则 因，则，即 故当时，即时， 取得最大值为. 一、单选题 1．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 2．（24-25高二上·上海静安·期中）已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①若α∥β，则由若m⊥α，n⊥β，推出m∥n与m⊥n矛盾，因此α与β不平行，所以一定相交，由α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β．②若α∩β＝l，也满足条件，③由条件也可能α∥β．④由条件也可能α与β相交． 【详解】①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，这与m⊥n矛盾； 若α与β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β，因此①正确． ②若α∩β＝l，且m∥n∥l，则可满足m∥α，n∥β，故满足已知条件的α与β不一定平行，因此②不正确． ③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也满足条件，故③不正确． ④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，则可能有m∥n，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 3．（2025·上海普陀·一模）已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可. 【详解】由，，可得， 对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误； 对于B，若，则或，故错误； 对于C，因为，，所以，又， 所以，正确； 对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误； 故选：C 4．（25-26高一下·上海徐汇·期末）设，为不重合的平面，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（     ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，，则； A．① B．①② C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】由平行公理即可判断①；平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，可判断②错误；根据直线平行于一组平行平面中的一个平面，该直线可能平行于另一平面，也可能在另一平面内，即可判断③；根据两平行平面中的任意两条直线可能平行，也可能异面，可判断④. 【详解】解：由平行公理可知，，，则，所以①正确； 平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，所以②错误； 由，，则或，所以③错误； 由，，，则或与异面，所以④错误. 5．（25-26高二上·上海长宁·期末）在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】利用面面平行判定定理结合已知条件求出的轨迹，再求出点的轨迹长度． 【详解】 、、分别是棱、、的中点， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 平面平面， 直线与平面无交点，等价于平面， 平面，且平面平面， 平面时，平面， 是正方体表面的点， 轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边， 正方体边长为2， ，，， 点的轨迹长度为，故D正确． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 【答案】①④ 【分析】利用空间中点、线、面的位置关系判定即可. 【详解】由空间中点、线、面的位置关系可知： 过平面外一点有且仅有一条直线与平面垂直，故①正确； 过平面外一点有无数个平面与平面垂直，故②错误； 过平面外一点有无数条直线与平面平行，故③错误； 过平面外一点有且只有一个平面与平面平行，故④正确； 故答案为：①④ 7．（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为__________ .    【答案】 【分析】利用平面与平面平行的性质定理，得，，求与所成的角的余弦值即为所求. 【详解】设平面平面，过点与平面平行的平面为， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】延长分别到，使，取正方形的中心，的中点，连接，交平面于，可证得平面，延长交于，则为点P所形成的轨迹，过作于，过作于，利用，可求出，从而可求出的长即可. 【详解】因为直线与平面无交点，所以平面DEF， 所以需要在平面上找一点，设为，使平面平面， 延长分别到， 使， 取正方形的中心，的中点，连接，交平面于， 因为在正方体中，F，O分别为正方形，的中心， 所以，， 所以四边形为平行四边形，可得， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以∥平面， 延长交于，则为点P所形成的轨迹， 所以点P所形成的轨迹经过点O， 过作于，过作于， 则，所以， 所以，得，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 9．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求点到直线的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据线面角定义求得线面角平面角，进而求解即可； （2）根据面面平行可得平面，再由线面平行的性质即可证明；在中，求得边长，利用余弦定理得，再由三角函数计算即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为点为的中点，所以，， 所以， 即直线与平面所成角的为； （2）因为平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 连接，，， 在直三棱柱中，底面为正三角形， 所以，，， 在中，，则， 所以点到直线的距离为. 10．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，连接． (1)求证：平面； (2)若点为中点，求异面直线与所成的角的大小； (3)试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）连接，由二面角的定义可得，再利用异面直线所成角的定义求解. （3）作于点，由线面平行的性质求出点到平面的距离，再利用线面角的意义列式求出最大值即可. 【详解】（1）由，得，则， 因此，而平面， 所以平面. （2）连接，由点为中点，，得是的中点，而为中点， 则，是异面直线与所成的角或其补角， 由（1）得是二面角的平面角，，令， 则是正三角形，，由（1）得，于是， 而，在等腰中，，则， 所以异面直线与所成的角的大小为. （3）作于点，由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，平面，于是平面， 点到平面距离等于点到平面距离， 设，直线与平面所成的角为， 则， 而，因此，令， 则，当且仅当时取等号， 因此，，又为锐角，则， 所以直线与平面所成的角的大小存在最大值，最大值为. 11．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)因为长方形中， ，折叠过程中，， 又 平面， 平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； (2) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行； （2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小 【详解】（1）略 （2）因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面， 平面，故⊥， 因为 ，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 12．（25-26高一下·上海·期末）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与平面所成角为； (3)，理由如下： 在中，因为是的中点，是的中点，故； 因为平面，且平面； 故平面； 又因为平面平面，且平面， 故． 【分析】（1）在平面图中，根据三角形中已知两边及其夹角，利用余弦定理计算第三边即可； （2）利用线面角的作角方法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与交点，直线与投影所形成的夹角为线面角，通过解三角形的方法计算夹角即可； （3）根据线面平行的性质可知，过平面的平行线的平面与已知平面平行，交线与这条直线平行，由此进行证明即可． 【详解】（1）在中，已知，，； 由余弦定理可得， 整理得，解得； （2） 如图所示，作，连接； 因为平面，且平面，故平面平面； 因为平面平面，且，平面， 故平面，故为直线与平面所成角； 由（1）知，在中，已知，，， 故为直角三角形，； 根据面积公式可得，解得， 则； 在中，，，， 可得，则， 在中，由余弦定理可得 ， 解得； 故在直角三角形中，， 因为，故； 故直线与平面所成角为； （3）略． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】构造线线平行，得到线面平行，再根据线面平行，推出线线平行. 【详解】理由如下：如图，连接、、并分别延长交、、于P、F、H． ∵M、N，G分别为、、的重心，则有． 连接、，，有． 又平面，不在平面上， ∴平面．同理平面． 又，、平面， ∴平面平面． 14．（24-25高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接，利用几何关系得，，再利用线面垂直的判定定理，即可求解； （2）由（1）知为与平面所成的角，在中，利用，即可求解； （3）在上取点，使，连接，过作交于，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，进而可得平面平面，再由面面平行的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为. （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且. 【点睛】 15．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析，平面到平面的距离为. 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点面、面面的距离的定义求得平面到平面的距离. 【详解】（1）由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 16．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，作出辅助线，由线线平行，说明线面平行即可. （2）根据二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，再根据几何体的性质，设出边长，求出各线段长度，求出结果即可. 【详解】（1）如下图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 如图所示，过点作于点，过点作于点， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，设， 因为，中，，则，所以， 因为，中，，所以， 因为为的中点，所以， ，，则， 故二面角的大小为． 17．（25-26高二上·上海·期末）如图，在正三棱柱中，，，为棱上一点且. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，连接，异面直线与所成角等于异面直线与所成角，在三角形中计算得到答案； （2）取的中点，连接，根据二面角定义得到二面角的平面角为，在三角形中计算得到答案； 【详解】（1）在中，过点作交于点，连接， 所以异面直线与所成角等于异面直线与所成角， 在正三棱柱中，，，为棱上一点且. 所以，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理的推论可得， 所以，因此，异面直线与所成角为 （2）取的中点，连接，在等边中，， 在中，， 在中，， 在等腰中，，所以二面角的平面角为， 在中，， 在中，， 所以二面角的大小为. 18．（25-26高一下·上海浦东新·期末）如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． (1)当点 与点 重合时，证明：平面； (2)当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； (3)设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 【答案】(1) 证明：当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面 ，平面 ，所以， 又 ，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）通过证明和，证明平面； (2) 作于点，连接，证明为二面角的平面角，分别求出，借助于即可求得该角的余弦值； （3）由几何法找到 和，表示出，利用函数方法可求最大值. 【详解】（1）略 （2） 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，则， 故为二面角的平面角. 在中，，，则，则，， 在中，易得，则， 在中，， 即二面角的余弦值为. （3） 作交于 ，所以直线 与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得 平面， 连接，是直线 与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，，， 因为在中，斜边大于直角边，即，即，解得， 又，在中，由等面积得， 因， 又因，，所以是二面角平面角，即， 则， 所以，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面与平面间的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 面面平行的有关概念辨析 题型7 面面垂直的性质 题型2 证明面面平行 题型8 补全面面垂直的条件 题型3 面面平行的性质 题型9 求二面角的大小 题型4 面面平行的存在性 题型10 已知二面角求其他量 题型5 面面垂直的有关概念辨析 题型11 二面角的最值与范围 题型6 证明面面垂直 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 面面平行判定、面面平行图形判断 1.掌握面面平行定义，能直观区分两平面平行/相交 2.能依据图形条件快速判断两个平面是否平行 面面平行证明、相交直线、判定定理 1.熟记面面平行判定定理，规范书写完整证明过程 2.会在平面内找两条相交平行线完成面面平行推导 面面平行条件补全、定理要素 1.明确面面平行判定全部必备条件，不遗漏“相交直线” 2.能补齐命题中缺失的关键条件，辨析充分必要条件 面面平行性质、线线平行、交线平行 1.理解面面平行性质：两平行平面与第三个平面相交，交线互相平行 2.利用面面平行推导空间两条直线平行 面面平行、线面平行推导 1.牢记推论：两平面平行，一个平面内任意直线都平行于另一平面 2.借助面面平行直接证明线面平行 空间平行转化、线线/线面/面面平行互推 1.梳理三类平行的转化逻辑链：线线⇌线面⇌面面 2.根据题型灵活选择转化方向简化证明 传递性、面面平行推面面平行 1.掌握平行传递：若，则 2.利用中间平面搭桥证明两组平面平行 二面角定义、平面角、范围 1.理解二面角平面角构造要求：棱上一点，两面内垂直棱的射线 2.辨析易混概念，区分二面角、线线角、线面角范围 求二面角、定义法、垂线法、余弦定理 1.掌握找二面角平面角的三种基础方法 2.构造直角/斜三角形，用三角函数计算二面角度数 二面角、线段长、距离计算 1.借助二面角三角函数建立边长等量关系 2.由二面角大小求解点面距离、棱线段长度 二面角、线线角、线面角综合转化 1.理清二面角与线线角、线面角的换算关系 2.已知二面角求解空间线线、线面夹角大小 面面垂直判断、二面角为 1.面面垂直等价于二面角是直二面角 2.能根据几何体直观判定两平面垂直关系 面面垂直证明、面面垂直判定定理 1.熟记判定定理：一个平面过另一平面的一条垂线，则两面垂直 2.规范书写面面垂直完整证明步骤 面面垂直条件补全、垂线在面内 1.补齐面面垂直判定核心条件：直线垂直平面且直线在另一平面内 2.区分易混淆缺失条件，辨别假命题 面面垂直性质、面面垂直证线面垂直 1.掌握性质定理：两面垂直，在一个面内垂直交线的直线垂直另一平面 2.依托面面垂直推导线面垂直关系 空间垂直转化、线线/线面/面面垂直互推 1.梳理垂直转化链条：线线⊥⇌线面⊥⇌面面⊥ 2.综合证明题灵活切换垂直转化路径 学习重点： 1.面面平行判定定理、性质定理，三类平行互相转化 2.二面角平面角构造方法与角度计算 3.面面垂直判定定理、性质定理，面面垂直推导线面垂直 4.空间平行、垂直完整转化逻辑链 学习难点： 1.面面平行判定易忽略“两条相交直线”关键条件 2.复杂几何体中精准作出二面角的平面角 3.平行、垂直多条件综合证明，灵活选择转化路径 4.二面角与线线角、线面角的综合换算计算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面与平面之间的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 两平面相交 ____________ 有一条公共直线 两平面平行 ____________ 没有公共点 【易错提醒】 1.误判两平面位置：认为“无公共直线就是面面平行”，忽略两平面相交仅有一条公共直线 2.混淆空间平面传递性：垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交 3.命题判断遗漏前提：平面内多条直线平行另一平面，不能直接推出面面平行 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）已知l、m是两条互异的直线，、是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 2.（25-26高一下·上海·期末）已知、是两个不同的平面，、、是三条不同的直线，则下列选项正确的是（     ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，，，则或异面 知识点02 面面平行判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条_相交直线_____与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ,， ,______ 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线__平行____于另一个平面 ,______ 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_相交_____，那么两条_交线_____平行 ,,______ 【易错提醒】 判定定理易错 1.遗漏核心条件，只用平面内两条平行直线判定面面平行，必须是两条相交直线 2.忽略直线都在同一个平面内，分属两个平面的平行线无法证面面平行 性质定理易错 1.乱用性质：面面平行直接推出任意直线平行，只有第三个平面截得的交线才互相平行 2.混淆因果逻辑：判定是线线平行→面面平行；性质是面面平行→线线平行，证明时颠倒推导方向 3.遗漏推论前提：一个平面内直线平行另一平面，前提是两平面平行 即时即练 1.（24-25高三·全国·一轮复习）如图，空间六面体中，，，平面 平面为正方形，平面平面.求证： ； 2.（24-25高二·上海·课堂例题）如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    知识点03 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的__垂线____，则这两个平面垂直    ______、____________ 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线_____的直线与另一个平面垂直    ______、______、______、______⇒______ 【易错提醒】 判定定理易错 1.只证线线垂直就判定面面垂直，缺少“直线在其中一个平面内”关键条件 2.异面垂直直线不能用来证明面面垂直，必须是直线垂直完整平面 性质定理易错 1.面面垂直直接得出平面内所有直线垂直另一平面，只有垂直交线的直线才满足线面垂直 2.找不到交线就随意作垂线，使用性质定理必须先确定两平面交线 即时即练 1.（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 2.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 知识点04 二面角的平面角 概念 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于__棱____的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫作二面角的平面角 图示 符号 ，，，，，是二面角的平面角 范围 规定 二面角的大小可以用它的__平面角____来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是__直角____的二面角叫作直二面角 【易错提醒】 1.构造平面角出错：两条射线不垂直棱、顶点不在棱上，构不成标准二面角平面角 2.记错取值范围：二面角范围是，容易和线面角混淆 3.计算钝角二面角时直接取锐角，二面角保留原始钝角，无需取补角 4.误将异面直线夹角当作二面角，二者定义、取值范围完全不同 5.直二面角判定混淆：仅局部线垂直不能判定，必须平面角等于 即时即练 1.（2026·上海宝山·三模）如图，在三棱锥中，，点O是AC的中点，且底面与底面ABC所成角的大小为．    (1)求证：； (2)求二面角P－BC－A的大小. 2.（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 题型1 面面平行的有关概念辨析 【例1】（2025高二上·上海松江·专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【例2】（25-26高二上·上海·期中）下列命题中的假命题为（   ） A．没有公共点的两平面平行 B．已知平面，，直线，若，且，则 C．已知平面，，直线，，若，，且与不平行，，则与异面 D．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交 【技巧归纳】 公式结论 两平面位置：（无公共点）、（一条公共直线）； 面面平行判定：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面面面平行 方法技巧 1.举长方体反例快速否定错误命题 2.抓住核心限定词：相交直线、同一平面内，缺一则命题错误 【变式1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）下列命题中的假命题为__________. （1）没有公共点的两平面平行； （2）已知平面､，直线，若，且 ，则 ； （3）已知平面､，直线､，若，，且与不平行， ，则与异面； （4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. 【变式1-2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 题型2 证明面面平行 【例1】（2025高二上·上海松江·专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.中位线、平行四边形构造两组相交平行线 2.书写三步：找相交线→证分别平行另一平面→得出面面平行 【变式2-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【变式2-2】（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 题型3 面面平行的性质 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________． 【例2】（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【技巧归纳】 公式结论 1.交线平行： 2.线面平行推论： 3.平行传递： 方法技巧 1.需作第三个辅助平面才能得到平行线 2.区分判定（线线→面面）、性质（面面→线线/线面）逻辑 【变式3-1】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是________. 【变式3-2】（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为________． 题型4 面面平行的存在性 【例1】如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【技巧归纳】 公式结论 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行 方法技巧 1.在定点平面内作两组相交平行线确定目标平面 2.假设存在反证，判断是否满足判定定理全部条件 【变式4-1】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明： ； (2)求证： 平面； (3)直线上是否存在点，使得平面 平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【变式4-2】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 题型5 面面垂直的有关概念辨析 【例1】（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例2】已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，，，则； ③若，，m，n是异面直线，那么n与相交； ④若，，则且． 其中错误的命题为______． 【技巧归纳】 公式结论 面面垂直二面角为直二面角（平面角） 方法技巧 1.仅线线垂直不能推出面面垂直，必须有线面垂直作为桥梁 2.区分：垂直同一平面的两平面可相交，不一定平行 【变式5-1】（23-24高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线，平面给出下列命题： ①若，且，则； ②若 ，且 ，则 ； ③若 ，且，则； ④若 ，且 ，则 . 其中正确的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型6 证明面面垂直 【例1】（25-26高三下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【例2】（25-26高三·上海·二轮复习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.先证一条直线垂直目标平面，再证该直线在另一平面内 2.勾股定理、线面垂直判定证垂线 【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 题型7 面面垂直的性质 【例1】如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【技巧归纳】 公式结论 性质定理： 方法技巧 1.解题第一步先找出两平面交线 2.在平面内作交线垂线，即可得到线面垂直 【变式7-1】（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 题型8 补全面面垂直的条件 【例1】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【例2】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【技巧归纳】 公式结论 缺一不可：①直线垂直一个平面②直线包含在另一个平面内 方法技巧 1.优先补充“直线在平面内”“直线垂直另一平面”两类关键条件 2.排除仅有异面垂直、仅有交线垂直的残缺条件 【变式8-1】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【变式8-2】已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 题型9 求二面角的大小 【例1】（2026·上海·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 【例2】（2026·上海宝山·三模）如图，在三棱锥中，，点O是AC的中点，且底面与底面ABC所成角的大小为．    (1)求证：； (2)求二面角P－BC－A的大小. 【技巧归纳】 公式结论 1.二面角范围： 2.余弦定理： 方法技巧 1.标准找角三步：棱上定点→两面作棱垂线→确定平面角 2.常用方法：定义垂线法、三垂线法构造直角三角形计算 【变式9-1】（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【变式9-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 题型10 已知二面角求其他量 【例1】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 【技巧归纳】 1.以二面角为等量桥梁，反推棱长、点面距离 2.结合勾股、体积公式求解线段、面积、体积 【变式10-1】（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【变式10-2】如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 题型11 二面角的最值与范围 【例1】已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【例2】如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 公式结论 二面角最小值趋近，最大值，直二面角为 方法技巧 1.分析动点运动时垂线、射影长度变化，判断余弦增减 2.单独计算边界位置角度，锁定完整取值区间 【变式11-1】（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. (1)求证：平面； (2)设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 【变式11-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 一、单选题 1．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高二上·上海静安·期中）已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·上海普陀·一模）已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高一下·上海徐汇·期末）设，为不重合的平面，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（     ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，，则； A．① B．①② C．①③ D．①④ 5．（25-26高二上·上海长宁·期末）在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 二、填空题 6．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 7．（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为__________ .    8．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 三、解答题 9．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求点到直线的距离． 10．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，连接． (1)求证：平面； (2)若点为中点，求异面直线与所成的角的大小； (3)试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 11．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 12．（25-26高一下·上海·期末）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 14．（24-25高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 16．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 17．（25-26高二上·上海·期末）如图，在正三棱柱中，，，为棱上一点且. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求二面角的大小. 18．（25-26高一下·上海浦东新·期末）如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． (1)当点 与点 重合时，证明：平面； (2)当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； (3)设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $