精品解析：重庆外国语学校2025-2026学年高一下学期6月检测数学试题

重庆外国语学校2025—2026学年度（下期）高2028届6月检测 数学试题 满分（150分，120分钟完成） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法可得，结合复数概念即可得到答案． 【详解】，则虚部为 故选：A． 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理与余弦定理求解即可 【详解】由正弦定理知．设则 故选：B 3. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，，则， 即，解得. 故选：C. 4. 分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ） A. 与，与均相互独立 B. 与相互独立，与互斥 C. 与，与均互斥 D. 与互斥，与相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得. 【详解】由题意得，， 所以. 所以与，与均相互独立，与，与均不互斥. 故选：A. 5. 已知一个圆台的上下底面半径分别为5和12，高为7，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆台上下底面圆心与球心位置关系，设球心到一个圆心距离，结合已知得到方程求，进而求外接球半径，即可求外接球的表面积. 【详解】由圆台上下底面圆心与球心在同一直线上， 设球心到上底面圆心的距离为，则到下底面的距离为， 由题设，球体半径为R，则，解得， 所以，故外接球的表面积为. 故选：A 6. 某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下： 甲/kg 260 250 210 250 280 乙/kg 220 260 230 250 290 则下列说法错误的是（ ） A. 甲种水稻产量的众数为250 B. 乙种水稻产量的极差为70 C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数 D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据数表求出众数、极差判断A，B；求出平均数判断C；求出方差判断D作答. 【详解】根据给定数表知，甲种水稻产量的众数为250，乙种水稻产量的极差为，A，B都正确； 甲种水稻产量平均数为，乙种水稻产量平均数为，C错误； 甲种水稻产量方差为，乙种水稻产量方差为，D正确. 故选：C 7. 已知菱形ABCD边长为8，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD翻折成平面角为θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，则翻折后点O到直线AC距离的取值范围为（　　） A. [，] B. [，] C. [，] D. [，] 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形结合图形分析可得∠AOC＝θ，利用几何知识可得点O到AC的距离，结合题意运算求解． 【详解】∵AO⊥BD，CO⊥BD， ∴由二面角的定义知∠AOC＝θ，θ∈[90°，120°]， ∵菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°， ∴AO＝CO＝， ∴点O到AC的距离， 当∠AOC＝θ＝90°时，d取得最大值， 当∠AOC＝θ＝120°时，d取得最小值， ∴点到直线AC的距离的取值范围为[，] ． 故选：B． 8. 中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由向量共线定理求出，进而求出AD=3，再用余弦定理求出CD的长即可. 【详解】在△ABC中，由余弦定理得： 设，，因为， 所以，即， 因为A、B、D三点共线， 所以， 解得：， 所以， 即 因为AB=5， 所以AD=3，BD=2 在三角形ACD中，由余弦定理得： ， 因为，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、为不重合的平面，、为不重合的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. ，，，则 B. ，，，则 C. ，，，则 D. ，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用已知条件判断线线、线面的位置关系，可判断AB选项；利用面面垂直的判定定理可判断C选项；利用线面平行与垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，则、的位置关系不确定，A错； 对于B选项，因为，，则或， 又因为，则与的位置关系不确定，B错； 对于C选项，因为，，则，又因为，则，C对； 对于D选项，因为，，则， 因为，过直线的平面与平面的交线记为， ，，，则，，，则，故，D对. 故选：CD. 10. 已知,,其中，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由得，得或或，故A不正确； 对于B，由得，得或，故B正确； 对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确； 对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确. 【详解】对于A，若，则，则， 因为，所以，则或或，故A不正确； 对于B，若，则，则， 因为，所以，所以或， 所以或，故B正确； 对于C，，则 ，故C正确； 对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，三棱锥的外接球表面积为 C. 当时，异面直线和所成角的余弦值为 D. 过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条 【答案】BD 【解析】 【分析】过P作交于Q，证明判断A；过中点作与平面的平行截面，求截面与底面间的正三棱柱外接球半径计算判断B；时，作出异面直线所成的角计算判断C；分析过且与直线AB和都成角的直线条数判断D作答. 【详解】对于A，过P作交于Q，连，依题意，对任意位置的点P，，则， 为等腰三角形，为锐角，即不垂直于，也不垂直于，A不正确； 对于B，当时，，过点P作与底面平行的正三棱柱的截面， 则三棱柱是棱长为1的正三棱柱，它与三棱锥有相同的外接球， 球心到平面的距离，的外接圆半径，则球半径， 于是得三棱锥的外接球表面积为，B正确； 对于C，当时，，记此时点P为，过作交于D，连， 则是异面直线和所成的角或其补角，，， 而，在中，由余弦定理得： ，C不正确； 对于D，因，则过点与直线AB和直线都成角的问题转化为过点与直线AB和直线都成角的问题， 显然的平分线所在与直线AB和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点B旋转， 旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和都成角，，当时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条， 此时，过点与直线AB和直线所成角都是的直线有2条， 的邻补角平分线所在与直线AB和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点B旋转， 旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和都成角，，当时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条， 此时，过点与直线AB和直线所成角都是的直线只有1条，即直线， 综上得过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售，，三种医用外科口罩，甲、乙购买，，三种医用口罩的概率分别如表所示，且甲、乙选择购买口罩的种类相互独立. 购买种医用口罩 购买种医用口罩 购买种医用口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为________. 【答案】0.28 【解析】 【详解】由表知：甲购买A口罩概率为， 乙购买B口罩概率为， 所以甲、乙购买同一种口罩的概率. 13. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r，母线为l，根据题意可得，代入圆心角公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面积为， 由题意得，解得， 所以圆锥底面圆的周长即侧面展开图扇形的弧长为， 所以该扇形的圆心角. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，求出外接球的半径，取的中点，当截面时，截面的面积最小，利用勾股定理求出截面圆的半径，即可得解； 【详解】解：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球， ∴，∴， 取的中点，∴为的外接圆圆心， ∴平面，如图，当截面时，截面的面积最小， ∵， 此时截面圆的半径为，∴截面面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大为， 故截面面积的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的最大值为. （1）求的值； （2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可； （2）利用三角函数的平移公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 其中，， 所以， 又因为，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 将的图象向右平移个单位可得， 由得， 即函数的单调增区间为. 16. 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响.相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品扫码抢购优惠促销活动，活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每人每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元.活动第一天，就有1370人参与了抢购，其中，有120人抢购商品不足三种，其余都抢购三种商品.为了更好地推行促销活动，商场经理将抢购三种商品成功所获得优惠金额整理得下表： 抢购成功商品件数 0件 一件 二件 三件 优惠金额 0 300 500 800 800 1100 1300 1600 频数 50 50 200 150 200 200 频率 （1）①求表格中、、的值； ②用频率估计概率，求抢购三种商品抢购成功所获得优惠金额不低于800元的概率； （2）在抢购三种商品且至少抢购成功一件商品的人群中，按照抢购成功的件数分层抽样抽取6人，再在这6人中任意抽取2人，求抽取的2人抢购成功商品的件数相同的概率. 【答案】（1）①，；.② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据表格中的数据进行计算可得结果；②根据可求出结果； （2）根据分层抽样求出各层抽取人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果. 【小问1详解】 抢购三种商品的人数共有（人）. ①，， . ②用频率估计概率，抢购三种商品抢购成功所获得优惠金额不低于800元的概率为. 【小问2详解】 抢购成功一件、二件、三件商品分别有400人、600人、200人. 分层抽样抽取6人，抢购成功一件抽取2人（记为m，n）、抢购成功二件的抽取3人（记为1，2，3）、抢购成功三件的抽取1人（记为d）. 从6人中任意抽取2人所有可能结果有mn，m1，m2，m3，md，n1，n2，n3，nd，12, 13，1d，23，2d，3d，共15种， 其中恰有2人是抢购成功商品的件数相同的结果有mn，12，13，23共4种 所以抽取的2人抢购成功商品的件数相同的概率为. 17. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. （1）证明：平面DEF； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明和，得证平面DEF； （2）由三棱锥的体积最大，确定两点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：如图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以. 因为AD，EF是圆柱的母线，所以且， 所以四边形AEFD是平行四边形. 所以，所以. 因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE， 又因为平面ABE，所以. 又因为，DF，平面DEF， 所以平面DEF. 【小问2详解】 由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高， 由（1）知，，所以， 即底面三角形DEF是直角三角形. 设，，则， 所以， 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时， 三棱锥的体积最大， 下面求二面角的余弦值： 法一： 由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以. 又因为，，所以平面BEF. 因为平面BEF，所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则. 故， 所以二面角的余弦值为. 法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直， 如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则. 由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为. 设平面BDF的法向量为，由，， 得，即， 取，得. 设二面角的平面角为θ， 则， 由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论． 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________． （1）证明：________； （2）求的面积． 注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）若选①②作为条件，先通过正弦定理得出，代入②中化简即可得结果；若选①③作为条件，通过正弦定理得出，代入即可得证；若选②③作为条件，通过正弦定理将边的关系化为角的关系，然后再次通过正弦定理得出结果. （2）将（1）中的结论进行平方，结合余弦定理得出的值，进而可得面积. 【小问1详解】 证明：若选①②作为条件，③作为证明结论． 由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 整理得， 故． 若选①③作为条件，②作为证明结论． 由得， 由正弦定理得， 所以， 所以， 故． 若选②③作为条件，①作为证明结论． 由得， 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以， 又，故． 【小问2详解】 由（1）知，，两边平方得， 由余弦定理得，所以， 所以， 解得或（舍去）． 故的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）设平面与平面的交线为，证明面； （3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值； （2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立； （3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面，∴， 在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. 【小问2详解】 ∵，平面，平面，∴面， 又面，面面，∴， 又面，面，∴面. 【小问3详解】 取的中点，连接、， ∵为的中点，且，， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，∴为等边三角形， 又，∴为等边三角形，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面，∴平面， ∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校2025—2026学年度（下期）高2028届6月检测 数学试题 满分（150分，120分钟完成） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ） A. 与，与均相互独立 B. 与相互独立，与互斥 C. 与，与均互斥 D. 与互斥，与相互独立 5. 已知一个圆台的上下底面半径分别为5和12，高为7，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下： 甲/kg 260 250 210 250 280 乙/kg 220 260 230 250 290 则下列说法错误的是（ ） A. 甲种水稻产量的众数为250 B. 乙种水稻产量的极差为70 C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数 D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差 7. 已知菱形ABCD边长为8，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD翻折成平面角为θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，则翻折后点O到直线AC距离的取值范围为（　　） A. [，] B. [，] C. [，] D. [，] 8. 中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、为不重合的平面，、为不重合的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. ，，，则 B. ，，，则 C. ，，，则 D. ，，，则 10. 已知,,其中，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，三棱锥的外接球表面积为 C. 当时，异面直线和所成角的余弦值为 D. 过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售，，三种医用外科口罩，甲、乙购买，，三种医用口罩的概率分别如表所示，且甲、乙选择购买口罩的种类相互独立. 购买种医用口罩 购买种医用口罩 购买种医用口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为________. 13. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为___________. 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________. 四、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的最大值为. （1）求的值； （2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间． 16. 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响.相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品扫码抢购优惠促销活动，活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每人每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元.活动第一天，就有1370人参与了抢购，其中，有120人抢购商品不足三种，其余都抢购三种商品.为了更好地推行促销活动，商场经理将抢购三种商品成功所获得优惠金额整理得下表： 抢购成功商品件数 0件 一件 二件 三件 优惠金额 0 300 500 800 800 1100 1300 1600 频数 50 50 200 150 200 200 频率 （1）①求表格中、、的值； ②用频率估计概率，求抢购三种商品抢购成功所获得优惠金额不低于800元的概率； （2）在抢购三种商品且至少抢购成功一件商品的人群中，按照抢购成功的件数分层抽样抽取6人，再在这6人中任意抽取2人，求抽取的2人抢购成功商品的件数相同的概率. 17. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. （1）证明：平面DEF； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 18. 从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论． 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________． （1）证明：________； （2）求的面积． 注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）设平面与平面的交线为，证明面； （3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $