精品解析：重庆市2025-2026学年高一下学期联考数学试题

数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 3 C. D. 1 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则中最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，D为AB的中点，点E满足，则 （ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，角的对边分别为，且，，若满足条件的 是唯一的，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东 方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东 方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数z的叙述，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若满足，则 D. 若，则 10. 已知，，均为单位向量，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为 11. 在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则________ 13. 若，为实数，则的最小值为________． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，． （1）求顶点D的坐标； （2）求与的夹角的余弦值． 16. （1）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． （2）已知，方程是否存在纯虚数根？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求； （2）若，证明：是直角三角形． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，求； （2）求的最大值； （3）当取得最大值时，求的值． 19. 在梯形ABCD中，， ，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，两式相加得，. 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则中最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意得，且最大角为， 所以. 4. 在中，D为AB的中点，点E满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为中，D为AB的中点，点E满足， 所以，， 所以. 5. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义写出，然后由复数的除法运算法则计算. 【详解】由题意，， 所以. 6. 在 中，角的对边分别为，且，，若满足条件的 是唯一的，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据当或时是唯一的即可判断. 【详解】由于，，由正弦定理，要使唯一，须满足以下条件之一： ①当时，即，构成一个直角三角形（），只有唯一解； ②当时，即，边长足够长，只有唯一解； 因此，要使满足条件的是唯一的，的取值范围为， 即的值不可能是，故ACD错误，B正确. 7. 已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东 方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东 方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】如图所示，，， ，． 在中，由，又海里， 所以，解得（海里）， 在中，由余弦定理可得， 又海里， 则（海里）． 8. 如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】取MN的中点为点O，通过作适当的辅助线求出圆的半径，然后利用极化恒等式进行求解. 【详解】设 为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，则四边形OEBD为正方形， 设，在中, ， 即，解得， 则， ， 当且仅当与 重合时等号成立，所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数z的叙述，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若满足，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于AB，由，则的虚部为，故B正确， 而，故A错误； 对于C，当时，，而，故C错误； 对于D，设，则，即， 而， 则，故D正确. 10. 已知，，均为单位向量，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量垂直的充要条件即可判断A；根据为单位向量得到，结合向量夹角的计算即可判断B；根据投影向量的计算可判断C；根据向量的模的计算结合二次函数的性质即可判断D. 【详解】对于A：，则，A正确. 对于B：由，得，所以. 所以，因为，所以，B错误. 对于C：向量在向量上的投影向量为，C正确. 对于D：设， 当时，取得最小值，为，D错误. 11. 在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角形外心、角平分线的性质与向量有关知识求解. 【详解】 对于A选项，若，则O为的重心， 那么的外心与重心重合，则为正三角形与题设不符合，故A错误； 对于B选项，根据角平分线的性质可知，,所以，，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，, 化简可得，，故C正确； 对于D选项，由可得 , 由于 即 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则________ 【答案】 【解析】 【详解】由，，且，则有. 13. 若，为实数，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径的圆. 为实数，故对应复平面内的点在实轴上. 表示圆上动点到实轴上动点的距离，设为到实轴的距离. 圆心到实轴的距离为，因此. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以， 所以， 由题意得，解得， ，解得， 又，综上：， 所以，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，． （1）求顶点D的坐标； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设顶点D的坐标为． 因为，，，所以，． 又，所以， 即，解得. 所以顶点D的坐标为 【小问2详解】 由（1）知，则，， 所以， 所以， 故与的夹角的余弦值为． 16. （1）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． （2）已知，方程是否存在纯虚数根？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）先化简复数，再根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解的取值范围； （2）设方程存在纯虚数根，将其代入方程即可求解. 【详解】由， 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得，则m的取值范围为. 设方程存在纯虚数根， 则，即， 则，解得或，且， 此时方程为，则， 解得或，满足题意，则. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求； （2）若，证明：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 由题设，则， 所以，即， 所以，可得， 所以，则， 所以，可得， 所以，故（负值舍）， 由，则，即为直角，故是直角三角形，得证. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角形内角性质、三角恒等变换化简得，进而求得，再求其正弦值； （2）由正弦边角关系得，利用三角形内角和及和角正弦公式得，进而求得，结合前提即可证. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系有，而， 所以，即， 所以，而，则， 由 ，可得. 【小问2详解】 略 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，求； （2）求的最大值； （3）当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，求得，再结合两角和正切公式即可求解； （2）利用余弦定理化简可得，从而得到，结合基本不等式即可求解； （3）由（2），结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 可得，故． 因为，所以，则． 又， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知，，． 由，可得， 化简可得， ，当且仅当 时，等号成立． 即的最大值为. 【小问3详解】 由（2）可得： 故当取得最大值时， ，，即 ， 所以． 19. 在梯形ABCD中，， ，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系，根据已知表示出，再结合共线列方程求出的坐标，由向量的模的公式直接计算可得；（ⅰⅰ）利用坐标表示出目标式，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）以为原点，所在直线为 轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点 分别是上靠近点的三等分点， 又， ，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以， 所以， （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ， 由二次函数性质可知，当时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $