精品解析：重庆市铁路中学校2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

重庆市铁路中学校2025-2026学年6月月考高一 （下）数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知复数的共轭复数为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 是 或的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，是夹角为 的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. 19 D. 9 4. 已知，都是锐角，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥 中，，其余棱长均为3，若三棱锥 的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. （    ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角梯形中，， ，，E为的中点，若，则（ ） A. 65 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 9. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 若，则有两解 10. 如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（ ）． A. 当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B. 截面形状可能是五边形 C. 记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D. 的最小值为 第II卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上 11. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 12. 某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 13. 如图，四面体ABCD中， ，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 年月 日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩 （单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； （3）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 15. 已知函数 . （1）求在的单调递减区间； （2）当 时，求的最大值和最小值. 16. 如图，在正三棱柱中，， 为棱的中点. （1）证明： 平面； （2）求异面直线 与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 17. 已知，，，设的内角 ， ，所对的边分别为，， ，且. （1）若 ，，求的周长； （2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值； （3）若，求锐角周长的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面 平面，且， ，，． （1）求证： 平面 ； （2）当时，求点 到平面的距离； （3）当时，求二面角正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铁路中学校2025-2026学年6月月考高一 （下）数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知复数的共轭复数为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 2. 是 或的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为只说明向量的长度相等，并不知方向的关系，推不出或； 而由或知两向量为相等向量或负向量，故必有， 所以是 或的必要不充分条件. 3. 已知，是夹角为 的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. 19 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量数量积的定义及其运算律求数量积即可. 【详解】由题设 . 4. 已知 ， 都是锐角，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为 ， 都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 5. 在三棱锥 中，，其余棱长均为3，若三棱锥 的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥 补形成长方体，结合长方体的外接球运算求解即可. 【详解】将三棱锥 补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 6. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式，正弦二倍角公式化简求值即可. 【详解】原式 ． 7. 如图，在直角梯形中，， ，，E为的中点，若，则（ ） A. 65 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：坐标法：以 为坐标原点，分别为轴、 轴，利用坐标求解即可； 方法二：基底法：令，，取为一个基底，由向量的线性运算求解即可. 【详解】方法一（坐标法） 建立如图所示的平面直角坐标系， 则．不妨设，则， 所以， ，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以，解得， 故． 方法二（基底法）：令，，取为一个基底， 由题意得，． 由于， 所以， 解得， 所以． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知m、n是空间中两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列说法正确的（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确； B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确； C选项，若，，则 ，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项：若，，，则或 异面，故D错误. 9. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 若，则有两解 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，若，则，由正弦定理得，即； 若，因为，根据正弦函数的图像与性质，可得，故正确； 对于B，，由正弦定理可得， 则的外接圆半径是 ，故错误； 对于C，若，由正弦定理得， 因为，所以，故正确； 对于D，若，则由余弦定理可得， 即， 解得，因为，所以有一解，即有一解，故错误． 10. 如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为 ．当A，P，C三点共线时，，则（ ）． A. 当AB的中点在 上时，截面图形的面积为 B. 截面形状可能是五边形 C. 记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据当A，P，C三点共线时以及勾股定理得到，当AB的中点在 上时分析得到截面图形为矩形，再求截面面积求解选项A.分析平面可能与正方体的几个侧面相交，进而分析截面图形，求解选项BC.利用展开图及余弦定理求解即求解选项D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取AB的中点E，连接ME，EP，MP， 则，解得， 记AB中点为E，连接CM，CE，ME， 显然有，， 故点在 上，则截面图形为矩形， 又，所以， 则截面图形的面积为，故A错误； 对于B， 如图所示，当P在线段 上，且靠近 时， 平面与正方体五个面相交，得到五个交点，截面为五边形. 对于C，当P在线段OB上时，平面仅与平面，平面，平面 ， 以及平面相交，得到四个交点，截面为四边形，C正确. 对于D，将沿BD向下翻折与平面共面，连接， 则的最小值即为线段的长度，P为与BD的交点， 因为， 所以由余弦定理得， 则，故D正确． 第II卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上 11. 在平面直角坐标系中，角 的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求 ，再由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题可知，则． 12. 某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 【答案】175 【解析】 【分析】根据随机数表抽样规则，从指定起始位置向右逐次读取三位编号，舍去超出001~900范围的编号，统计得到第5个有效编号即可. 【详解】读取规则为从随机数表第1行第4列开始向右连续读取，每次取3位数字，凡不在001~900范围内的编号跳过，与已读取编号重复的也跳过： 首次读取得到260，属于有效范围，为第1个样本编号； 接下来读取得到004，属于有效范围，为第2个样本编号； 继续读取得到984，超出最大编号900，舍去；继续读取得到012，属于有效范围，为第3个样本编号； 继续读取得到866，属于有效范围，为第4个样本编号； 继续读取得到175，属于有效范围，为第5个样本编号。 因此得到的第5个样本的编号为175. 13. 如图，四面体ABCD中， ，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点 ，连接 、 ，利用三角形中位线定理将异面直线、 平移至 中，结合余弦定理求解 的长． 【详解】取的中点 ，连接 、 ． 因为、 分别为 、的中点，所以 为 的中位线， 则 ，且． 同理，因为 、 分别为 、的中点， 所以 为 的中位线，则 ，且 ． 因为 ， ， 所以 （或其补角）即为异面直线与 所成的角． 又因为异面直线与 所成角的大小为， 所以或． 在 中，由余弦定理得： ． 当时，， 解得； 当时，， 解得． 综上所述， 的长为或． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 年月 日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中 的值； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； （3）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【小问1详解】 解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为 ，组距为 ，可得： ，即，解得. 【小问2详解】 解：设中位数为 ， 因为，而， 所以中位数 在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为 . 【小问3详解】 解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 15. 已知函数 . （1）求在的单调递减区间； （2）当 时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 最大值为，最小值为 【解析】 【分析】 （1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求解即可. （2）根据正弦函数的最值求解指定区间的最值. 【小问1详解】 . 令，解得 ， 又 ，取 得单调递减区间为 . 【小问2详解】 当 时， ，则 ， 因此 ， 即函数最大值为，最小值为. 16. 如图，在正三棱柱中，， 为棱的中点. （1）证明： 平面； （2）求异面直线 与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面， 平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以 平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得 平面； （2）由（1）知异面直线 与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线 与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以为异面直线 与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线 与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 17. 已知，，，设的内角 ， ，所对的边分别为 ，， ，且. （1）若 ，，求的周长； （2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值； （3）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得 ，再应用余弦定理列方程求 ，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为 的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【小问1详解】 ， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以 或，又，则，即， 综上， ，故三角形的周长为； 【小问2详解】 由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． 【小问3详解】 由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面 平面，且， ，，． （1）求证： 平面 ； （2）当时，求点 到平面的距离； （3）当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】（1）由， ，，得，则 . 因为平面 平面，平面平面， 平面，所以平面. 因为 平面，所以.又因为，所以. 又因为 ，平面 ，所以 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）证明平面 ，再利用面面垂直的性质求出点到平面 的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在四边形中，， 平面，平面， 则平面，所以点 到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面 平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，， 则，所以， 所以点 到平面的距离为. 【小问3详解】 如图，在平面 内，过点 作于点；在平面内，作于点 ，连接 . 由(1)得， 平面 ，又 平面，所以平面平面 . 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以 平面. 又因为平面，所以. 则即为二面角的平面角. 设. 由(1)得，则. 在 中，由，得. 在中，由，得； 在 中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $