天津市西青区2025-2026学年第二学期学业质量期末监测高一数学试卷

2025~2026学年度第二学期_________学校学业质量期末监测 高一数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．复数（i为虚数单位）的虚部为 A．i B．-i C．1 D．-1 2．天津轨道交通地铁3号线从南站到天塔站共10个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：10，20，30，40，40，50，50，60，60，70．则这组数据的第70百分位数为 A．45 B．50 C．55 D．60 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的为 A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 4．用斜二测画法画水平放置，其直观图如图所示，其中是等腰直角三角形，且，斜边，则原图形的面积为 A． B． C． D． 5．关于平面向量，，，有下列五种说法： ①；②若，，则；③若，，则；④对任意向量，，，有；⑤若，，则．其中结论正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 6．在直棱柱中，底面为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，，事件和事件相互独立，则 A． B． C． D． 8．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数 A． B． C． D． 9．若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影为 A． B． C． D． 10．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，若；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，结论正确的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 第II卷（80分） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11．已知的三个内角，，的对边分别是，，．且，，．那么角_________． 12．已知一组数据，，，…，的方差为2，则数据，，，…，的方差为_________． 13．若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_________． 14．甲，乙两人独立地破译一份密码，已知甲，乙两人单独破解密码的概率分别为，．则两人都成功破译的概率为_________；密码被成功破译的概率为_________． 15．甲，乙两班参加了同一学科考试，甲班50人，平均成绩为72分，方差为81分；乙班40人，平均成绩为90分，方差为54分．那么甲，乙两班全部90名学生方差是_________分． 16．如下图，在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示_________；若，则余弦值的最小值为_________． 三．解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17．（本小题满分11分） 已知的内角，，的对边分别为，，．且，，． （I）求角的大小； （II）求边长的长． 18．（本小题满分11分） 已知向量，． （I）求及； （II）若，求的值； （III）求与的夹角的余弦值． 19．（本小题满分12分） DeepSeek可以被看作是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图． （I）求的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （II）为便于统计，学校规定：若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”．为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查． （i）求应从“青铜用户”和“铂金用户”中分别抽取的人数； （ii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； （iii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率． 20．（本小题满分16分） 已知如图，在三棱锥中，，，点，，分别为棱，，的中点，，，． （I）求证：平面； （II）求证：平面平面； （III）求直线与平面所成的角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $