福建省龙岩市2025-2026学年高二下学期7月期末监测数学试题

**基本信息** 高二数学期末卷聚焦函数、概率、立体几何等核心知识，通过导数应用、概率统计等综合题，考查数学思维与逻辑推理能力，适配期末学业水平检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数性质、概率基础|第8题偶函数单调性分析，考查抽象能力| |填空题|3题15分|立体几何体积|第14题正三棱锥外接球体积最值，体现空间观念| |解答题|6题77分|导数应用、概率统计、立体几何|18题结合题库答题情境，19题导数极值点证明，培养逻辑推理与数据意识|

2025~2026学年第二学期高二期末监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 制 如 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1. 已知函数f()=sinx,则f孕 B. 1 5 2 D. 2 2.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是n,2,乃，4， 其中最大的是 y 32 3 0 3210 童 4-2024 4-202 4 34-2024 4-2024 A. B. 2 C. 3 D.r4 3.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛， 则所选3人中恰有2名男生 的概率为 新 B. 2-5 3-5 C. D. 4 4. 若随机变量5~N(4,σ2)且P(5<6)=0.8,则P(2<5<6)= A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 5. 如图，AB是圆O的直径，AC垂直于圆O所在的平面， 部 AB=AC,D是弧AB的中点， 则异面直线AD与BC所 成角的大小为 A. B. 元3 C. 74 D. 元6 D (第5题图) 高二数学第1页（共6页） 6. 设函数f(x)= r-3-2x≤1若f因在R上单调递增，则实数a的取值范 Inx+1,x>1 围是 号 2 B.(-0,0] C.- D.(-0,1] 7.在长方体ABCD-AB,CD,中，A4=2,AB=3,AD=4,BM=3MC,DN=ND, BP=2PA·过M,N,P三点的平面与直线BB相交于点Q,则BQ等于 8 B. 10 11 c号 D. 11 8.已知函数f(x)=e+e*+cosx+x2.若a=f(W2),b=f(-5),c=f(元)，则 A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若n=(2,3,-)为平面a的法向量，m=(-4,a,2)为平面B的法向量，v=(1,2,b)为 直线的方向向量，则 A.若a11B,则a=-6 B.若1⊥B,则b=-2 C若9则a0 D.若b=8,则lca 10.已知函数f(x)=xlnx-ax+l(aeR),则 A.当a=1时，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=0 B.若f(x)有且只有两个零点，则a的取值范围是(L,+o) C.当a=2时，f(x)在区间(0,2)上的最大值为1 D.对任意a>0,曲线y=f(x)上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数 11.甲盒与乙盒中，初始时均装有大小、质地一样的1个白球和2个黑球.规定一 次操作为：从甲盒中随机取出1个球，同时从乙盒中随机取出1个球，将取出 的两个球交换放入对方盒中.按此规则重复进行n(neN)次操作后，甲盒中恰有 0个白球，1个白球，2个白球分别记为事件An,Bn,Cn,则 A.P(B)=5 B. P4B,)=12 49 C. Aa号 D. P4+B,)=3 9 高二数学第2页（共6页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X~B(25,白)，则D(2x)=一 13.已知A(01,1),B(1,2,2),C(1,a,2)三点，若∠BAC是锐角，则实数a的取值范围 为 14.已知正三棱锥的各顶，点都在同一个球面上，球的表面积为36π，则该正三棱锥 体积的最大值为」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 某教育科技公司为了解学生对线上学习工具的使用情况，同时分析工具的周活 跃用户变化趋势，随机调查了80名学生，列联表数据如下： 不活跃 活跃 合计 初中生 16 24 40 高中生 4 36 40 合计 20 60 80 (1)根据调查结果回答：是否有99.5%的把握认为使用线上学习工具的活跃度 与学段有关？ (2)下表为该工具上线前5周的周活跃用户数（单位：万人）： 周代码x 1 2 3 4 5 活跃用户y 41 36 30 24 19 求y关于x的线性回归方程)=x+a 附：①x2 n(ad -bc)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x'zk) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 K 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 y-m ②在利用最小二乘法求得的线性回归方程>=x+a中，6=可。 a=y-bx, 高二数学第3页（共6页） 16.(15分) 已知函数f()=e2+ax,a∈R. （1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围 17.(15分) 如图，在正三棱柱ABC-ABC中，M为线段AB的中点，N为线段CC上的 动点 (1)求证：AB⊥MN; (2)若AB=4,A4=3,二面角M-AN-A的余弦值为 2,求点B到平 4 面AMN的距离. A B M 分 高二数学第4页（共6页） 18.(17分) 某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛.题库中数学、物理、化学占比分 别为，名，二甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为P (1)若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，2,3 3’3’4 (i)求p; (ⅱ)若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误 得-1分.用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望； (2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n(n∈N)道题目，答对题目数不少于 n道，即可获得奖励.若n=5时获奖的可能性比n=4时大，求p的取值范围，并 说明理由 高二数学第5页（共6页) 19.（17分) 已知函数f(x)=e*(ar+blnx),a,beR （1)若曲线y=f(x)在点(L,f)处的切线方程为y=ex,求a,b的值； (2)已知a=1,记x)为fa)的导函数，g田= 2,若g(x)存在两个极 e 值点x,x2(x1<x2). （i）证明：gx)<0; (i)已知g)-g)>-=c+2e+3, 求立的取值范围， : 明 陶 高二数学第6页（共6页） 2025~2026学年第二学期高二期末监测 数学试题参考答案 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C A C D B A c A 二、 选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 选项 AC ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.16 13.（-1,2U(2,+o0) 14.8v3 8.【解析】因为f)=e+e+cosx+x的定义域为R, f(-x)=e*+e*+cos(-x)+(-x)2=e*+e*+cosx+x2=f(x), 所以f(x)是偶函数， f(x)=e*-e*+(2x-sinx). 令h()=2x-sinx,则()=2-cosx>0恒成立， 所以当x>0时，h()>h(0)=0,即2x-sinx>0, 又y=e-e在(0，+∞)上单调递增，所以y=e-e*>e°-e°=0， 所以f'(,>0在(0，+∞)上恒成立，则fw)在(0，+o)上单调递增， 构造函数8=，则0-1， 令，>0，得0<x<e,令8，<0，得r>e, 所以g()在(0，©)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， In 2 In4 所以g(4)<g(π)<g(3),又2=4， n2_ln4,lhπln3 11 所以2=4<元<3所以22<π<3， 所以f(N2)<fW元)<f3)=f(-3),所以a<c<b. 故选：A. 11.【解析】初始时，甲盒有1白2黑，乙盒有1白2黑， 选项A:一次操作后，甲盒恰有1个白球（事件B,)的情况： 从甲取黑且从乙取黑，或从甲取白且从乙取白 甲取黑的概率为3，乙取黑的概率为3；甲取白的概率为3，乙取白的概率为3 22115 故P(B)×号+×行9，A正确 选项B:P41B,)表示"第二次操作后甲盒有1个白球的前提下， 第一次操作后甲盒有0个白球”的概率。 第-次澡作后甲盒有0个白球(4)：甲取白、乙取黑，概率P4)-号号. 第二次操作后甲盒有1个白球(B,)的情况：若A发生，甲盒0白3黑，乙盒2白1黑， 2 此时从甲取黑、乙取白的相概率为1×行，故P(8,4)= 】 若B发生，甲盒1白2黑，乙盒1白2黑，此时PB,B)=)(同P(B)· 若C发生，甲盒2白1黑，乙盒0白3黑，此时P(8,1G)=号（甲取白、乙取黑的概率为×1）· 22,55,2249 由全概率公式：P(B,)=P(4)P84)+P(B)PB,B)+P(G)P(B,1C)-)×号+g×号+号×381 22 P4B,)=P4)P8,4_9X3_12 P(B2) 4949 由条件概率公式： 81 ,B正确 选项C:递推关系：P(a)Pa)+-P(a】-号Pa) 整理为：Pa)号Pa)引 初治值P(a).故a)- 2 451 因比a)，即P寸. P团)=1-P@,)=1-+号x(1=号号x<子C正确 32 选项D:P(A+B)表示"第一次操作后甲盒有0个白球，或第二次操作后甲盒有1个白球”的概率 由概率的加法公式：P(4+B,)=P(4)+P(B)-P(4B,), 中P(8)=Pn140-子号寺 代入得：P4-8)-号9音1+92 一=81，D错误， 故选：ABC 14.【解析】如图，设该正三棱锥P-ABC的底面边长AB=a,高PO=h, 外接球的球心为M,设AO交BC于D, 则A0=3x5g-3。 P -q= 32a=3a, M B 因为球的面积为4πR2=36π，所以球的半径为R=3, 12 在 RAAM0中，MA2=MO2+OARn9s③ 3 a +(h-32 整理得a2=18h-3h2,因为a2=18h-3h2>0,所以0<h<6, 正三校的4知为-号专吾水- 3(18h-3f)h=3(6-h(0<h<6) 12 则y-35(4-ih(0s6), 4 当0<h<4时，'>0，当h>4时，V'<0, 所以V-夏6(0<c5)在0上宝增，在4网上运减， 所当-4时，西数取得品大信Y- 2(6x42-4)=8v3】 15.(13分) 解：(1)假设H0认为使用线上学习工具的频率与学段无关1分 由2×2列联表中的数据，可得 x2=80x16x36-24×42=80×480×480 =9.6 40×40×20×6040×40×20×60 .4分 因为9.6>7.879，故否定假设H0 所以有99.5%的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关..6分 (2)由前5周的活跃用户数，可得 x-号0+2+3+4+5列=3，y-号41+36+30+24+19=30 .8分 以=洲，》 x=5 所以6= y-5网 394-5×3×30 =-5.6 ∑x-5x 55-5×32 ,10分 则a=y-6x=30-(←5.6)x3=46.8 12分 故所求的线性回归方程为y=-5.6x+46.813分 16.(15分) f'(x)=-e+2+a, ..1分 解：(1)由题意可得 当a≤0时，∫'(w)<0,函数f()在R上单调递减， .2分 当a>0时，令f'闭=-e2+a=0,得x=2-lna, 因f()）=-eX+2+a在R上单调递增 .3分 所以当x∈(-o,2-lna四时，f'()<0,f()单调递减； .4分 当x∈(2-lna,+o)时，f'(,>0,fx)单调递增； .5分 综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是←0，+0)； 当a>0时，f()单调递减区间是o,2-ha单调递增区间是(2-ha,+o) :6分 (2)法1：当a<0时，由(1)知f()在R上单调递减， 1二-8-e<0与20恒成立矛盾 0 8分 当a=0时，=e2>0恒成立 10分 当a>0时，fx)在区间←o,2-lnd上单调递减，在区间2-ha,+oo)上单调递增， f的最小值为f-lna)=e2-ha2+a(2-na)=a3-lha, 所以 13分 令31h20,得0<a5c3个 综上，实数a的取值范围是[0，e] 15分 法2：由)=e2+a之0恒成立，得ar之-e*2.7分 当X=0时，a之-e+2恒成立.8分 当x<0时，由r之-e恒成立，可得asc” 一恒成立；9分 当x>0时由r之-e恒成立，可得a≥e“ 一恒成立；10分 ,则8)=e2x+D 设g()=二e+2 11分 令8-0得故当-1时，08在- 在 上单调递减 故当-1<x<0或x>0时，g'(x)>0,g(x)在(-1,0)，(0，+o)上单调递增， 13分 所以当x<0当时，g的最小值为g(-l)=e,此时a≤e3. 当x>0时，89=- x<0,且当xy+n时，g)→0，此时a20 综上，a的取值范围是[0，]..15分 17.(15分) 解：(1)连接CM,在正三棱柱ABC-A1BC1中，△ABC为等边三角形，1分 又因为M为AB的中点，所以AB⊥CM. .2分 又因为CC1L平面ABC ABC平面ABC,所以AB⊥CC1 3分 又因为CMnCC1=C,CM,CC1c平面CMN 所以AB⊥平面CMW.5分 又因为MNC平面CMN,所以ABLMN..6分 (2)设M1为4B1的中点，由(L)天知AB1CM,MM1LAB,MM1LCM, 如图，以M为原点，以MB,MC,MM1的方向为X,y,z轴建立空间直角坐标系。 因为AB=4,AA=3,设CN=a,0≤a≤3 所以MA,=-2,03,MN=0,25,a7分 M 设平面A1MN的法向量为n=（x,y,z MA7n=-2x+3z=0 所以-n=23y+z=0 令z=2V3,得x=33,y=-a 所以平面A1MWN的-个法向量为=(3V3,-Q,2y3) 9分 由已知得4-20,0，C0,25,0),82,0,0),所以AC的中点D-1,3,0 所以平面ACCA1的-个法向量为DB=(3,-5,0 .10分 设平面ACC,A1与平面A,MN的夹角为0， 10 因为二面角M-AN-A的余弦值为4， 所以C0s0 |DB-nl_9v3+v3al_v10 DB 2V3V39+d2 4 12分 化简得a2-12a+11=0 解得a=1,Q=11,因为0≤a≤3，所以a=1 .13分 所以平面MNA的-个法向量为n=(33,-1,23), 又82,0,3)，所以A1B=(4,00) IA B'nl_12V3 所以点B,到平面A,M的距离d 3v30 n V27+1+12 5 330 所以点B,到平面A,MN的距离为 5 15分 18.(17分) 解：(1)(i)设B="甲同学所选的题目回答正确”，4="所选的题目为数学相关知识的题目”， 4=“所选的题目为物理相关知识的题目”，4=“所选的题目为化学相关知识的题目”，则 2=AU4U4,且4,4,4两两互斥 根据题意得P(4)5,P4),P(4), P(AA利-兮P(因4)号P(因店=， 2分 11,222、319 则P(B)=P(4)P(B4)+P(4)P(A4)+P(4)P(84)5*3+×号亏*30， 19 所以甲同学在该题库中任选一道题作答，他回答正确的概率为30， 19 即P=30 .4分 (ii)X的可能取值为3,15,9 .5分 Px=-动---引-到， x=--}-----》6. P=列-5号-引--》x-6 P(X=9)=3×号×4366 12361 44, 则X的分布列为： X -3 1 5 9 P 1 11 17 18 36 36 6 所以(=(7g+g5 +9x1144 =4 36 636 .11分 (2)当n=4时，Y为答对题目的数量，由题意可知Y~B(8,p), 故当n=4时，获得奖励的概率=P(Y=4)+P(Y≥5) 12分 当n=5时，获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8道题答对题目的数量大于等于5， ②前8道题答对题目的数量等于4，且最后2道题至少答对1道题， ③前8道题答对题目的数量等于3，且最后2道题全部答对， 故当n=5时，获得奖励的概率=P(Y≥5)+P(Y=4儿1-1-p]+P(Y=3)p,14分 所以B-R=P(Y=4)2p-p2)+P(Y=3)p2-P(Y=4)=P(Y=3)p2-P(Y=4)1-p =p2C8p1-p°-1-p)2Cgp1-p)=p0-p'[56p-70(1-p]=p0-p)°(126p-70）, 因为0<p<1,所以126p-70>0,即p>号，所以pe(兮).17分 19.(17分) 解：(1)由题意，函数fx)=e(ax+bln)的定义域为(0，+o),求导得 6 f(x)=e ax+blnx+a+ 2分 由题意，切点为L,e),切线斜率为e. 所以f0=e(a+blnl)=ae=e,f'(①=e(a+0+a+b)=e(2a+b)=e 解得0=L,b=-1 4分 ②)法1：当。1时，8=x+1+hr+, 求导得g'()=P+bx-b .5分 因8(x)有两个极值点，x,(0<<x),故方程x2+bx-b=0有两个正实根，因此3，解得b<-4.6 分 因。是方程，+-60的根，故0= 由64，又因为0<有<5，则5>多 代入e,得n克nx 将= 8分 要证8)k0,即证x+1<nx+ x2-1 X21 即证<5+} ，即证n:++ 令Nhx1,2,则e间-是-2,0， x (x)在(2，+o)上单调递增， 故a(x)-n(2-ln2子he-号0，即86e)0 11分 法2：当。-1时，=1+6ar+》,求号得国=- x2 5分 因8(x)有两个极值点，x(0<x<x),故方程x2+bx-b=0有两个正实根， 因此心，解得b<-4.6 分 因为x-2x2-2)=x-2(x+x)+4=-b-2-(-b)+4=b+4<0 又x<,所以<2<书 .8分 因为()在x,x)单调递减 所t以gt)<g2-=2+bn21+93+bn2+月<0 所以8(s)<0. .11分 画令至，由+6，得中，无=+1，故b-1少 sws眼-r .13分 令-2日-小少at,l,0-te-m-t-明 令q(t)(t+1)lnt-(t-1),则9=n+>0,q0在L,o)上单调递增， 故9)>0，)>0,0在山+0)上单调递增 已知0>-e2et3=e,故，e即 2e(e,+o) 17分