精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期7月月考高二文科数学试题

新蔡一高2025-2026学年下学期7月月考 高二文科数学试题 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ， ，解得． 2. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项计算找到数列的周期即可. 【详解】由题意，，，，，… 故数列周期为4，则. 故选：B 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 4. 在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则， 则. 故选：A 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 6. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 8. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 故选：C 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布、两点分布以及数学期望、概率的性质求解即可. 【详解】选项A：随机变量，根据正态分布性质，则，选项A正确； 选项B：随机变量服从两点分布，且，则，进而，选项B正确； 选项C：随机变量的分布列为，则，解得，选项C错误； 选项D：随机变量满足，且，则，进而，选项D正确. 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 所以数列的公差为3，即A正确； 依题意可得， 所以，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误； 由 ，所以成等差数列，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对称性和单调性以及基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出. 【详解】选项A，由题意 的定义域为 ， 因为 恒成立，当且仅当时， 所以在定义域内单调递增，A正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知 对恒成立，代入 整理得，令， 解得，所以的对称中心为 ，B正确； 选项C，因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时 ，C正确； 选项D，因为为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以 ，则， 故 ，得，D错误. 三、填空题 12. 已知二项式，则展开式中的系数为_____． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项，其中， 令，得， 的系数为． 13. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 14. 已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得有两个不等实根，时，令，利用导数求得的单调性和极值；当，令，利用导数求得的单调性和极值，作出、与图象，则与和图象一共有两个交点，结合m的范围，分析即可得答案. 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知满足，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）用等差数列通项公式求解；利用等比数列通项公式列方程求解，再得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故，代入得： 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得，因此. 【小问2详解】 由题意得， ① ② ②①得： . 16. 现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． （1）求送审的每幅作品被淘汰的概率． （2）每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列如下表． Y P 期望为20000【解析】 【分析】（1）先计算单次评审通过的概率，再用独立事件同时发生的概率公式计算获奖概率，最后用对立事件概率公式得到作品被淘汰的概率； （2）根据四幅作品中获奖作品数量服从二项分布，写出获奖奖金的分布列，再利用期望公式求解期望. 【小问1详解】 设事件分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”， 事件A为“一幅送审作品通过了三次评审”， 事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则． 由题意，得． 因为， 所以， 所以送审的每幅作品被淘汰的概率为． 【小问2详解】 设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量X． 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，且． 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y（单位：元）， 则， Y的对应可能取值为． 因为， ， ， ， 所以Y的分布列如下表． Y P 所以期望为：. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，再由点在上，代入求得，进而求得，结合椭圆离心率的公式，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的方程为，且为，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程组，利用，求得的值，得到两平行线间的最大距离为，进而求得的面积的最大值； （3）设，，分别求得直线和的方程，联立方程组，求得和，得到直线的得方程，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由椭圆的长轴长为，可得，解得， 又由点在上，可得，解得，即， 所以， 所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）知：且，所以椭圆的方程为， 又由，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得， 可得，解得， 所以直线与直线之间的距离为： ， 直线与直线之间的距离为： ， 所以两平行线间的最大距离为， 又因为， 所以的面积的最大值为. 【小问3详解】 解：因为动点在直线上，可设，其中， 再设，且， 可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，可得， 所以，即， 同理可得：直线的方程为，且， 所以直线的斜率的倒数为， 所以直线的方程为，整理得， 设直线与轴的交点为， 令，可得，所以直线与轴的交点为. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，确定单调性即可求解； （2）先求得曲线在点处的切线方程，在通过判别式即可求解； （3）通过和两段，结合参变分离求最值法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，解得， 易知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 ，则， 又，所以在点处的切线方程为：， 即， 由，消去得， 由题意，解得， 经验证符合题意， 故，切线方程为：； 【小问3详解】 当时，恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然不等式成立，则， 当时，参变分离可得：恒成立， 设， 则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，则， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年下学期7月月考 高二文科数学试题 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 三、填空题 12. 已知二项式，则展开式中的系数为_____． 13. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 14. 已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 四、解答题 15. 已知满足，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． （1）求送审的每幅作品被淘汰的概率． （2）每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $