河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期7月月考高二理科数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高二理科数学核心内容，以函数、数列、概率统计、立体几何、解析几何为主线，通过数字通信信号接收、摄影作品评审等真实情境设计问题，体现数学思维的逻辑推理与数学语言的精准表达，形成基础巩固与能力提升的梯度。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|函数性质、数列递推、正态分布、条件概率、圆与双曲线|第5题以数字通信为情境，考察条件概率，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3|随机变量分布、数列前n项和|第10题结合数列和与通项关系，考察推理意识，培养数学思维| |填空题|3|函数求值、摸球概率、函数零点|第13题以摸球获奖为背景，强化数据意识，训练数学语言表达| |解答题|5|数列证明与求和、概率分布与期望、立体几何翻折、椭圆综合、导数极值|第17题三角板翻折问题，融合空间观念与逻辑推理；第19题导数极值点证明，考察批判性思维，契合高考命题趋势|

高二理科数学试题答案 216 单选：ABDCB BAB多选：ABD ABD ABC 12、8113、625 14、1,2) 7、【详解】因为g(x)=nx+x-2=e血x+lnx-2,故设h(x)=e+x-2,所以h(nx)=ex+nx-2, 因此如果f()=g(3),则h(ns)=h(s),而对于h(x)=e+x-2,h(x)=e+1>0+1=1,因此h(x)在 定义城上单洞递格，则应有与血：>0，教产-，设()-0，所以)， 因此当x∈(0，e)时，p(x)>0,即p(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，p(x)<0,即p(x)单调递减， 所以(e。则受的段大值为日 PE PE 8、不妨设点P在双曲线右支上，： PF, 分别表示与P耳，PF同方向的单位向 量，由PM PEPE 0可知点M在∠RPE的平分线上，又由FM·PM=0,可 知M⊥PM,延长M交PF的延长线于点N,则P=PW,根据双曲线的定义， 得P-P=2M=4,PW-PE=EN=4,易得点O,M分别为F1F2,N的中点， lo4-=2M=2. 10、a=-21+21，故A正确：因为S,=0+m-n=n(←2n+21)+-n=-+20,所以=-n+20, 则三8=-1≥2，所以数列 n n-1 为等差数列，故B正确：因为8，=-+20，对称轴为n=10,故当1=10 n 时，S取最大值，故C错误：么=a=(-2m+2(-2m+19<0得号≤m},则m=10,敌0正确 11、因为f(3m+2n)+f(3m-4m)=2,所以f(3m+2m)=2-f(3m-4wm)=f(2-3m+4m), 1 圆E*223m*4m,2m23山.因为mGi赵222m12子2 等号成立时m=1,n=2,故C正确.因为x1,:为方程ax2+4x+b=0的两个不同根，所以 3+三45A=16-4b>0,因为fG+f飞)>2，所以fG>2=fG=f2=七，则 >2-5,故x+x2=-->2,得-2<a<0,故D错误； 14、令函数g(x)=f(x)-x=0,可得f(x)=x有两个不等实根，当x<0时，f(x)=x4+3x3-2x=x, 整理得x3+3x2-2=,令h()=x+3x2-2,x<0,则h(x)=3x+6.x=3x(x+2),令H(x)=0,解得x=-2 1 或0（舍），当x∈(-o,-2)时，1(x)>0,则h(x)单调递增，当x∈(-2,0)时，h(x)<0,则h(x)单调递减， 所以h(x)的极大值为h(-2)=2,当x→-w时，(x)→-o,当x→0时， v=m ()→-2；当x>0时，f)=chx=,整理得m=e血x,令 v=h(x 以0=hx0,则4)=三 en0-山D,阅参如下国所茶 v=o(x) 因为函数g(x)=f()-x有两个零点，且m>0,所以y=m与y=h(x)和y=p(x)图象一共有两个交点， 由图象得1<m<2,则正数m的取值范围是1,2). 15、（1)a+1=2a.-n+1.a+1-(n+1)=2(a,-n),又因为a1-1=2,所以{a,-n仍是首项为2，公比 为2的等比数列，（2)an-n=(4-1)2”1=2”,b=bn+a,-n,.bt1-b=2 :.b.=(6。-b1)+(61-bn2)+(6-b)+b,=21+22++2+2=2”(0n≥2)，A=2满足上式.b=2 a-n 2” 11 6.+164+2°+12+1)2+124T g(1+ ++ 1111 16、（1)设事件A,4,4分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”，事件A为“一幅送审作品通 过了三次评审”，事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则A=AA,A,B=A.由题意，得 -1合P4)1号9PA16培.因为④=P4)PaP% 56142 67153: 所以®到11号了所以选市的每如作品被海送的联率为号 2)设四辐作品中获奖的作品数为随机变量X由题意知，X的可能取值为0,12,3,4，且~包4号 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y(单位：元)，则Y=9000X-3000(4-X)=12000K-1), Y的对应可能取值为-12000,0,12000,24000,36000.因为 pr--13m)-c ))c 8 PY=12000)=C× 是rr-24o0=c)号号prr=36o0)=c) Y的分布列略，所以期望为：E(Y)=-12000 87*0 1200×824000×323600x16-2000 81 27 81 81 17、【答案】(1)二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD,又因为CD⊥BC,CDC平面BCD, 2 平面PBC∩平面BCD=BC,所以CDI平面PBC.又因为PBC平面PBC,所以PB⊥CD.由题意 PB⊥PC,CDPC=C,CD,PCc平面PCD,所以PB⊥平面PCD ZA (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM,则OM⊥BC,OM11CD, 因为CD1平面PBC,OPC平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP,在△ABC中， PB=PC,O为BC中点，所以OP1BC.以{OB,OM,OP为正交基底建立如图所示空 M 间直角坐标系O-z,则 32 0(0,0,0),P0,0 B 3 2,00,c 26.0 3W 2 设该球的球心为(x,y),则 x2+y2+ 3W2 3V2 3W2 Z- +y2+z2=x+ +y2+z2=x+ 3W2 +y-6+z, 2 解得x=0,y= 2,2=0所以该球的半径为 ,x2+y2+z- 3v)2 618=6 2=44 (3)取BC中点O,在△BCD中，过O作OH⊥BD,垂足为H,连接PH,平面PBC⊥平面 BCD,OP⊥BC,OPC平面PBC,平面PBC∩平面BCD=BC,所以OP⊥平面BCD 而BDc平面BCD,故OP⊥BD,又因为OH⊥BD,OP⌒OH=O,OP,OHC平面OPH, 故BDI平面OPH,而PHc平面OPH,所以PH⊥BD,则∠PHO为平面PBD与平面BCD B 的所成角，直角三角形ABC中，OP=32,Om=OB×sn3032是-35 2 224 cos∠PHO= OH 4 V5 PH 32Y.(32 5'所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5 18、(1)椭圆C的离心率为e=￡-5.(2)解：由(1)知：a=2且b=1,所以椭圆C的方程为 4+=1, 又白00，P心号.所以直线0P的刻本为5，所以百线0P的方柱为y 2 2 3x-2y+4-0 即√3x-2y=0,设与直线0P平行且与椭圆相切的直线方程为√3x-2y+m=0,联立 P5x-2y-4=0 V5x-∠y+m=U 方程组 ,整理得4x2+2V3x+m2-4=0,因为直线与椭圆相切，可得 +y2=1 △=(2√3m2-4×4×(m2-4)=0,可得m2=16,解得m=±4，所以直线V3.x-2y=0与直线V3x-2y+4=0 0-4 44W7 之间的距离为：d= 人5可+2》V万7，直线vx-2=0与直线5x-2-4=0之间的距突为 10+4 44N7 d= +-2少万7，所以两平行线间的最大距离为d=4y5,又因为 7 3 o-0--59=y一.所以△P00的面积的纸大位为s0Ha-合94-1. 227 (3)解：因为动点M在直线x=4上，可设M(4,t),其中t≠0，再设E(:,y),F(x2,),且A(-2,0),B(2,0), 可得直线4的方程为)+2)，联立方程组】 =6+ ,整理得t2+9)x2+4t2x+4t2-36=0, 4t2 2-1 可得-2+x92买”6 9,可得5=8型 P+9,所以y=18-2r 6+9+2。即a8-Y6 t2+9’t2+9 同理可得：直线BP的方程为y=5:-2),且r-2,立)，所以直线EP的斜率的倒数为 2+12+ t2+92+L-Q8-2)心2+)-(21-2)+9)--414+36_3-2 6t+ 2t 6tt+1)+2t(t+9) 8+2427,所以直线 EF的方程为x- 0产：整理得：山，设直线5与 22-2_3-2 轴的交点为T,令y=0,可得x=1,所以直线EF与x轴的交点为T1,O) 19、(1)y=x-e+1: (2)g(x)=xnx-(x-1)-x2+(-1)x=xlnx-x2-x+,g'(x)=lhx-2x,令g'(x)=0,则m= Inx 2x 令)，则所以当0<x<e时，>0，h单调递增，当x>e时，h田<0，① 单润递减，所以A()=A(回)0当x→0时，0→-，当+0时，)→0因为函数四有 两个不同的极值点，所以m有两个不同的根，所以0<m<在故m的取值范国为0 1 2x 2e (iⅱ)因为8'(x)=lhx1-2m心1=g'(x23)=lnx2-2x2=0,，所以hx1-hx2=2x-2x2=2m(31-x3), In Int 以m,令=0<t<1),则x=优，代入上式得：2= =t-1)5,因为血=2m,l血3=2， 所以n+3hx,=2u+6mu,=2m%+3,）=-1x ,nt.+3,-+3lt, t-1,要证血+3血3>4，只需证 +3)血t>4,0<1<),即证+3)n1<4-少，令F)=t+3)ht-4t-1)0<t<1),则r0)=nt+3-3, t-1 令H)=d+}30<t<),则Hr=<0,所以H0即F国在Q)上单调递减，F'0>F四=0， t 所以F(t)在(0,1)上单调递增，所以F(t)<F(1)=0, 即(t+3)ht<4t-1)成立，故lnx+3hx2>4得证. 新蔡一高2025-2026学年下学期7月月考 高二理科数学试题 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（   ） A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 8．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．随机变量服从两点分布，且，则 C．随机变量的分布列为，则 D．随机变量满足，且，则 10．设数列的前n项和为且，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．当时，取最大值 D．设，则 11．已知，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．若，则的最小值为 D．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 三、填空题 12．设，则_____． 13．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 14．已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 四、解答题 15．已知数列满足，，数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项的和. 16．现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． (1)求送审的每幅作品被淘汰的概率． (2)每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 17．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)若在同一个球面上，求该球的半径； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 18．已知椭圆的长轴长为，点在上． (1)求的离心率； (2)若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； (3)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 19.已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $