同学们好，今天我们来对高中数学2019版新教材第一章进行一次复习。很多的老师在线下上课的时候，比如说排了20次课，有的甚至排了15次课。居然把高一第一册必修一的第一次必修一全部给讲完了。我觉得这个进度有点吓人，肯定是属于那种蜻蜓点水式的授课，好多的题型恐怕也没有讲到位。从这个容量上来讲的话，我们高中数学的容量很大，而且每一章讲完之后，必须要得进行巩固和复习，这样的话你这个掌握的才比较好。这里我们今天用二三十分钟的时间，这个左右的时间，争取把这个第一章给复习做一个小结，做一个复习。还有咱们这个假期课听完之后，你会发现听完之后立马就忘记，这是也是很正常的。你像有些家长担心什么呢？担心小孩子在这边听了课之后，回学校之后他都会了，他不会再听了。我觉得尤其是今天，我刷到一个视频，看到有一个所谓的高考志愿专家。他说那个小孩子就是听完之后会学校不会再听了，高中数学课他不会的，为什么呢？高中数学听完之后，好多同学马上都会忘了，你只管看了那个，很多同学都会忘了，就绝大多数同学上完之后，开学之后，你再问他概念是什么，他忘了。因为它的容量太大了，所以说不存在着你初中时候补课出现那种现象。他只会反复学，反复学，还有些东西还不一定能学得透，所以说我们的家长不要担心这些事情发生，你只看他到底能不能学懂学会。好，我们看一下这里面有五块的内容。第一个跟着大家一块复习一下。第一个集合的基本概念，第二个集合间的基本关系，第三个集合的基本运算，第四个我们还学习了充分条件和必要条件。第五个我们最后学的是全称量词与特征。这个存在量词以及相关的命题。这里我们看一下这个知识网络图。首先我们先学的是集合，由这个集合我们在第二个要学的是常用逻辑用语集合的，我们先研究的是集合的概念。什么是集合的概念呢？就是我们把一些指定对象组成的总体称之为集合。这个我再帮大家回忆一下集合，集合这个用大写的字母来表示集合中的每个研究对象，我们称之为元素。这里面元素有三个特征，确定性、呼吁性和无序性。确定就是你的标准是唯一的，可以确定。就比如说今年高考试题中的所有的难题，那就是不确定的对吧？不同的人他这个机构中的元素个数是不一样的，对于有些同学来说可能是个空集，那就是他太牛了，全部会做互异性就是集合中的每个元素都是独一无二的。无序性就是有顺序，元素和集合之间一定要切记要用属于和这个不属于来表示。表示方法有列举法、描述法，还有韦恩图，就是图示法。这里面我们一般来说还有图示法关系就是包含关系，子集中子集相等关系，还有交集、并集和补集的概念。这个咱们不再一一细说了，就是我在我们再把这个框架图讲的时候，你们再想一下，看能不能回忆起来很多的东西。这里面就是充分条件、必要条件和充要条件。这是常用的逻辑用语的第一个部分。这里我们只要记住，就是这个推导方向不要搞错了，还有小范围可以推到大范围，这是我要重点讲的。比如说PD这个P推到Q以P能推出Q这个P如果代表的是集合AQ代表的这个范围是集合BQQ就是它的什么子集。如果说是P能推到Q但是Q推不到P那就是A是B的什么呢？增值集一定要注意，这是增值集，这个没有研究它能不能互相推出。如果说互相推出，那就是A和B相等，就这样来写就行了。反过来就是反着写就行了。全称量词和存在量词，所以这两个记号也就是说学完之后，这两个记号给搞忘记了。对应的有相关的两个命题，一个是全称量词命题，一个是存在量词命题。还注意它的否定，否定我点讲一下，全称命题的否定就是用特征量词命题来表示，蔡林平表示。前面那一课咱们都已经讲过了，等下后面会有相关的题型，我们再细看。这里首先看这个集合的基本概念，这个我不就我我不再说了。我们来先看一下这个例一，由这个例子我们复习一下，已知集合A是012，这个B集合是X减Y对，第一个实现形式X减YX属于AY也属于，那也就是说你这个XY可以相等，那我们就用3乘3有9种搭配，什么意思呢？你不是X减Y吗？那我们就看X取0，Y也取零对吧？这个就是这个是Y问Y对能力Y等于一和Y等于2。那0和0相减，那有一个0 0减1有一个负一，0.2有一个-2。就像这样讨论，同理X取1，那么Y对应的有012搭配，也有三种搭配。那么一减零是1 1减1是0 1减2是负一。同样你这个X取2的时候，Y对仍然有0123搭配，这样来写就可以了。2减0是2 2减1是1 2减2是0。所以说最后就重复部分只取一个，最后有01-1-2还有2，总共是有这样的五个元素，所以说答案选C，这个我就不再解释了，我们来看一下反思。所以说解决集合的概念问题的时候，我们要关注两点。第一个，研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件。所以说当集合用于描述法表示的时候，一定要去弄清其元素表示的意义是什么。第二个要对于含有字母的几何，你在求出字母的值之后，一定要注意检验集合是否是满足呼应性的。也就是说一定要注意看一看是否有复的东西。切记集合的三要素里面，元素特征里面那个互异性是往往大家忽略的东西。跟踪训练一，这个答案选ACD。这个题比较简单，我就不再细讲了。因为你看如果说你二属于A集合，那二要么等于M对吧？要么等于M方减2减3M加2，你们直接进行讨论就可以了。所以说这里面分两种情况讨论，讨论之后会发现这个答案有ACD，这三个是符合题意的。我们看第二块，集合间的基本关系。机构间的基本关系包括包含中包含商等，这是一个。另外我们对于集合间的基本关系，他有些时候是比较抽象的。我们有些时候少不了这个数轴和韦恩图来结合起来进行，尤其是有些含餐的问题，讨论的时候要用得上。我们看第二这个问题还是暂停一下，然后我调出来给你们对一下答案。这个答案是A小于-2，或者是A大于等于2分之1小于1。如果你做对了，还想看一下解析，看思路一样不一样，你就可以看一下。如果做不对，你要认真听。这里解析因为A小于一，所以2A小于A加1，这样的话我们可以保证B不是空集。注意，先保证B不是空集，当然了B有没有可能是空集呢？当然有可能就是我们随着这类题型容易忽略对空集的讨论。这个画数轴的话我们就这样来画，这个2A到A加一刚好在小于负一的范围之内，或者是在大于等于一的范围之内。两种情况你看一个是在左边的这种情况，一个是在右边的这种情况。那我们直接根据图来列不等式就可以了。由A由B是A的子集，可以知道A加1一定要小于-12，A大于等于中间用货值连接就行了，结束这个范围即可。GA的范围是它。好，现在有一个问题，有同学说老师前面如果B空，就是有些题目这里面涉及的可能就是没有这个范围。说你要讨论B有可能为空解，这个也要讨论。此题是不需要讨论，因为它有A小于一这样一个条件在，所以说就避免了AVB为空集的可能，这个是我要垫脚的东西。好，我们来看一下，处理这种问题的关键要注意用图示，就是用这个数形结合的思想。第二个要注意空给，第三个要注意字母含参时候要注意分类讨论，讨论的时候一定要做到不重不漏，这是咱们要特地演讲的东西。变一道题，大家暂停把这个跟踪训二练一练。我来对一下这个答案，看跟你刚才暂停之后做的答案是否是一致的。这个M是小于等于4，这个题比较简单，我就不再多讲了。只要讨论先讨论B为空集的情况。你看这道题就有B为空集对吧？对于空集就让M本来是X大于一，小于M的M要比一大才可以，对吧？结果我们只要让M小于等于一就是空集了。第二种M大于不是空气的时候，只要让一到MB完全含于看数轴，完全含于-3到4之间就可以了。所以说我们列不等式的话，就是可以直接让一本来就比负三大，对吧？这边左边就不要列了，只要列这个右边的M比4还要小或相等就可以了。我们看第三类集合的基本运算。集合的基本运算主要是交集、并集和补集，这里面主要借助维恩图或者是数轴。还是一样的，我们看一道例题，这道题非常的简单，非常简单。这个题我们就不再多讲了，你们可以直接做做完之后我们对下答案就行了。这题答案是选AB，具体的解析大家可以看一下图形来画，先求先由AB，你们可以先把这个A的补集和B的补集先求出来。大家看如果做错的同学看一下这两个做的是不是对的，一步一步检查，然后通过数轴来取交集，还有后面的这几个的交集的结果，一定要重视。我们来看一下这个反思感悟地域法或者是文图法，这是第一个要注意的。第二个是数轴法这个其他就不再多解释，比较简单，不要多说了。跟踪训练三这里大家我想提醒大家注意一下，这里面的M级和N级都是代表的是点集。大家看啊这个呈现的形式都是点，一个是二次函数，一个是一次函数。所以说交集就是相当于这两条1元1次函数和1元2次函数图像的交点，直接联立解方程即可。这个直接算出来两根，一根是00，一根是三，这个其实不用算，为什么呢？别人直接判断个数不是让你写的对吧？第四块内容就是充分条件与必要条件。这个充分条件与必要条件的题不太难，还是刚才我们说了，你要是对于推导方向记不住，那可能将来做题做的都是一个反向的情况。所以说这个定义和概念要理解透，在理解的基础之上一定要把它记死背牢，不能就是记得模棱两两可的，含含糊糊的那就不行。我们来看这个例四的第一小题，这道题也是咱们前面讲过的题型，比较简单，直接将A等于二代进去，会发现可以求出这个B的范围是X大于0小于4，然后再取交集和并集就非常的简单，这个就不再说了。我们来看一下第二问，第二问说这个P命题是X属于AQ命题是X属于B如果P是Q成立的必要不充分，那必要不充分就是Q能推到PP推不到Q那不就是QB是A的真子集，这里面有个打印的一个问题，这个是注意，这里面我们写上一个真子集，只有增子集才符合这样一个条件，对吧？就小范围推到大范围还不能相等，所以说必须带正集，不能用子集。由这个范围我们首先看B有可能为空集来讨论。那B为空集，根据我们前面讲的这个知识点就可以得出A小于等于0。还有B非空的时候，跟前面题型一样的画一个数轴，列出这样一个不等式组，解出来就可以了。所以最后解出来两问一定要去并集，并完之后就是A小于等于一，就是这个是B不为空集的情况。A小于等于零时B为空集的情况，两个再并起来取并集，就是A小于等于一。这里面反思对于充分必要充要条件常用判断方法。第一个是定义法。强调一下，这个定义法是咱们高中阶段四十大概是四十多种方法，常规的有四十多种方法的一个非常重要的方法。他到高二阶段学这个解析几何里面的定义法也是经常用的。包含关系的判断，大家注意设命题P对应的集合为I这个Q对应的几个为B所以A小A是B的子集。如果说它是这样一个条件化，如果说如果A是B的子集就会有这样一个条件。如果说A是B的真子集，就是我们刚才讲的充分不必要或反倒写比较不充分。相等就是存在条件。不要使劲背，有的同学就是爱死记硬背，你死记硬背的话，他辩题辩题的话，你可能就不能做到活学活用。一定要注意先理解再记忆，这样的话你的高中数学才能够学的比较好。这个例题也是让来大家来练一下，练完之后来对一下这个答案。第一问很简单，第一问我就不再讲了。第一问的这个答案是啊我在调题再看一下。第一问的答案交集是1到2，并集是-2到5，-2到5。大家把AB的那个集合写一下之后，我们来看一下。第二问，这里面就出现一个什么充分不必要说明A是B的真子集，这里面一定要注意真子集，然后再由恒成立问题对吧？你M减1小于它恒成立，所以集合非空得出这样一个不等式组，解出来即可。基于IE的检验，M等于负一。这地方我们说要点讲一下，点点一下它这两边同时取等了，对吧？取等的话你要把去年的端点验证一下就可以了，这是一个易错点，大家要注意。就是你把这个负一带进去之后，你看一下对吧？看一下还有这个那边的一带去也看一下，两个都看一下，哪个符合就保留哪个，哪个不符合就把它舍掉。所以说最后M的范围是大于负一，小于等于一。我们看最后一个全称量词与存在量词。这里基础知识前面我们已经说了，就不再说了。就是把这个全称量词改成什么存在量词来进行否定就行了，这是一个重点。我们看一下例5，你看只要带任意的先把AB排除，AB不可能是否定CD里面看后面否定不否定。所以说此题答案选D很简单，这个反思我就不再讲了。我们看一下跟踪训练5，至少有一个正实数X满足方程，那么他的否定是还是一样的范围不改量词，改至少是存在量词改成全称量词。所以说我们就改成所有的真实数都满足这个方程，都不是都不满足这个方程，后面否定对吧？把后面那个PX改成非PX即可。所以说我们把至少有一个改为所有满足改为都不满足的命题的否定，就会得到这个命题否定我们来练几道题。第一题这是入门级的题，这个文科生就是选文的同学可以那个是基本上是属于送分题。你这第一题做不动，全省垫底儿的同学都就是以前可以垫底的，就可以把你踩在脚下，这就是很可怕的。这个答案选67，这个不再说了，你对下答案就行了。第二个也是很简单的对，这个答案选C看看你做的对不对，这是数轴。第三题A大于一是A方大于一的什么条件？这个我稍微讲一下，A大于一我们知道一定平滑之后，一定可以推出A方大于一。但是反之A方大于B，有可能A是小于负一的。这个1元2次不等式我们暂时还没有学，对吧？因为这是新课，还没有学，马上后面会学的。所以说你可以想象一个负的情况，所以说左边能推出，右边就是你A大于一可以推到什么？A方大于一可以推出的话，但是反着呢推不出来。所以说这个答案不就出来了吗？是充分不必要。第四个也是一个定义的，也是比较简单，此题的答案选C，这几个题型我们就先评讲到这里。后面就是随着下一节课，我们学这个第二块不等式里面不等式也是一个重点，里面有一个难点叫做基本不等式，是一个重难点。希望大家提前可以把这个课本预习一下之后，再听这个衔接班课，这样效果会更好。本期视频就讲到这里，感谢大家的观看，下期我们再见。