同学们好，本节课我们来继续学习充分条件和必要条件。这节课我们主讲充要条件，上节课我们学习的要充分条件与必要条件的判断。尤其是我们上一个小的，如果P能推到Q那么就是小范围可以推到大范围。那么小范围代表的条件，P就是大范围Q的充分条件。我们知道了这个导致结论成立的条件可能唯一比如说你这个充分性，但是你反着推有可能就是会出现多解，就是小范围和大范围之间的一些问题。同样的条件也能得出不同的结论。你比如在生活中有一些实例，像这里我们举了一个例子，就是人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上也有一些类似的问题。就是说人如果不来侵犯我，我就不去犯人，人若犯我，我必犯人。这个就是涉及到我们充分条件和必要条件了。我们先看一下这个充要条件。首先我们来看第一个问题，下列若P则Q的形式中，哪些命题与它的逆命题是真是都是真命题呢？这里面涉及到命题的一个真假。这里我们来看什么是逆命题，逆命题就是若P则Q那么它的逆命题就是把条件和结论，对，把条件和。结论。完全反过来，那就可以写成若Q则P所以说我们来看第一个，我们首先来看第一个，若两个三角形的两角和和一其中一角所对的边分别相等，那么则这个三角形则这两个扇形全等。我们看啊如果两个三角形全等，则是两个三角形的周长相等。它们的周长是相等。我们可以发现我们可以发现这个并不是它的逆命题。第三个，若1元2次方程有两个不相等的实数根，则AC小于0。那么它的逆命题我们怎么写？就是若AC小于0，则1元2次方程AX方加BX加C等于有两个不相等的实数根，要这样来写。那么第四个A并B若A并B是空集，若ABB控制它的逆命题是什么呢？就是那它后面不是，则A与B均是空集，那么它的逆命题就可以写成，若A与B均是空集，则A并B是空集，则A并B是空集，是这样来写上逆经验。我们来看一下下列形式命题中，哪些命题与它的逆命题都是真命题。首先我们看第一个，如果两个三角形的两角和其中一角所对应的边相对应相等，那么这两个三角形全等，这不是角角边公理吗？对吧？这是角角边公理是可以的。那么反过来，如果两个扇形全等，肯定可以推出两角和一边相等的对吧？0.33元边都相等，所以说一它是符合的。我们看第二个，若两个三角形全等，则是两个三角形的周长相等，肯定了。但是反之周长相等不一定推出全等。所以这第二个它的逆命题是不对的，所以逆命题是错的。第三个1元2次方程有两个不相等的实数根，就记B方减4 ac大于零就可以了。你B方减CAC大于零不一定能推出AC小于零对吧？反之如果AC小于0，一定能推出这个方两个不相等的15个1元2次方程。既然说1元2次方程这个A就有一个隐含范围，A不等于0，所以说逆命题是对的。然后我们看啊，若A并B是空集，A并B是空集，也就是说你这个AB只能都是空解。所以说第四个原命题和逆命题也都是真命题，这是问题一的四个小命题。我们来看一下，后面的你通过判断原命题和逆命题的真假来判断PQ的关系吗？我们看一下，首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能单独说一个命题是逆命题，这样说法是错误的。既然能说的逆命题必有原命题。既然说原命题，我们一般来说也可以找成立命题，判断P是Q的什么条件。其实质就是判断若P则Q及其逆命题，若Q则P是真是假。原命题为真，而逆命题为假，那P是Q的充分不必要，那什么意思呢？这里面我们用一个符号来标注一下，这边我换一个颜色笔，好，我们换一个绿色，换一个生机勃勃的颜色。你们看啊原命题为真，原命题为真就是P能推到什么Q对吧？这不就原命题为真吗？那么另一命题就是若Q则P，就是Q推不到P对吧，反倒推不行了。我简单写就是P能推到Q然后Q推不到P所以说P是Q的充分不必要。你们把这个格式一写就行了。然后我们再看一下后面原命题为假而逆命题为真，反正就是PSQ比较不充分，这个就也比较好理解。原命题为真，逆命题没争那就是重要条件，就是互相推出。你这个第后面这个条件大家注意，就是左边您推到右边，右边也能推到左边，那就是重要特点对吧？好，原命题为假，逆命题为甲，就是既不充分也不必要，这个就是我们问题二所展示的。我们来看一下这个第一，如果若P则Q和它的逆命题若Q则P均是真命题。既有P推到Q又有Q推到P我们记住P推到Q互相推出，此时P既是Q的充分条件，也是Q的必要条件。我们就说P是Q的充分，不必要简称为重要条件。要注意，你要判断同样条件，一定要注意这个判断方法。首先确定哪个是条件，哪个是结论。第二个尝试推用条件推结论，再尝试用结论推条件，就互相推一下，最后再判断，就根据定义来判断条件是结论的什么条件，是到底是取充分还是取必要，这是定义。我们来一第一先了解一下这个充要条件题，指出下列各组命题，P是Q的什么条件？这是一般都是选择题居多。第一个X等于一，X减一等于根号下X减1，这个比较简单。我们首先看一下X减一大于等于零对吧？两个相等，X值取1。所以说当X等于一的时候，我们发现P能推出Q但是右边这个Q它是一个大范围。大家注意，这是个大范围，X等于一也可以。我们两边平方之后，会发现X等于二也是可以的。所以说这个是小范围，可以推到大范围，但是大范围推不到，小范围，那么P4Q的充分不必要，这是第一个条，第一个叫做第一个，这个结果是充分不必要。好。我们来看一下。第二个还是要来大家先思考一下，再看我的推导。你们看一下跟你们的这个分析结果一样不一样，这个比较的简单，这个比较简单。P我们知道负大于等于负一且小于等于5，那不就是另外一种写法吗？这个题没什么意思，但是互相可以推出就是同一个条件就另外一种等价转化的表示方法，大家一定要注意。第三个X加2不等于Y那不等于Y的话，我们来看一下X加2的平方不等于Y方，这个是这个时候很惨了。我们看一下由Q我们可以知道X加2平不等于Y方一开方X加加二不等于Y或者是X加二不等于负Y那就说明Q的范围大，Q的范围大小范围推大范围大范围推不是小范围不就判断了，所以说P4Q的必要不充分。比较的简单，我们继续接着往后看。第四个A是自然数，QA是正数。那既然是自然数和正数，自然数自然数里面还含有0，对吧？自然数还含有0，那你A是自然数，对，不一定推出A是正数。反之A是正数，不一定推出A是自然数，因为A还有0。由这样一个零就可以排除，就可以排除既不是充分，那既就可以排除充分条件和必要条件。所以说只能是什么呢？既不充分也不必要，既不充分也不必要，这是这个例题。我们来看一下判断充分条件和必要条件以及充要条件四种常见方法。第一个第一，这个是最常见的。第二个集合集合也比较常见。第三个等价转化，第四个传递，这个传递也偶尔也会考到这4种方法，大家一定要切记。我们来练一道题，指出下列各组命题中P4Q的什么条件。大家先做做完之后我给大家对一下答案。第一个我们来看一下三角形为等腰三角形，这个是充要条件。只要扇形出现两角相等不就等于扇形吗？叫充要条件。第二个必要不充分，两条弦相等的弦对着云度者自然而然相等，对吧？自然而然相等。当然圆周角还有互补，你看它这个咸，对的，有一个大的圆度，一个小的圆周角。这个是反倒能推，就是P推不到这个Q但是推到P反倒可以推是对的。第三个A交B是空集，AB之一为空集，这个不一定，任何集合交空集都是空集，对吧？所以这是必要不充分，就是A与B之间只要有一个是空集，Q可以推到P但是反之不一定。第四个，A能被这六整除和A能被三整。你想你既然能够被六整除，自然能够被删除。但是能被3除一定能被六整除吗？不一定。这个也比较好理解，所以说是充分不必要。我们再看第二个知识点，叫充要条件的证明。这个证明这一类题型我们以一个例子来讲，我们来看一下。第二，求证1元2次方程AX方加BX加C等于0。有一正式入根可以副食乳根的充要条件是什么？这里我们来看一下这个完整的推导过程。首先这必要性什么意思呢？就是由这个它的成交量不是AC吗？AC大于0，那我们看一正一负来推AC小于0，由于方程有一正根和一负根，根据系数关系，对吧？首先德耳塔大于0，两根之积等于A分之C两个N之和负的A分之B把它写出来，两根之积就是A分之一小于0，A分之一小于零不就等价于AC小于就是一号，这就推导完了，必要性就做完了。我们看充分性，充分性就是AC小林来推，这有两个由AC小于零可以推出。德耳塔是什么大于零的，因为B方减11，就像刚才前面那道题，我们已经讲过了，即两根之积A分之C也是小于零的，所以该方程一定有一正根，有一负根。这次就证完了，我们来看一下反思充分条件证明的两个思路。第一个是直接法，这个直接法用最多，也是最好想的。第二个是用集合的思想，如果A和B相等，那么两个集合相等的话，那就是P和Q可以互推，也就是互为充要条件。我们念一道题，求证1元1次函数的图像过原点的重要条件是B等于0。这个首先证充分性，也就是说当B为零的时候，Y是等于KX自然而然过圆点比较简单。当X为0Y等于零图像过原点验证一下就可以了。必要性就是因为1元1次函数图像过原点。既然会员把006带进去了，会发现零等于K乘0再加B，所以说B为零。综上可知，最后答一下，11次函数的图像过原点的重要条件就是B等于0，这个是帮大家回忆初中的这个一次函数的，而且B为零，大家还有印象吗？这个函数叫什么函数？对，这个叫正比例函数。同样还有一个反比例函数是Y等于X分之K这些图像一定要得牢记。我们再看最后一类题型，充分条件、必要条件、充要条件的综合应用。我们以例三为例来讲解一下，已知P-2到10Q含参P4Q的充必要不充分。大家先思考一下，等一下我来垫脚，垫脚完了之后，我们直接把这个单给解出来。P是Q的必要不充分，这样的话你们可以先画一个流程，流程就是推导符号图，P不充分就是P推不到谁啊，Q而Q可以推到P比如说P代表的集合是A集合，Q代表集合是B集合，那就说明B集合是A集合的真子集。大家切记要用真子集，不能用子集，子集有可能推到A这个有可能相等的，相等就是存量条件了。如果说你是真子集，那A就是B是A的真子集，那就是Q可以推到PP推不到这个A因为P的范围大，对吧？说明A集合的范围大，这就是说明Q这个范围是它的增值集。我们画出一个草图，-2到10，这是-2，这个是十，-2到10我们把它框起来。你这边的如果说要是它的增值集，那你这个一减M只在这里，还有一个一加M在这里，所以说我们要讨论，首先讨论为空集的情况。空集讨论完了之后，空气失真和非空集合真子集在讨论一减M要大于-2，负二一加M要小于10，那么能不能取等，肯定要研究一下。比如说你这一减M如果取到-2，发现这个值只要小于10就可以。如果一加M取到10了，一减M只要不等于负二就可以了，只要大于负二就可以了。如果说一加M等于十的时候，一减M刚好等于-2，那就相等，那就不行了，要把这个M值给舍掉。所以说大家可以先带等号操作，你不带等号操作，最后再讨论也行。两种方式都行。一定要切记，在等号处一定要得单独讨论，防止漏解，这是很重要的。好，我们来看一下具体的解析，具体的解析。因为P是Q的必要不充分条件，所以Q是P的充分，不必要就会反着写，就怕大脑转不过来就反着写。所以这个打印的有点问题。这个是什么？就是真子集，就是刚才已经说过了，是真子集分之一，故有1减2M大于等于-21加M小于10，或者是用一减M大于-2的时候，一加M小于等于十也行了。他是怕这个出错，所以说我们分这样两种情况来写也行，这个都无所谓。又因为M大于0，所以说实数M最后的范围就是M大于0，相当于13。这里我要啰嗦一句，我们有些同学解题的时候，这个情绪非常容易波动。给他写到这里来，一兴奋好了，这个大于零的条件忘记看了。你看一看我说的这个问题是不是在你的身上发生了，这个一定要得注意。这个线下的课的时候，我发现很多同学就写个M小于等于3。在这里就是要注意不够严谨的解题过程当中，一看到有思路了，内心过于得意，从而出现错误，这也是很可怕的一件事情。我们来看一下延伸探究，若本例中P是Q的必要不充分条件，改成P4Q的充分，就是必要不充分改成充分，不必要加强了，不必要把它都变成子集和对应的改一下不就完了吗？对吧？所以这个时候就是P集合代表的是Q的一个子集。那真子集那就代表着A是B的真子集这个位置仍然写成什么呢？真子集真子集。所以说我们画个草图的话就是这样的，你这个是一减M这个是一加M这个是-2，这个是四排列，就是这样的排列对吧？这样的排列。好，然后我们列出这个相关的四就可以了。跟刚才一样，一个带等号，一个不带等号就可以了。操作解除这个不等式组。注意比如说你这边小于等于-2的时候，那边就直接大于4，这边小于-2的时候，那边是大于等于4，这样写也可以。最后解除这个M大于等于9就行了，所以实数M的范围就是M大于等于9，所以这两个集合最后取并集，因为你这中间是用一个或值或字来连接的。还有若本例中，我们继续看辩题，本例中PQ不变，是否存在实数M使得P4Q的充要条件？那充要条件就是它俩完全一样。你要看比如说你一减M取-2的时候，那M只能取3，M取三这边是四，它俩不可能相等的这根本就不存在，这M不存在。这个也比较简单，但是作为系统化的梳理这个题型的时候，我们还是要来探究一下。我们来看一下反思感悟。这里面求解这个含参范围的，一般来说有这样不几个不一般步骤是，首先根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或者是充要条件三者转化为集合之间的关系。第二步就是根据集合之间的关系来构建关于参数的方程或者是方程组，不等式或者是不等式组。你看刚才我们构建的是不等式组，不等式组来解答。我们再练一道题，在充分不必要、必要不充分、充要条件这三个条件中中任选一个补充。在下面的问题当中，若问题中的A存在，求A的范围，而A的取值集合M如果问题中的A不存在，请说明理由。我们来看这样一个问题，A集合是0到4，B集合是一减A到1加AA是正值。这里面切记，我把这个着重画一下，有些同学眼神不好，对吧？我画一下之后，看你你等一下做完了，看能不能想注意稍微关注一下，必须要关注一下A大于零的，那么是否存在实数A使得X属于A是X属于B的成立的什么条件？这里面它属于裂构性试题，大家注意叫列构性试题，你选一个擅长的去解，这里面我们只讲一个，其他两个我等一下调调这个过程给大家看。充分不必要。比如我选的是第一个，充分不必要，充分不必要就是前面能推出后面，后面推不出前面。所以说这第一个就说明是A是B的真子集，第二个，但是B是A的正值积，第三个就是充要条件，不是两个相等。这个由上一道例题我们知道了，我们首先我们只讲第一个，如果说你选的是一，你选的是一的话，那就说明0到4是一减A到1加A的一个真子集。这个是零，这个是四在它之间。所以说我们列的时候跟刚才一样的列法，一减A小于零的时候，一加一就大于等于4。或者是第二种情况，一减A小于等于0的时候，一加A24把，这两个取完之后取并集。就是有答案会了吗？这跟刚才是一样的。好，大家可以暂停自己做做完之后我们再调解析。首先这是选一的过程，选二的过程选二的过程，然后选三的过程，就是选二的过程，还有选三的过程，也是不存在跟刚才答案是一样的，跟刚才答案一样的这里我们对本节课进行一个小结，知识清单里面我们继续，我们仍然是。讲了三个，第一个充分条件，必要条件就是充要条件既充分又必要的这个概念的理解。第二个充要条件的证明，第三个充要条件应用这个方法主要是等价转化，常见的误区就是条件结论辨别不清，这是一个常见的误区。我们练四道题。首先第一题比较简单，此题的答案选A充分不必要，就是X大于0，可以推出X确实不等于零的，X不等于零的还有可能X小于零对吧？所以说是充分不必要。第二个。你看。看这个答案能不能对上，此题的答案选B必要不充分，也是小范围和大范围的问题，这个比较简单。第三题A小于B是A除以B小于B的什么条件？A小于B这里面B有可能AB，AB有可能都是负值，什么意思呢？你比如说你A取-2，B取负一，A小于B那A除B就大于一了。所以说左边推不到右边，左边推不到右边，那A数B小于1，比如说A为正值，B为负值值，那ACB不是负值，对吧？这个也是不行的。所以说此题的单选D既不充分也不必要。第四题还是暂停做一下。之后我们再看一下对称轴方程。我们知道1元2次函数图象，对称轴就是X等于负的2A分之B就是2乘1分之M就是负的二分之M那么如果说让它关于X等于B等于只能的话为一，所以说M只能娶谁呢？-2，所以说出现条件就是M取分。好，我们来看一下最后一个拓广探究。这个典例大家继续暂停，等下我来讲解。你们看一下这个跟你们的过程一样，这是充要条件。四点公园四边形四点公园不就是对角相加180，这个也比较好理解。第二个，已知ABC属于RA不等于0，判断A减B加C等于零是1元2次方程。有一根为负一的什么条件？好，我们看啊这是充要条件，为什么呢？我们先证充分性，再证必要性。比如说当ABC属于R的时候，A不等于0的时候，如果A减B加C等于0，那么负一肯定是满足这个方程格式。因为你把这个负一代进去之后，A乘负一的平方就是A，就减B再加C等于0。所以负一满足方程，负一满足方程的话就说明有一根为负一。这个左边推右边就证完了。我们看右边推左边，如果有一个人是负一把负一代进去会发现A减B加C等于0，对吧？所以说故A减B加C等于零是2次方程有一根的有一根为负一的一个必要条件。今这一节的拓文难求的题目难度不大，一点也不大。通过通过咱们这两节课的充要条件的学习，你们会发现这个在实际生活当中的很多的成语，实际上有些题目就是暗含着一种充分必要的一个关系的哲理在里面。所以说通过今天课的学习之后，你们对像有一些像这个记者写文章，他说的全面不全面，因为会有一个不同的认识的。好，今天的课就上到这里，感谢大家的收看，再见。