同学们好，本节课我们来学习集合的并集交集。前面课我们已经学过两个集合之间的关系，那就是子集和真子集的概念。随着这节课的深入，结合的前面的基础知识理论基本上就可以学完了。好，首先我们来看一下并给的预算。这里我们引入一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种。第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠和方便面，总共是四种。我们用集合A表示第一次进货的品种，集合B表示第二次进货的品种。现在大家观察一下，你能用C集合表示两次进货的品种吗？并讨论AB与集合C之间的关系。这是一个第一个小的问题，大家可以先思考一下。这里我们来看一下解题过程。一结合我们可以把它罗列出来，像圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本方面，汽水B集合也把它罗列出来，有这样的思路。C几何既然两次都有了，那么公共的部分我们把它列完之后，还有其他的全部都列出来。这样的话我们就容易发现集合C它是由所有属于集合A或者是属于集合B的元素构成。把这样的集合我们就称之为并集，我们叫做并集。好，我们来看一下这个定义，一般的有所有注意，所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，我们称A与B的并集，记作A并B所以这个集合的这个符号以及读法怎么去读的这里面我们如果说要用文字语言来，也就这个数学语言符号语言来描述，就这样来描述，就写一个X一竖杠X属于A中间用一个或字。注意逻辑连接词一般高中阶段我们有一个祸起而非这三个，一个是货，一个是且，第三个自然是非。这里面我们是用或字来连接的，还是水B来表示这个病机？好，这是这是这个图形语言，上面是符号语言，这是图形语言，这是原图。大家看如果两个相交，把他们所有的公共部分表示起来，对吧？如果说没有交集，没有公共部分，那就把这个阴影部分全部打上，对吧？这个是全部在这里面有几个性质。第一个性质是A并B和B并A一样，A并A是等于A的，这个靠大家理解，任何集合并空集还是任何集合，后面这两个比较重要。第一个如果A并B等于A一定可以推出B是A的子集。你们看上面这个图，你看A和B并完之后是完全是A说明B完全是在A之中。这个由图形语言我们可以看出来。你比如说如果说你理解不了，你用一个归谬法的思维。假如说B有一部分在外面，那ABB还有一部分肯定是在ABB里面，那说明它就不不可能不可能等于A。还有任何一个集合是该集合与其他集合并集的一个子集。注意这样一个性质也是比较重要的。好，这是基础知识部分的几个。第二我们要注意一下，两个集合的并集仍然是一个集合，这是第一个要注意的。第二个我们并集符号语言当中的或者包含3种情况包含三种情况，这是第一种情况，这是第二种情况，这个是第三种情况。大家注意这三种情况一定要注意理解，还有对所有的理解要注意集合元素的互异性。你比如说你A集合中，我们前面写一个123123，你B集合写个124，然后你写个A并B你说两个集合都有一把，这边的123A级和123读1下，你后面又写个124，那就不对了。因为这两个是重复的，重复你只需写一个就够了，所以说你就写1234就行了。一和二都是重复的，要注意呼应性，这是要点讲的注意点。我们来看一下这个例题。首先看第一个例题，A节课是1248，B集合是149，那么ABB就是1248，中间依次重复不要了，再填一个九就可以了。所以说最后的这个病机就是12489，这是第一个。第二小题还是一样的，你们自己做做下之后再对一下。我这个解析设集合A是等于0到4，B集合是1到5。那么ABB需要大家画这个数轴，我们可以通过数轴来看。如果说你这个大脑很厉害，你不画数轴也行，这个都无所谓。当然这个简单的不画数轴其实也可以无所谓。但是0到4则是A几何，那么现在换一个紫色的笔，我这边标一下B几何。B节课是一实心的，15我们用空心的，这个是51到5。那么公共部分0到4的肯定是都包含，而4到5这段也在它范围之内。所以最后0到5是左就是左边带等号，右边是小于号，不带等号就可以了。这个由伟人图我们可以看出来，我们来反思一下，就是总结一下并集的运算技巧。这个并集的运算技巧有这样的两个，大家要注意一下。第一个，若集合中元素个数有限，直接根据并集的定义求解就行了。但是一定要注意，重复的不要写了，不要写两次就行了。第二个，若集合中的元素个数无限强。第二小问对吧？我们就画了数轴，利用数轴分析法来求解，一定要注意，端点值一定要注意看有没有，一定要注意讨论一下，关注一下就行了。好，我们来进行一道训练。题我们来解，我们来解一下，设集合A等于1到3，B是2到4，那么A并B是多少？还是一样的，大家一定要注意画数轴，脑袋比较厉害的话可以不用画数轴。这个是一，这个是三，1到3，然后2到4用空心的，两个并起来，1到3都包含对吧？然后3到4这一段也把它加上去了，所以说就是1到4这此题的答案是选C看看你做的对不对。好，我们来进行第二个交集的运算，讲一下交集还是一样的。我们来看一下问题2，对于问题一中的AB集合就是那两次进货的。两次进货。如果说我们集合地表示两次进货一样的品种，并讨论AB与D之间的关系，我们来看一下刚才的A集合是这样的几个圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水。第一个是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面。那有没有同学看到这个东西之后饿了？可能你你可能是在深夜看这个视频是吧？可能饿了，饿的话你们就看家里囤的有没有方便面可以拿随时啃一下是吧？这个要注意，公共部分不就圆珠笔横横的吗？你看圆珠笔，我们的刷数学题必备的工具，方便面肚子饿了要吃的。这就是集合D的交集，对吧？可见集合D既是属于A几何又是属于B几何。实际上这里面我画个文图大家看一下，你看这个是A集合，这个是B集合。那么它们的公共部分就是两个，一个是方便面，一个是圆珠笔，这个就是D几何。你们看D几何这一块区域在A中也在B组，所以说D就是A和B公共部分，它自然而然既属于A又属于B我们来看一下这个定义，一般的由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的新的集合，我们称之为A与B的交集。注意这个记号是A那个框框朝下，那个并集大家还记得吗？并集是朝上的，交集是什么呢？朝下的练个椒字就可以了。你看像咱们那个人与人之间的交流，对吧？有些人就是说老死不相往来，为什么呢？因为没有交集，没有公共没有共同语言，是吧？肯定有病急，但是肯定有病急，政策没有交集。两个人相处最主要的也是要有交集，交集越多两个人的联系就越强。有些时候就咱们很多的有一些人写段子，网上写段子，他就会用一些几何语言的一些东西来写这个段子，写的非常的有意思。我们看啊A交B就是X既属于A又属于XB就是用一个且字来连接，这个并集是用或字来连接。我们看图形语言就是这三个语言，大家可以看一下，一二两格一二两个，你看A加B和B加A是一样的，一个集合并集合，A集合还是A集合，一个集合交易集合还是A集合？A交空集是空集AB空集是A这个前面咱们讲过，如果A交B等于A那么A是B的子集。你看我们这个图是A交B等于B像这个图贝恩图对吧？它所以说它这个说明是B是A的子集，而且A加B一定是ABB的增值子集，不一定是增值子集。还有A交B一定是BA的子集，A交B也是B的子集。就是这两个既属于A又属于B，既含于A又含于B，对吧？所以说有这样几个性质，每一个性质大家注意一定要理解透。你看你们看啊，学到现在了，你们应该知道了高中数学的特点是什么。这个知识点太多了一个小定义，一个性质，它可以引入很多的结论出来，特别多。回头后面讲课的时候，你们会发现这样一个特点。所以这里面我们来看一下注意点，A交B仍然是一个集合，这是跟并集是一样的。文字语言中所有的含义要注意，A加B中任意一个元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A加B。这个要注意。第三个要注意一点，就是如果两个集团没有公共元素，不能说两个集团没有交集，只能说是空集交集为空，对吧？怎么说没有公共部分我们说是空给实际上这个是人为定义的，你说没有交集的意义，你理解就行了对吧？就是没有公共部分主要是从集合的讲义的话，它有个空集。在自从有了这个空气的说法之后，很多的东西描述也要小心了，这个要注意。我们来看一下这个例子，若集合A等于-5到2，就是大于负五小于2。第二个集合是-3到3，还是一样的取公共部分，这个其实比较简单。其实你们可以试一下口算对吧？那肯定是-3到2，这个答案选A如果画数轴的话，大家可以看一下这个数轴。这样的话你看一个是-5到2，一个是-3到3。你看公共部分就是这个阴影部分，比较的简单，我就不再多解释了。这个就更简单了，这个直接选D，这个不再多说了，你们可以直接取公共部分，直接带，对吧？你NG和0带进去成立，一带进去成立，二不成立，那不就只能选01。公共部分，我们来看一下这里面的一个反思，交集的运算大家注意，交集运算要注意球集和交集的运算，类似于变集的运算。这里面方法有一个定义法，一个数形结合的方法。第二个要注意，如果AB是无限连续的数集，一般来说用数轴来解比较多。我说的尤其是端点要注意讨论什么时候用实心的，什么时候用空心的，还有交集。在这里面有几个结论，如果A交B等于AA是B的子集，或者A含于B如果A加B等于B那么A并B也等于A的话，如果它俩相等的话，会有这四个字都是成立的对吧？任何几个叫空集，都是空集。这几个这这几个性质大家要注意就行了，要靠理解啊不要死记背硬，因为它的东西太多了，你是病完了。我们来做一道练习题。首先我们来看工作训练二的第一小题，已知还是一样的，暂停做完之后再看解析，看讲解，给他听一下老师的讲解。已知AX大于一小于6，B集合X大于4小于8，还是要画数轴，请看数轴，这个是答案，看你要是对的话就不用看了，直接跳过去。不对的话看一下这个数轴，看是哪里出问题了。比较简单，你们看啊1到64到8画1下之后，公共部分就是谁啊，4到6这个比较简单，我们就不再多说了。好，第二个大家要注意，这个是代表的是一个直线方程。比如说你把它化成Y等于3减X这不就是你们初中学的什么1元1次函数，对吧？这边也是Y等于X减1，化简一下。那么这两个函数的这如果说相交代表是什么意思？你们看啊它前面的元素的特征就是这样呈现的形式，就是点的坐标的形式。所以说从这个意义上讲的话，A加B就代表的是这两条直线的。大家注意是这两条直线的小点。你看B集合代表是这条直线，所有点就是A集合代表是这条X加Y等于三这条直线所有点。所以说2两个2条直线的公共部分就是这个交点。所以说直接联立方程X加Y等于3，X减Y等于一，联立方程解这个点的坐标就是21。但是你写的时候，大家注意，写的时候一定要写成点的坐标的形式。你这种写法不对，这种写法也不对。这种写法代表什么？这种写法代表两个元素，两个元素代表是两个代数式，一个是X等于3，一个Y等于一，它是两个元素，这个也是两个元素代表是二和1。那不是点，你看人家集合呈现形式都是点，只有C只有C才是对的，才是符合的这是考察定义的理解。这道题出的比较好，这个题虽然说有同学解出来了，不一定能选对，是吧？都是考察他对定义的基本定义的理解，肯定理解透了没有。好，我们来看第三类题型，根据并集交集运算求参数。这里我们来看一道例题，就是第三类题型相对难一些，还是一样的暂停。暂停之后做完之后再看一下这个解析。我们可以画一个数轴，这题答案选C，看你做的对不对。画一个数轴，大家可以先看这个图，X小于等于负一大于等于3，B集合是X大于A小于4。如果A并B是R图，只能如图来画。这样的话可以把中间的-1到3这一块，大家注意，一定要这得画到B里面。如果你画到B里面，你这个A大家注意一定要小于等于负一，因为四已经在这边了，对不对？所以说A一定要小等于负一，刚好等于负一的时候也可以，一定要讨论A等于负一的时候是否是成立。你看人家这个选项里面有C和D的差别，一个是含有负一，一个是不含负一，这个一定要确定。那么我们看这个例题中的A并B如果说要变成A并B等于A如果说你要变成ABB等于如果我们知道如果ABB等于说明B是A的什么子集，那我们回头看看这个，还继续看这个图，如果B是A的子集，那你看你这个图纸只能跑到这里面的一小点，看到没有？这是A，这样的话它才完全在这里面。所以说这个A只需大于等于三就可以了。你看直接根据刚才的图像去做就OK了。直接看图，直接写出来就行了，我们也不用解析这么麻烦，比较的简单。还有我们再看一个变形，他说如果说把这个A到四改成AX大于1，小于等于4减1。好，我们再看一下刚才这个图，我把那个图补在这里。刚才这个图是这样的，这个是负一实心的对，实心的。这个是三，这个是三。好，现在他说是A到A4减A那么A在这里，那么同样你画这个4减1肯定要画到这边来，对吧？但是人家四减一是个实心的，大家注意这里这个位置是个实心的，实心的只有这样可以，当然你刚好4.1和一相等也行。那从这个意义上讲的话，我们看一下，所以说我们在列的话，这个A刚好取负一也行。你这边包含，这边不包含可以，而且人家说A交B，还有个条件，这个条件是可以，那还有A交B非空，如果A交B非空，你还来讨论端点是否成立。所以说这里面我们来解一下，就是当A就是说你这个A如果比它大或相等的时候，也就是当A大于等于4减A10，这个时候GA是2，A大于等于4，A大于等于2的时候，这个B集合就是一个空集，满足题意。注意，怎样变成A交B是空集，A交B是空集。我们知道这个B集合如果变成它跟他这个时候就是把中间的这个B集合，就是刚才那个条件变成A交B是空集，A交B是空集。就是把这个整个条件大家注意，整个条件我把它改了改了，改成一个空集，那空集肯定是可以的。就是说你这个A加B要变成空集，A加B变成空集的话，我这个B集合只能画到这里。这个是A在这里，四减一在这里，我这个只要是空集就行了，对吧？好，满足条件可以。第二种情况就是当A小于2的时候，就是B不是空集，B不是空集，就只能把B集合画在这里，B集合画到最后，A只要大于等于负一就可以了，这是一个条件，而且要满足我这个4减A，我只要小于三就可以了。你看了一解就是A大于等于负一，这个是A大于一，两个取交集就是A大于一，A大于再和A小于2取公共部分，那就是A大于一小于好，再和上面A大于02并起来。所以说最后的这个答案A就大于一这个答案。好，这是第二题，我们来看一下这个相关的一些反思感悟。我们来悟一下，看你悟到没有。利用集合间的关系求参数的一般步骤为，若集合能够一一列出来，我们就用观察法得到不同集合中的元素的关系就可以了。或者是有些时候与不等式有关的情况，我们就用数轴了。你们看啊我们解到现在，这个数轴还是比较重要的。第二个，将集合之间的关系转化为方程或者是不等式，是否有解和解集的取数范围，这个也是比较重要。第三个，解方程组或者是不等式组数，我们从而在确定参数的值或取值范围。注意这三个步骤，这三个步骤一定要来会我们来练一道。好，暂停之后对一下单。好，我把答案调出来，你们看一下T小于等于2，看一下跟你刚才暂停之后做的这个答案是否一致，就是T小于等于2。那么这个解题方法也比较的简单，我们来看一下这个是图，先看图，先不先解析，先看图，看你图画对了没有。这是图-2到5先画出来，然后你要让M加N等于N由前面我们讲的基础知识，如果M加N等于N说明N是M的子集，N4M子集。首先要讨论空集，一定要切记。首先讨论空集，如果你要讨论空集，就是让前面这一个小的大于等于大的。因为中间都是小于号，你它的相等也是空的，对吧？所以说只要满足二期加12T加1，你要小于等于2减T解的1元1次不等式，得出T是小于等于3分之1，这个时候是成立的。N不是空集的话就看这个图。看到图只要满足2减7，小于等于2T加1，保证分工。第二个是2T加1，小于等于52 2减7等于负，一定要注意这个等号要单独讨论一下，这个易错最后结束这个范围就行了。好，这个是跟踪演练。三好，这节课的常规的题我们都讲完了，我们来进行一个小结。首先我们讲了三个题型和知三个知识点和部分题型。第一个是并集的概念机型运算的题型。第二个是交集的概念进行运算的基因，第三个是根据集合间的运算求参。这里面主要涉及的仍然是这四个方法，一个是观察，一个是图示法或者叫还有一个数形结合的方法，还有一个是分类我们的思想。这里面的易错点仍然是不要忘记讨论空间就行了。这是我们的一个小结。我们来看一下随堂演练那四道题，大家注意再下去一定要注意多练一下。这第一个第一个非常的简单，我不再讲解了，我直接把答案对一下，这道题的答案是选B，看一下，你们直接把每一个求一下，对一下就行了。第一个比较简单，第二题这个也比较简单，这个答案是选C，因为A集合是0到4，B集合直接解出来是-4到2，两个取公共部分是选C，也比较简单。第三题的话这个也比较简单，一个个把它列出来就行了。这个答案是选D因为13并A就是135，说明这个A集合至少有一个元素为五，对吧？所以说每个集合中都带5，至于一三含不含，可以含零个，含一个，含一个就是13131，不是1535，它两个就是135对吧？就是四种情况。好，第四个，第四个我们来看一下，第四个，如果A交B等于AB交B并C等于CA与C是什么关系？这个我们来看一下，这个答案是选这个答案是选C选C，我们看一下为什么是选C因为A加B的话是等于A的话，就是A是B的自己对吧？你可以画这个原图，这是AA是B的子集，BPC等于CB又是C的子集，再画一个大的对不对？所以最后就是A是C的子集。同样的我们这节课来看一下这个拓广探究的，我们把它拓展一下，某网店统计了连续三天售出商品的种类情况，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种。注意这三个数字，一个是十九种，一个是十三种，一个是十八种。这样三种情况，前两天都售出的商品有三种，后两天售出商品有4种。该网店第一天瑞亚该网店第一天售出，但第二天未售商品活动。这里面我们可以用维恩图来解来我们看一下这个解析过程，这个答案是16种，你们看啊跟你们暂停做出来答案是不是一样的。首先我们设三天都售出的商品有X种，第一天售出，第二天未售出，第三天售出的商品有Y种。那什么意思呢？你们可以画三个圈圈，第一天、第二天、第三天，那么第一天大家看啊，你第一天售出49种，我们可以设三天都售出来。就是公共部分这一块，是X就是公共部分。你看第一天、第二天、第三都售出来，这个Y是代表的什么意思呢？Y就代表就是一第一天售出，第二天什么呢？没有受阻。你看Y就不在第二条范围之内，就是这个小区域。明白，那同样这个小区域设成X那么这个小区这三天宿舍的关系，你们根据题目中的这个关系，你们可以列一下，看一下。你看这个是X加Y这个公共部分这一块，一二你们看啊，这里面的如图可以是第一天售出，但第二天未收入的是商品，就是用19的总数是19，我减去一个三减X我再减去一个X那么这个就等于16。所以说这个答案就是选十六，选十六一定要确定。再看一下这三天售出的商品最少有多少种，这个我们就列式子，这个答案是29种。你们看做的跟你们做的一样不一样？因为这三天售出的商品有这么多，分别就是把每个口那块刚才那个忘了，你们再把它记一下，草稿纸上记下。记一下之后我们来看一下这里面16减Y把所有的是都把它加起来，累加起来之后是多少呢？是43减Y这里面得到一个关系，什么关系呢？首先是16减Y要大于等于0，对吧？Y要大于等于0，14减Y也要大于0，就是中间每一个都是大于等于零的，可以解出Y是大于等于0，小于14。所以说43减Y的最小值，Y取最大14的时候不就最小值，对吧？所以说就是29种。好，我们来看一道变式，还是一样的暂停一下，暂停一下。我们来讲一下，A集合有三个元素，B集合也有三个元素，C集合是有三个元素。他说A交B如果等于C我把思路点一下，如果A交B等于C，就是AB的公共部分是C那说明是有三个元素。所以说我们看一下可以得到，如果A加B不是两个元素，那就说明七属于A也属于B且负一也是属于B的。那所以说在集合A中，X方减X加一只能等于七了。那你这里面因为你没有漆了，就只能这个为七了。这个为七这是一个突破口。这个为七的话，我们可以解这个1元2次方程，算出X有两个值，一个是-2，一个是三，分别讨论。当X等于-2的时候，B集合中你看把这个负二带进来，带进来会发现你这个值就是-2加4就是2，这个就是二了。你这个是二，你这个只能为七了，对不对？所以说但是我们可以发现这个-2的时候，二属于A你把负二代进去，它它就不符合T舍去了。X等于3的时候，大家看啊X等于三的话，这个SB集合成X加4为7，所以说2X2Y就必须等于负一了，就是刚才这个值就必须等于负一。因为你这个是七，那你这个是人是负一的对吧？所以会解出Y是等于负的2分之1负T所以说这个A集合是2-1 7，B集合是-1-4 7。ABB就是2-1 7复试，这道题难度不是特别的大，大家只要用心做就可以了。好，那么本节的课我们就讲到这里。下一次课我们重点来讲一些中小综合体验。这张讲完之后，我们会有一个招募总结，今天的课就到这里，感谢您的收看，再见。