对什么好？今天我们继续学习集合的定义及其表示。上一讲我们讲了四个内容，不知道大家还记不记得哪四个内容。一个是集合的定义，第二个是常用数集及其表示集合元素和的特征元素和集合之间的关系，还有判断两个集合相等的条件。有这样的几个方面，今天这一讲我们来讲集合定义表示的其他的内容。首先我们要学集合的表示，我们集合的表示有3种方法，一个是列举法，一个是描述法，还有一个是图示法。我们先来讲一下列举法，比如说这个有一个这样一个问题，用A表示本班所有的男生组成的集合，这是利用哪一种方法表示呢？当然了，这里面我们有这样的几个，第一用自然语言法，就是说比如说你是武汉中学高一一班的所有的男生，那么就是用那个文字语言描述出来就可以了。第二个，我们还可以列举，列举的时候我们可以把所有的男生的名字都写出来，或者是把所有男生的学号一一写出也行。这是这种话我们称之为列举法。我们来看一下知识点，什么是列举法呢？西红柿像这样把集合中所有的元素一一列举出来，并用花括号表示，我们把这样一个方法称之为列举法。这个括起来表示集合的方法我们称之为列举法。对，元素中间一定要用点来表示，还有集合中元素是确定的，元素不重复，元素无顺序，对吧？我给大家举个例子，比如说大家这个假期，你们像有些同学可能会追剧，对吧？如果说你追到这个有翡这样一个电视剧，比如说有翡这部电视剧中地煞山庄，我们的这个地煞山庄是这个反派的代表，有七个人物对吧？七个人物比如说你这七个人物中，你表示这样一个集合，怎么表示？那就一个个列。比如说第一个人物省天数吧，像这样来写，省天数，当然你可以不按照顺序，你可以不按照顺序。比如说你在写第二个这个武装组，胡天鹰你可以这样来写，但这七个我不是全写完了，像这个什么露天矿，什么这样一些一个个把它列出来。有的同学说我比较喜欢胡天心那样一个人物形象，我把它列放在前面行不行？可以，不讲究顺序。但是你中间一定要用什么隔开？一定要用逗号去隔开，你不用逗号隔开肯定是不行的，这是大家要注意的。第三个，对于元素个数较少的时候，把元素一列举出来，并用括号来表示，就是个数较少。你看刚才我讲的这个有翡这部电视剧里面，这一部电视剧里面的反派人物，地煞山庄中的七大宗主，对吧？我们就可以用列举法来表述，但是个数较多怎么办呢？你比如说武汉市，武汉市写个五四了，武汉市所有的高中一年级的学生，高中一年级的学生。那你就这样来写写完之后用花阔表示，总不至于你傻到老师我非要一个个把它列出来，那肯定是不行的那你这个暑假什么都不干了，你只管去练，对吧？你得把你家里的那个纸得耗多少纸？一屋都写不完对吧？写的手酸都写不完，所以说个数较多的时候就不要干那种事了，对吧？好，还有如果规律比较明显的话，我们可以用省略号表示。大家注意比如说正式书籍用1到5来表示，那么第五个这里集合中的花括号就是一直包含所有的一次。比如说整数就这样写，就表示整数GZ，而不能用全体整数这样来写，不能出现全体这样的字眼。当然这里面这里面我们。我们我们。要注意一点，就是像我刚才这里面写的，就是武汉市所有高中。你这样写的话，实际上从语言的这个文字也来表示的话，我们是不建议用的，不要切记，不建议用。这是前面的这个定义给大家说的一些规则。那么例一我们来看一下用列举法来表示下列的集合。这个比较简单，大家先做做了之后，然后再看我的讲解，先暂停做一下。好，下面我们来看一下第一个小于十的所有正数极，这个我就不再手写了。你们直接看一下，直接用列举法大A集合。这里面说点亮一下，就是一定中间用等号写，等号连接，然后有个花括号，中间所有的元素都用逗号隔开，用逗号隔开。第二个方程X方加X等于0，所有实根我们的一根口算就行了，一根是零，一根是负一对吧？列的话用列举法去写，就是这样来写，这是用列举法。第三个直线Y等于2，X加于Y轴所有的交点，我们说只有一个交点，令X为零口算就可以了。就是零一这个点我们列的时候注意要这样来写，写成点的坐标的形式就一个。这里我停顿一下。大家。看一下，我写一个01，大家思考一下，我再写一个名义。你们看这两个有什么区别呢？好。思考五。秒钟。如果认为有区别。的说明。理解错了，如果认为没有区别的那还是没理解错。大家注意，这个整体是一个元素，代表的是点01这个点，而这里面是两个元素，一个是零，一个是一一。这是代表0一两个数，这个是数集，这个是点集，你看这是不一样的，这是点击这个。是什么。数据？我们再看一下。这里面我们。要注意的三个步骤，一求出集合中的元素，二把集合中元素一一列举出来，三用花括号表示多个点。像刚才那个2元1次方组对吧？就一个2元2次分组有可能是两个。一般来说初中阶段可能就是有些老师会讲，对吧？但是到高中阶段，像我们直线和圆锥曲线位置关系这一块，我经常会遇到。好，这是第一个。例题。我们来看一下跟踪演练。这种演练这个答案不大于十的非负偶数组成的几何A，这里面不大于十不就是0246 80，这几个比较简单，还有小于8所有的质数。什么是质数呢？最小的质数就是2，如果人家考试的时候这里面写成素数。前一段时间有一个高二的同学问我，老师素数是什么？没见过？我说你不是没见过，你是时间长了都忘了我不知道在看到这个视频的很多的同学，你是否还记得什么是束缚。还与合数是相对的，除了一和它本身之外没有其他的因素，我们就称之为质数。二是最小的质数，这要注意一下。所以说有这样，那么它组成的这个集合，我们用集合的形式来写就行了。2357。第三个就是解这个用十字相乘法解这个方程就行了。解出来之后有两根，一根是负一，一根是2分之3。好，我们来看一下第二个用描述法，还有第四个，就是两个函数图像的交点，直接联立方程组解除，这个是一四就行了。然后写坐标的话就是写成一个D集合等于一四就行了，这个我们就不再多说，比较简单。我们看第二个小知识点，就是描述法来表述即可。我们来看一下，首先我们用列举法来表示这个集合的X减7小于3，那么解出来就是X小于10，口算就行了。X小于十的实数有无数多个，我们肯定不能用列举法来表示，这个时候我们用描述法，所以描述法我们写的话有这样一个格式，大家注意来画我画圈这个部分，这里等一下我再解释。大家注意，这是一个新的格式，前面写X属于R后面大于竖杠这个分割线，X小于10，等一下我们再说一下左右两边它有什么样的一个区别。反正上面例子阅读课本你能表示偶数级吗？大家看偶数级就这样来写，X等于ZX等于2K这个2K通常来表示偶数，2K加一通常来表示奇数。只要你用2K加上一个基数，比如2021年我们就加2021对吧？这个也是可以代表所有的奇数是KZ的时候。好，这是前面的小引言，我们来看一下知识梳理。一般的设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征PX元素X组成的集合。元素这样来写。我们称之为描述法，这是下了一个定义。首先我们来看一下这里面它到底什么意思，前半部分大家注意，我们要多解释一下，这个是代表的是集合中元素呈现的形式与特征，后面代表的是元素。的属性。大家注意，这个代表的是元素的属性，就是说你这个元素要满足什么样的实际上的一个性质。对吧？你比如说。我们同样前面写X我后面写的是X平方减一等于0，你这个X要满足什么？是满足是这个方程的根。我还可以这样写，我前面写的是X加三大于2，那这个是什么意思呢？就是X只要满足这个不等式就可以了，所以说前面元素呈现形式特征一样，但是后面属性不一样。那我们比如说我们再写一个C我写一个XX加1，然后一竖杠X大于一小于等于3，X属于Z你们看这样的话，它代表的是前面形式呈现的形式特征是什么？是点的坐标的形式。因为我们说你用后面的属性X只能取2和3，那前面就代表的是取二的话就代表的是二三这个点取三代表的是就是三四这个点你看比较有意思，它这个前面代表的是形式和特征，一定要注意。所以说这里面要注意的就是写清该集合元素的代表符号，这个写法是错误的。我们只这样写，第一个，这是第一个要注意的。第二个，用简明准确的语言进行描述。我这个是要是方程就方程，不等式就不等式，对吧？不能出现未必说明的制度。你比如说你这个M大家看这M到底是什么？没有交代不就是说的让人理解不了吗，对不对？比如说我们讲这个数学课，我给你写一些稀奇古怪的符号，不给你解释，说明你们听完这个课会很痛苦的，是不是？所以说一定要交代清楚，那我们这个课才听得非常的清晰明白。这个也是一样的，你写的你不交代清楚，别人都看不懂的。好，这是大家要注意的。还有第四个，所有描述的内容都要写在划括号范围之内，不要跑到外面去了。这是第一个大家要注意的，就是我们来解释说明。第二个元素，大家注意元素的取值范围。从上下文的关系看啊，若X属于R是明确的。通常这个X属于R我们可以省略不写。比如说我们就这样来写，就代表着X属于R因为我们现在学的都是实数集。第六个方面就是多层描述的时候，应当准确的使用或者这样的字眼。你比如说X小于负一或X大于一，一定要学逻辑，你不能瞎写对吧？第七个这个就代表有所有全体的意思。如所有实数组成集合，我们就可以这样来写就行了。如果说你要写成XX是所有实数，这种写法都是不对的，这个是没有必要的啰里啰嗦的。因为这个划过本身就代表的是集合的意思，已经含有的所有全体的意思，这个要注意领会。好，我们看第二类情形，用描述法表示下列集合。第一个这个描述法写的话，你们也可以把它解，也可以不就是说这个你可以把它解出来写也可以，不解出来写也行。比如说你要是这样写，感觉有点懒，对吧？你不解好像也不算错，但是最好把它解一下之后，就写成这样了，这是第一个。咱们就这个例题格式说一下就行了。这个比较简单。我们来看一下被删除余二的整数被3除以二了。被3除以2的话我们就可以写成3加2，对吧？这个就相当于你上了多少个，我们写的话就这样来写写X一竖杠X等于3N加2，这个N属于Z有同学说老师我不喜欢这个字母换成K可不可以？可以，无所谓。比如说我们再写一个，你要看X不是顺延，那老师我对T情有独独钟，我写成T艺术高T等于3X加2，这个X是属于N。老师我这样写有没有问题？我说你这样写一点问题都没有也是对的。没有任何问题，也是可以的，就是一个记号。但是你这个记号必须交代清楚，如果你交代不清楚。那就不行。对吧？当然你不能任性显露，老师也不是说可以任意字母写个大R大R等于3X加2。我们都已经把常见的数据都用RNZQ等来表示，你就不要用这些字母回避对吧？你回避你不回避的话，这个也是不对的，这个想法也是不对的。这里面我强调一下，好C结合246 80，设X为偶数，则X是等于2N那我们表示的话，我们就把N的范围限制到10就可以了，取正整数对吧？小于等于五的正整数就行了。这个也比较简单，来看这个描述，这个CD口我们可以这样来写。非常的比较好。有的同学老师你这写好像比上面集合还麻烦一些了。如果说我把这个改编一下，比如说写个D集合2468，一直写到像你们高考，今年2021年再加302024对吧？写到2024，展望一下2024。那这个时候你该怎么写呢？我们思考一下，然后公布答案。比如说我写YY等于2N这个N你除以2之后，就是1010，不对，是二，1012。大家看1012N属于谁？行贿了吗？如果说我说我这不是从四开始的，我是从一百开始的那这边就大于等于50，随便调。好，这是大家要注意的，一定要领会。第四个，平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合，第二象限怎么是横坐标为负，纵坐标为正？有没有同学初中上完了还不知道这个系第二象限是横为负作为正，那就说明初中是个大窟窿。我曾经这里面我说一下，我曾经遇到一个就是从知识题上讲最差的高中生，是完全初中都没有学。因为进入高中之后，我问他P点的坐标是负一二在第几象限，他不会，你这个不会就算了，我问他什么函数他都不知道，对吧？你坐标系都不知道，你怎么可能知道这个函数呢？对吧？函数更画不出来这个点的坐标在哪一象限都不知道。然后我就问他，我说这个2分之1加3分之1会不会通分呢？他通风通这个通半天，所以我跟他说，我说你这个高中数学你肯定是学不动的。他说高中数学课像听天书一样的，完全没听懂。所以说他从那个初中就是一个窟窿，初中根本就不会读了。那中考好像考了三四十分，二三十分好像。所以说大家要注意，如果说你你你今天你连这个都不知道，那你今天停这个集团的恐怕也有点难。当然我们讲的是最基础的课，这个目前讲是最基础的。好，我们看怎么表示，你们看就这样来表示就行了。先写成点的坐标的形式，横坐标小于0，纵坐标大于零就OK了。好，所以我们来看一下，这里面有几个要交代东西。第一个用描述法表示集合的时候，应弄清楚集合的属性，就是它是数据他还是典籍他才要呈现的特征是什么样子，这个大家一定要注意。然后描述部分出现代表元素以外的字母，要对新字母说明其含义或者指出其取值范围。一定要注意，一定要扁，如果你点的话就麻烦了。好，我们来看一下这个梯形的两个小练习。第一个练习方程X方减5等于0的所有实数根组成的集合，直接列举，把它解出来，一个是正五正根号5，一个是负根号五一列就行了，就这样来列就行了，比较简单。第二个小于八，所有自然数也是用列举法，可以用描述法来写，就是这样来写，这是描述法的形式。当然也可以列一句话，刚才的描述法就这样来写。X属于RX方减5等于0，这个X属于R可以不写，可以写成这个X一竖杠X平方减五等于这样写也是对的。既然人家写实数根，稍微带一下好一些，这是跟踪训练的两个。我们来看一下第三个方程与集合，后面的稍微难一点了，我们来看一道例题，来讲解一下。已知集合A等于X. 一竖杠。AX方加2X加一等于0。若A中只有一个元素，A中只有一个元素就代表着这个方程只有一根，这个方程只有一根，首先你要看一下这是一个什么样的方程呢？有同学第一反应说老师这是1元2次方程，那我就说你危险了。我们高中这是一个含餐的方程，它是不是1元2次方程呢？不一定，有可能是，也有可能不是。因为要对A进行分类讨论，所以说如果A为零就是1元1次方程，如果A不等于零就是1元2次方程。再有一个这个德尔塔只能为零，A为零自然而然满足只有一个，对吧？所以说这道题的解题思路就分两类情况讨论。我们来看一下具体解的过程。第一种，当A等于0的时候，原方程变成2X加一等于0，此时X等于-2分之1，符合题意。A不等于0的时候，方程为1元2次方程，德尔塔B方减4AC这个还会吧？德尔塔B方减4AC是4减4A等于0GA等于0的时候，原方程的解X等于负一复合题就可以了。然后再打个中上可知，或者是故当A等于0或A等于一的时候，方原方程只有一节，此时A中只有一个元素，这是解题过程，也是规范解答的一个过程。好，我们再看一下辩题延伸探究。在本例条件下，A中至多有一个元素。那如果说是至多有一个元素，二成要么一根。那一根的情况刚才已经都符合了，对不对？那么零根的情况，零根的情况就是德尔塔小于0，所以说这里面我们看A中至少有要么有一个元素，要么没有元素。有一个元素例题刚才已经解出来，了解出来A就是零和1。没有元素就是看1元2次方程标准，它小于0。第二的话小于零就是刚才的这个4减4A选0，且A不能等于0，GA大于1。其实这两个最后要的合并起来，合并起来最后的元素就是H0A大于一和A等于B可以合并写成A大于等于B这是最后的答案。好，这是延伸探究的第一个。第二个，在本例条件下，是否存在实数A使得A与集合一相等，若存在，求出A的值，若不存在，说明理由。我们看一下A级和一相等的不就是有一个跟一，对吧？一个跟一我们来看一下，因为A级和为一，把一带到这个方程里面可以解出A加2加1等于AV-3。A取负三是我们再带回到原来的方程，那就变成这个1元2次方程。很明显这个1 27有两根，把它解出来，一个是-3分之1根是一，但是与A集合只有一根相矛盾。这样的话就两个，那就肯定不行了。所以说此题是不存在了。这种情形在高中阶段，我们称之为探究性问题，这个叫探究性问题。也是什么存在性问题以后常见这种题型的存在性问题。你一踏入高中了，这种题型是家常便饭。好，我们来看一下。反思感悟。根据已知的集合求参数的关注点。我们要注意，第一，若已知集合是用描述法给出的，读懂代表元素及属性一定要注意。审清题是解题的关键，这个要注意。第二个，A等于零这种情况容易忽视。像刚才我们的两种情况讨论，不知道大家在做的时候是不是做对了，这是咱们要重点关注的两个。然后我们来看一下这个跟踪演练3，在跟踪训练三跟训练三这个集合中有三个元素，你拿到这个集合三个元素一定要注意三个都是不同的。一要属于A那一有可能是第一个，也有可能第二个，有可能是第三个，对吧？分三种情况讨论就行了，这是解题思路。好，我们来看一下具体的讨论过程。首先第一个1加3等于一口算A为-2，对吧？A为负二把它带入到原来方程里面。你看比如说。第一个A的-2到这里面-2加31，-2加1是负一的平方也是一会出现A集合是一，后面把负二带进去计算是2，不符合舍掉。好，第一种不合我们来看讨论。第二种，当A加一的平方等于一就按照顺序来啊不要跳。有同学喜欢跳，你一跳的话万一个数较多，你是不是容易漏啊不要跳按照顺序来，A加一的平方等于一，那就是A加一等于正一或者是等于负一，可以借助A为零或-2，因为负二已经不成立了，刚才已经讨论过了，那就看AV零是否成立。AV零带进去，0加3，第一个是三，第二个是一口算，第三个是2312符合题意。A等于-2，刚才已经讨论过了，舍去，所以这就得到A有一个值了，那就说明这个值是可以的。我们看第三个，喏后面A方加2，A加二等于一，那就是把一移过来，就是A方加2，A加一等于0，那就是A加一的平方等于0，可以解出A等于负一，A等于负一把负一再代进去套路都是一样的，只要得出来这是三个元素，而且不相等的元素就OK了，对吧？所以说A等于负一可以，综上可知H0或负一都是可以的，这是最后的两个字，负一和0。好，我们前面。的听都基本都讲完了，我们来做一个小结。首先我们今天的这节课我们讲到了列举法描述法，还有那个图示法维恩图。这个维恩图我们到这个后面我们再点讲到这个交集病情普及的时候再说。第三个集合与方程不等式的关系，这是个重点，对面会出难题了，因为暂时这个1元2次不等式什么还没讲，所以说那个难度还上不来，我们慢慢的会把这个难度加大了。第二个方法规律就是分类讨论。第三个就是常见误区，就是列举法描述法的滥用，涉及到X平方系数不确定的时候，一定要注意讨论。我估计很多同学中考的时候已经吃过大亏了，到高中不要再吃亏了。下面我们来随堂练几道题。第一题比较简单，我们就不再讲解了，直接选B就可以了，直接带进去就可以了。这里我教一个方法叫做筛选判断，我只点了一个叫筛选判断法，什么意思呢？如果对于四个选项都是集合或者是范围的题，直接对比4选项不同的部分代入进行筛选判断。比如说ABCD。有些含磷，有些不含0，对吧？你们看啊都含123，我把一二三圈出来，你就不要带123，为什么呢？123肯定是对的，带他干嘛呢？你就带0，带零的话我们看啊零减2小于等于1 0减2小于，但是零不在正整数范围之内，注意这是N心，N是正整数，一定要注意审题。所以说零不在，您不在这个AC就错了，所以说就是要做筛选判断，带不同部分的值。先带00贷款，对于BD就带4，4减22 2明显不在，换二明显是大于一的，不是小于等于说明四不符合是否符合，所以说D就错了，只有B对，这就叫筛选判断，这是一种解法。好，我们来看一下第二题，这个答案是选D看你做的对不对，还是要你肯定是暂停之后做了，就选D第二个选D这个是首先是N分之一，这个N是12，下面是1分之1、2分之1、3分之1、4分之1、5分之1。所以我们描述的时候就选这个选了个D，其他几个都不对，这个比较简单。我们再看一下第三个，第三题，0和0的0你们看这是一个数，这是一个什么？这是个集合，集合中有一个元素，这明显是不一样的。由一二三表示的，123和321这2个我们说元素互异性那个无序性是对的。第三个这个是不对的，我把它打个叉，一是不对的，二是对的。三这个所有的根，一根是一，一个是二，口算就行了。就这个问题或者是X减2为0，那么解出来解，这个是重复了。不对，4到5可以用列举法，这个很明显是不行的，因为4到5之间有无穷多个数，所以答案只能选C我们再看一下第四小题，用列举法表示它列举法的话，我们来注意，这个都是自然数，包括0。那你们就这样搭配，大家一定要注意，这是一个开放式的题，负X方加8肯定是大于等于零的，因为Y是自然数，自然数是恒大于等零的。也就是说你这个X方一定是小于等于八大于等于零了，那X就取整数，所以说X只能取0，123都不行了，三都超过了，所以说分别讨论X取0取1取2，这也是它的解释。是好，我们来看一下具体。的解题过程。具体解题过程。首先X取0的时候，X取0的时候Y的。值就是8. X取零是898，X取一代进去，八减一方就是7，就是一七这个点。X取2的时候就是8减2的平方，就8.4，就是二四这个点。好，那么今天的这一节课我们就上上到上到这里后面我们会继续讲这个集合的运算，集合之间的一些关系等等。后面的综合性就是随着知识点的加多，后面的难度会越来越大感谢大家的收看，再见。